6 contoh soal ukuran penyebaran dan pembahasannya

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 1

Dari suatu survei tentang banyaknya buku yang dibaca oleh siswa SMA dalam 1 bulan, diperoleh hasil yang diambil secara acak. Banyaknya buku yang dibaca 7 orang siswa adalah sebagai berikut.
3, 4, 6, 2, 8, 8, 5.
Tentukan varian dan simpangan dari data tersebut.

Pembahasan

Cara cari varian sebagai berikut.

	Data (x)	x2
	3	9
	4	16
	6	36
	2	4
	8	64
	8	64
	5	25
Jumlah (Σ)	36	218

Kemudian gunakan rumus di bawah ini.

→ σ² =

Σx²

n

– (

Σx

n

)²
→ σ² =

218

7

– (

36

7

)²
→ σ² = 31,14 – 26,45 = 4,69

Cara cari simpangan baku sebagai berikut.

→ σ = √ varian  
→ σ = √ 4,69   = 2,16

---

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 2

Sebelum pandemi Covid-19, sekolah mencatat waktu yang diperlukan oleh siswa untuk makan siang di kantin (dibulatkan ke menit terdekat). Hasilnya sebagai berikut.

a. Tentukan rata-rata dari data tersebut.
b. Tentukan simpangan bakunya.

Pembahasan

Waktu (x)	x2	f	f . x	f . x2
35	1.225	3	105	3.675
36	1.296	17	612	22.032
37	1.369	29	1.073	39.701
38	1.444	34	1.292	49.096
Jumlah (Σ)		83	3.082	114.504

Rumus mean berdasarkan tabel di atas sebagai berikut.

→ mean =

Σ f . x

Σ f

→ mean =

3.082

83

= 37,13

Rumus simpangan baku soal ini sebagai berikut.

→ σ² =

Σ f . x²

Σ f

– (

Σ f . x

Σ f

)²
→ σ² =

114.504

83

– (

3.082

83

)²
→ σ² = 1.379,5 – 1.378,8 = 0,7
→ σ = √ varian  
→ σ = √ 0,7   = 0,83

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 3

Diketahui sekumpulan data memiliki data-data sebagai berikut.

• Σx = 24
• Σx² = 78
• n = 8

Carilah:
a. mean
b. varian, σ²
c. Simpangan baku, σ

Pembahasan

Mean soal di atas sebagai berikut.

→ mean =

Σ x

n

→ mean =

24

8

= 3

Varian soal nomor 3 sebagai berikut.

→ σ² =

Σx²

n

– (

Σx

n

)²
→ σ² =

78

8

– (

24

8

)²
→ σ² = 9,75 – 9 = 0,75

Simpangan baku soal nomor 3 sebagai berikut.

→ σ = √ varian  
→ σ = √ 0,75   = 0,866

---

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 4

Guru berbeda mengajar 2 kelas yang berbeda, kelas A dan kelas B, dengan beda metode mengajar. Siswa dari kedua kelas tersebut mengikuti ujian yang sama pada akhir semester. Berikut hasil ujian dari kedua kelas.

a. Hitunglah mean dari masing-masing kelompok.
b. Dari hasil a, menurut kalian, apakah metode guru yang satu lebih baik dari metode guru lainnya? jelaskan alasan dari jawabanmu?

Pembahasan

Nilai tengah (xi)	fA	fB	xi . fA	xi . fB
24,5	1	1	24,5	24,5
34,5	3	2	103,5	69
44,5	6	4	267	178
54,5	6	13	327	708,5
64,5	11	15	709,5	967,5
74,5	10	6	745	447
84,5	8	3	676	253,5
Jumlah (Σ)	45	44	2.852,5	2.648

→ mean kelas A =

Σ x_i . f_A

Σ f_A

→ mean kelas A =

2.852,5

45

= 63,388
→ mean kelas B =

Σ x_i . f_B

Σ f_B

→ mean kelas B =

2.648

44

= 60,18

Metode guru di kelas A lebih baik daripada metode guru di kelas B karena mean lebih besar.

