Minggu, Maret 3, 2024
Matematika

6 contoh soal ukuran penyebaran dan pembahasannya

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 1

Dari suatu survei tentang banyaknya buku yang dibaca oleh siswa SMA dalam 1 bulan, diperoleh hasil yang diambil secara acak. Banyaknya buku yang dibaca 7 orang siswa adalah sebagai berikut.
3, 4, 6, 2, 8, 8, 5.
Tentukan varian dan simpangan dari data tersebut.

Pembahasan

Cara cari varian sebagai berikut.

Data (x)x2
39
416
636
24
864
864
525
Jumlah (Σ)36218

Kemudian gunakan rumus di bawah ini.

→ σ2 =
Σx2
n
– (
Σx
n
)2
→ σ2 =
218
7
– (
36
7
)2
→ σ2 = 31,14 – 26,45 = 4,69

Cara cari simpangan baku sebagai berikut.

→ σ =  varian  
→ σ =  4,69   = 2,16

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 2

Sebelum pandemi Covid-19, sekolah mencatat waktu yang diperlukan oleh siswa untuk makan siang di kantin (dibulatkan ke menit terdekat). Hasilnya sebagai berikut.

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 2

a. Tentukan rata-rata dari data tersebut.
b. Tentukan simpangan bakunya.

Pembahasan

Waktu (x)x2ff . xf . x2
351.22531053.675
361.2961761222.032
371.369291.07339.701
381.444341.29249.096
Jumlah (Σ)833.082114.504

Rumus mean berdasarkan tabel di atas sebagai berikut.

→ mean =
Σ f . x
Σ f

→ mean =
3.082
83
= 37,13

Rumus simpangan baku soal ini sebagai berikut.

→ σ2 =
Σ f . x2
Σ f
– (
Σ f . x
Σ f
)2
→ σ2 =
114.504
83
– (
3.082
83
)2
→ σ2 = 1.379,5 – 1.378,8 = 0,7
→ σ =  varian  
→ σ =  0,7   = 0,83

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 3

Diketahui sekumpulan data memiliki data-data sebagai berikut.

  • Σx = 24
  • Σx2 = 78
  • n = 8

Carilah:
a. mean
b. varian, σ2
c. Simpangan baku, σ

Pembahasan

Mean soal di atas sebagai berikut.

→ mean =
Σ x
n

→ mean =
24
8
= 3

Varian soal nomor 3 sebagai berikut.

→ σ2 =
Σx2
n
– (
Σx
n
)2
→ σ2 =
78
8
– (
24
8
)2
→ σ2 = 9,75 – 9 = 0,75

Simpangan baku soal nomor 3 sebagai berikut.

→ σ =  varian  
→ σ =  0,75   = 0,866

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 4

Guru berbeda mengajar 2 kelas yang berbeda, kelas A dan kelas B, dengan beda metode mengajar. Siswa dari kedua kelas tersebut mengikuti ujian yang sama pada akhir semester. Berikut hasil ujian dari kedua kelas.

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 4

a. Hitunglah mean dari masing-masing kelompok.
b. Dari hasil a, menurut kalian, apakah metode guru yang satu lebih baik dari metode guru lainnya? jelaskan alasan dari jawabanmu?

Pembahasan

Nilai tengah (xi)fAfBxi . fAxi . fB
24,51124,524,5
34,532103,569
44,564267178
54,5613327708,5
64,51115709,5967,5
74,5106745447
84,583676253,5
Jumlah (Σ)45442.852,52.648
→ mean kelas A =
Σ xi . fA
Σ fA

→ mean kelas A =
2.852,5
45
= 63,388
→ mean kelas B =
Σ xi . fB
Σ fB

→ mean kelas B =
2.648
44
= 60,18

Metode guru di kelas A lebih baik daripada metode guru di kelas B karena mean lebih besar.


Contoh soal ukuran penyebaran nomor 5

Selama tahu ajaran yang lalu, diperoleh data banyaknya hari di mana siswa tidak hadir.

