Contoh soal jarak titik ke garis dan bidang dimensi tiga dan penyelesaiannya

Pada postingan ini kita membahas contoh soal jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang dimensi tiga kubus dan limas yang disertai dengan penyelesaiannya atau pembahasannya.

Sama seperti menyelesaikan soal sudut antara titik dengan garis dimensi tiga, untuk menentukan jarak titik ke garis atau jarak titik ke bidang dimensi tiga kita harus menggambarkan terlebih dahulu kubus atau limas. Dengan gambar tersebut, kita bisa menentukan jarak yang akan ditentukan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal jarak titik ke garis dan bidang dimensi tiga dan penyelesaiannya dibawah ini.

Contoh soal 1 (UNBK 2019 IPS)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8√6 cm. Jarak titik A ke titik G adalah…

A. 16 cm
B. 16 √ 2 cm
C. 24 cm
D. 16√ 3 cm
E. 24√ 2 cm.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gambarkan kubus ABCD.EFGH sebagai berikut:

Contoh soal jarak antar titik pada kubus — Jarak titik A ke G ditunjukkan oleh garis warna merah

Berdasarkan gambar diatas jarak titik A ke G ditunjukkan oleh garis warna merah. Untuk menghitung panjang garis AG kita hitung dahulu panjang garis AC dengan rumus phytagoras dibawah ini:

AC2 = AB2 + BC2
AC2 = (8 √ 6 )2 + (8 √ 6 )2
AC2 = 2 (8 √ 6 )2

Maka panjang garis AG kita hitung dengan rumus phytagoras juga yaitu:

AG2 = AC2 + CG2
AG2 = 2 (8 √ 6 )2 + (8 √ 6 )2.
AG2 = 3 (8 √ 6 )2
AG= $\sqrt {3 (8 \sqrt {6})^2}$
AG = 8 √ 6 . √ 3 = 8 √ 18
AG = 8 √ 9 x 2 = 8 x 3 √ 2 = 24 √ 2 cm.

Jadi soal nomor 1 jawabannya E.

Contoh soal 2 (UNBK IPA 2019)

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika titik p terletak pada pertengahan rusuk HG, Q pada pertengahan rusuk HE, dan R pada pertengahan rusuk BC, jarak dari titik P ke garis QR adalah…

A.3/2 √ 6 cm
B. 3 √ 2 cm
C. 3 √ 6 cm
D. 6 cm
E. 9 cm.

Penyelesaian soal

Kita buat kubus seperti yang digambarkan soal nomor 2 sebagai berikut:

Contoh soal jarak titik ke garis pada kubus — Jarak titik P ke garis QR ditunjukkan garis garis OP

Jarak titik P ke garis QR ditunjukkan oleh garis warna merah (OP). Untuk menghitung OP kita tentukan terlebih dahulu panjang QP, QR dan PR.

Menentukan panjang QP:

QP2 = (1/2 . 6)2 + (1/2 . 6)2
QP2 = (3)2 + (3)2
QP2 = 18.
QP = 3 √ 2 cm

Menentukan panjang QR = panjang HC

QR2 = GH2 + CG2
QR2 = 62 + 62 = 2 . 62.
QR = 6 √ 2

Menentukan panjang PR:

PR2 = QR2– QP2
PR2 = 2.62 – 18
PR2 = 72 – 18 = 54
PR = 3√ 6

Untuk menghitung panjang OP kita gunakan rumus luas segitiga PQR sebagai berikut:

1/2 QR . OP = 1/2 QP . PR
6 √ 2 . OP = 3 √ 2 . 3 √ 6
OP = 3/2 √ 6 cm.

Jadi soal nomor 2 jawabannya A.

Contoh soal 3 (UNBK IPA 2019)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang AFH adalah …

A. 10/3 √ 3
B. 8/3 √ 3
C. 7/3 √ 3
D. 5/3√ 3
E. 4/3√ 3 .

Penyelesaian soal

Kita gambarkan kubus ABCD.EFGH untuk mengetahui jarak titik E ke bidang AFH sebagai berikut:

Jarak titik ke bidang pada kubus — ED adalah jarak titik E ke bidang AFH

Pada gambar diatas jarak titik E ke bidang AFH ditunjukkan oleh garis merah EO. Untuk menghitung EO kita tentukan terlebih dahulu panjang EP, AP dan OP.

Menentukan panjang EP

EP = 1/2 EG
EP = 1/2 . 8 √ 2 cm = 4√ 2 cm

Menentukan panjang AP

AP2 = AE2 + EP2 = (8)2 + (4 √ 2 )2
AP2 = 64 + 32 = 80
AP = √ 96

Menentukan panjang OP:

OP = 1/3 AP
OP = 1/3 . √ 96

Dengan demikian kita bisa menghitung panjang EO dengan menggunakan rumus phytagoras segitiga EOP:

EO2 = EP² – OP2
EO2 = 42 – (1/3 √ 96 )2.
EO² = 16 – 1/9 . 96 = 16 – 32/3 = 16/3
EO = √ 16/3
EO = 4/3 √ 3 cm

Jadi soal nomor 3 jawabannya E.