---

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 5

Selama tahu ajaran yang lalu, diperoleh data banyaknya hari di mana siswa tidak hadir.

a. Hitunglah Q1 dari data ini, lalu interpretasikan hasilnya.
b. Hitunglah jangkauan interkuartil dari data ini.
c. Hitunglah standar deviasi dari data jumlah hari absen tersebut.

Pembahasan

Jumlah frekuensi (n) = 12 + 20 + 10 + 7 + 5 = 54
Letak Q1 =

54

4

= 13,5
Data ke-13,5 terletak pada kelas dengan frekuensi 20, sehingga Q1 = 1.

Cara cari jangkauan interkuartil sebagai berikut.

Jangkauan interkuartil = Q3 – Q1
Letak Q3 =

3n

4

=

3 . 54

4

= 40,5
Data ke 40,5 terletak pada frekuensi 10, jadi Q3 = 2.
Jangkaun interkuartil = Q3 – Q1 = 2 – 1 = 1.

Cara cari standar deviasi sebagai berikut.

x	x2	f	f . x	f . x2
0	0	12	0	0
1	1	20	20	20
2	4	10	20	40
3	9	7	21	63
4	16	5	20	80
Jumlah		54	81	203

→ σ² =

Σ f . x²

Σ f

– (

Σ f . x

Σ f

)²
→ σ² =

203

54

– (

81

54

)²
→ σ² = 3,76 – 2,25 = 1,51
→ σ = √ varian  
→ σ = √ 1,51   = 1,23

---

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 6

Dalam suatu lomba lari, diperoleh data catatan waktu sebagai berikut.

a. Hitunglah mean.
b. Gunakan interpolasi untuk menghitung jangkauan interkuartil
c. Jika diketahui Σfx = 3.740 dan Σfx² = 183.040 dimana x adalah nilai tengah dari tiap kelas, maka tentukanlah nilai dari varian dan simpangan baku dari catatan waktu para pelari.

Pembahasan

Cara cari mean sebagai berikut.

Nilai tengah (xi)	fi	xi . fi
24,5	5	122,5
34,5	10	345
44,5	36	1.602
54,5	20	1.090
64,5	9	580,5
Jumlah	80	3.740

→ mean =

Σ f_i . x_i

Σ f_i

→ mean =

3.740

80

= 46,75

Cara cari jangkauan interkuartil sebagai berikut.

Jumlah frekuensi (n) = 80

n

4

=

80

4

= 20
Letak Q1 = 40-49
TB = 40 – 0,5 = 39,5
TA = 49 + 0,5 = 49,5
Jumlah frekuensi sebelum TB = 5 + 10 = 15
Jumlah frekuensi sebelum TA = 5 + 10 + 36 = 51

Q1 – 39,5

20 – 15

=

49,5 – 39,5

51 – 15

Q1 – 39,5

5

=

10

36

Q1 – 39,5 =

5 x 10

36

= 1,38
Q1 = 1,38 + 39,5 = 40,88

3n

4

=

3 . 80

4

= 60
Letak Q1 = 50-59
TB = 50 – 0,5 = 49,5
TA = 59 + 0,5 = 59,5
Jumlah frekuensi sebelum TB = 5 + 10 + 36 = 51
Jumlah frekuensi sebelum TA = 5 + 10 + 36 + 20 = 71

Q3 – 49,5

60 – 51

=

59,5 – 49,5

71 – 51

Q3 – 49,5

9

=

10

20

Q3 – 49,5 =

9 x 10

20

= 4,5
Q3 = 4,5 + 49,5 = 54

Jangkauan interkuartil = Q3 – Q1 = 54 – 40,88 = 13,12

Cara cari varian dan simpangan baku.

→ σ² =

Σ f . x²

Σ f

– (

Σ f . x

Σ f

)²
→ σ² =

183.040

80

– (

3.740

80

)²
→ σ² = 2.288 – 2.185,5 = 102,5
→ σ = √ varian  
→ σ = √ 102,5   = 10,12