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 5

a. Hitunglah Q1 dari data ini, lalu interpretasikan hasilnya.
b. Hitunglah jangkauan interkuartil dari data ini.
c. Hitunglah standar deviasi dari data jumlah hari absen tersebut.

Pembahasan

Jumlah frekuensi (n) = 12 + 20 + 10 + 7 + 5 = 54
Letak Q1 =
54
4
= 13,5
Data ke-13,5 terletak pada kelas dengan frekuensi 20, sehingga Q1 = 1.

Cara cari jangkauan interkuartil sebagai berikut.

Jangkauan interkuartil = Q3 – Q1
Letak Q3 =
3n
4
=
3 . 54
4
= 40,5
Data ke 40,5 terletak pada frekuensi 10, jadi Q3 = 2.
Jangkaun interkuartil = Q3 – Q1 = 2 – 1 = 1.

Cara cari standar deviasi sebagai berikut.

xx2ff . xf . x2
001200
11202020
24102040
3972163
41652080
Jumlah5481203
→ σ2 =
Σ f . x2
Σ f
– (
Σ f . x
Σ f
)2
→ σ2 =
203
54
– (
81
54
)2
→ σ2 = 3,76 – 2,25 = 1,51
→ σ =  varian  
→ σ =  1,51   = 1,23

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 6

Dalam suatu lomba lari, diperoleh data catatan waktu sebagai berikut.

Contoh soal ukuran penyebaran nomor 6

a. Hitunglah mean.
b. Gunakan interpolasi untuk menghitung jangkauan interkuartil
c. Jika diketahui Σfx = 3.740 dan Σfx2 = 183.040 dimana x adalah nilai tengah dari tiap kelas, maka tentukanlah nilai dari varian dan simpangan baku dari catatan waktu para pelari.

Pembahasan

Cara cari mean sebagai berikut.

Nilai tengah (xi)fixi . fi
24,55122,5
34,510345
44,5361.602
54,5201.090
64,59580,5
Jumlah803.740
→ mean =
Σ fi . xi
Σ fi

→ mean =
3.740
80
= 46,75

Cara cari jangkauan interkuartil sebagai berikut.

Jumlah frekuensi (n) = 80
n
4
=
80
4
= 20
Letak Q1 = 40-49
TB = 40 – 0,5 = 39,5
TA = 49 + 0,5 = 49,5
Jumlah frekuensi sebelum TB = 5 + 10 = 15
Jumlah frekuensi sebelum TA = 5 + 10 + 36 = 51
Interpolasi Q1
Q1 – 39,5
20 – 15
=
49,5 – 39,5
51 – 15

Q1 – 39,5
5
=
10
36

Q1 – 39,5 =
5 x 10
36
= 1,38
Q1 = 1,38 + 39,5 = 40,88
3n
4
=
3 . 80
4
= 60
Letak Q1 = 50-59
TB = 50 – 0,5 = 49,5
TA = 59 + 0,5 = 59,5
Jumlah frekuensi sebelum TB = 5 + 10 + 36 = 51
Jumlah frekuensi sebelum TA = 5 + 10 + 36 + 20 = 71
Interpolasi Q3
Q3 – 49,5
60 – 51
=
59,5 – 49,5
71 – 51

Q3 – 49,5
9
=
10
20

Q3 – 49,5 =
9 x 10
20
= 4,5
Q3 = 4,5 + 49,5 = 54

Jangkauan interkuartil = Q3 – Q1 = 54 – 40,88 = 13,12

Cara cari varian dan simpangan baku.

→ σ2 =
Σ f . x2
Σ f
– (
Σ f . x
Σ f
)2
→ σ2 =
183.040
80
– (
3.740
80
)2
→ σ2 = 2.288 – 2.185,5 = 102,5
→ σ =  varian  
→ σ =  102,5   = 10,12

You cannot copy content of this page