Contoh soal 4 (UN 2018 IPS)

Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan rusuk 12 cm. Jika titik T ditengah ruas garis PR, jarak dari titik O ke garis KT adalah..

A. 2 √ 3 cm
B. 4√ 3 cm
C. 8√ 3 cm
D. 12√ 3 cm
E. 13√ 6 cm.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gambarkan kubus seperti yang dijelaskan dalam soal.

Contoh soal jarak titik ke garis kubus nomor 4 — AO adalah jarak titik A ke garis KT

Pada gambar diatas jarak titik O ke garis KT ditunjukkan garis warna merah AO. Untuk menghitung panjang AO, terlebih dahulu kita tentukan panjang OT dan KT.

Menentukan panjang OT:

OT = 1/2 OQ
OT = 1/2 . 12√ 2 cm = 6√ 2 cm

Menentukan panjang KT

KT2 = KO2 + OT2
KT2 = 122 + (6 √ 2 )2 = 144 + 72 = 216
KT = √ 216 = 6 √ 6

Untuk menghitung panjang AO kita gunakan rumus luas segitiga KOT:

1/2 . KT . AO = 1/2 . OT . KO
6 √ 6 . AO = 6 √ 2 . 12
√ 6 AO = 12 √ 2
AO = $\frac {12 \sqrt {2}} {\sqrt {6}}$ = 4 √ 3

Jadi soal ini jawabannya B.

Contoh soal 5 (UN 2018 IPS)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P terletak ditengah diagonal sisi AC. Jarak titik C ke garis GP adalah…

A. 4 √ 3 cm
B. 4√ 2 cm
C. 3√ 3 cm
D. 3√ 2 cm
E. 2√ 3 cm.

Penyelesaian soal

Jarak titik C ke garis GP kubus — OC adalah jarak titik C ke garis GP

Berdasarkan gambar diatas, garis OC adalah jarak titik C ke garis GP. Untuk menentukan OC kita hitung dahulu panjang CP dan GP.

Menentukan panjang CP:

CP = 1/2 AC
CP = 1/2 6√ 2 = 3 √ 2 .

Panjang GP:

GP2 = CP2 + CG2
GP2 = (3 √ 2 )2 + 62 = 18 + 36 = 54
GP = √ 54 = 3 √ 6

Untuk menentukan panjang OC kita gunakan rumus luas segitiga CGP:

1/2 CP . CG = 1/2 . GP . OC
3 √ 2 . 6 = 3 √ 6 . OC
OC = 2 √ 3 cm.

Jawaban: E

Contoh soal 6 (UN 2017 IPA)

Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas 4 cm. Jarak titik A ke TB adalah…

A. 2 √ 2 cm
B. 2 √ 3 cm
C. 4 cm
D. 4 √ 2 cm
E. 4 √ 3 cm.

Penyelesaian soal

Contoh soal jarak titik ke garis pada limas — AP adalah jarak antara titik A dengan garis TB

Berdasarkan gambar diatas jarak titik A ke garis TB ditunjukkan oleh garis warna merah AP. Untuk menghitung AP kita hitung terlebih dahulu luas segitiga sama sisi TAB dengan menggunakan rumus luas segitiga:

L = 1/2 . 4 . 4 sin 60°
L = 8 . 1/2 . √ 3 = 4 √ 3 .

Maka panjang AP sebagai berikut:

Luas segitiga TAB = 1/2 . alas . tinggi
Luas segitiga TAB = 1/2 . TB. AP
4 √ 3 = 1/2 . 4 . AP
AP = 2 √ 3 cm.

Jawaban: B

Contoh soal 7 (UN 2017 IPA)

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = BC = 5 √ 2 cm dan TA = 13 cm. Jarak titik A ke garis TC adalah…

A. 4

cm
B. 4

cm
C. 9

cm
D. 10 cm
E. 12 cm

Penyelesaian soal

Limas segiempat beraturan — AP adalah jarak titik ke garis TC limas

AP adalah jarak titik A ke garis TC. Untuk menghitung AP tentukan dahulu panjang AC dan TO.

Menentukan panjang AC

AC2 = AB2 + BC2
AC2 = (5 √ 2 )2 + (5 √ 2 )2.
AC2 = 50 + 50 = 100
AC = 10 cm

Menghitung panjang TO:

TO2 = TA2 – (1/2 AC)2
TO2 = 132 – 52 = 144
TO = 12 cm

Untuk menghitung panjang AP kita gunakan rumus luas segitiga ACT:

1/2 . AC . TO = 1/2 . TC . AP
10 . 12 = 13 . AP
AP = 120 / 13 = 9 3/13 cm.

Jadi soal nomor 7 jawabannya adalah C

Contoh soal jarak titik ke garis dan bidang dimensi tiga dan penyelesaiannya

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan