);

Contoh soal sudut antara garis dan bidang dimensi tiga

Pada postingan ini kita membahas contoh soal sudut antara garis dan bidang dimensi tiga. Dimensi tiga merupakan salah satu materi pada pelajaran matematika SMA kelas 12.

Dimensi tiga yang dibahas pada artikel ini adalah tentang kubus dan limas. Langkah-langkah menentukan sudut antara garis dan bidang pada kubus dan limas sebagai berikut:

  1. Gambarkan dimensi tiga kubus atau limas sesuai dengan soal.
  2. Tentukan letak sudut antara garis dan bidang pada kubus atau limas.
  3. Tentukan besar sudutnya.

Cara menentukan besar sudut biasanya menggunakan perhitungan Phytagoras segitiga siku-siku dan aturan sinus cosinus. Jadi kita mesti menguasai rumus phytagoras dan rumus aturan sinus cosinus.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal sudut antara garis dan bidang dimensi tiga dibawah ini.

Contoh soal 1 (UN 2018 IPS paket 5)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Sudut antara garis DF dan bidang CDHG adalah α. Hitunglah nilai sin α.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini, kita gambarkan dahulu kubus ABCD.EFGH dan sudut antara DF dan bidang CDHG sebagai berikut:

Kubus ABCD.EFGH
Kubus ABCD.EFGH dengan sudut alpha

Berdasarkan gambar diatas, untuk menentukan sin α kita tentukan terlebih dahulu panjang DG dan FG. Disini panjang FG = rusuk kubus = 12 cm. Sedangkan panjang DG kita hitung dengan menggunakan rumus phytagoras dibawah ini:

  • DG2 = GH2 + DH2
  • DG2 = 122 + 122
  • DG2 = 2 x 122
  • DG =  2 x 122   = 12  2   .

Sehingga nilai sin α berdasarkan segitiga DGF adalah:

→ sin α =
depan
miring

→ sin α =
FG
DG
=
12
12 2  

→ sin α = 1/2  2  

Jadi nilai sin α = 1/2  2   atau ∠α = 45°.


Contoh soal 2 (UN 2018 IPS paket 1)

Besar sudut antara ruas garis AG dan bidang EFGH pada kubus ABCD.EFGH adalah α. Tentukan nilai cos α.

Penyelesaian soal

Sama seperti nomor 1, kita gambarkan terlebih dahulu kubus ABCD.EFGH agar terlihat dimana posisi sudut α.

Kubus
Sudut antara garis AG dengan bidang EFGH pada kubus ABCD.EFGH

α adalah sudut antara garis AG dengan bidang EFGH. Untuk menentukan nilai cos α kita hitung terlebih dahulu panjang EG dan panjang AG. Untuk menentukan panjang EG dan AG kita misalkan panjang rusuk kubus adalah a maka diperoleh:

  • EG2 = EH2 + GH2 = a2 + a2 = 2 a2
  • EG =  2 a2  = a  2   .
  • AG2 = AE2 + EG2
  • AG2 = a2 + (a 2   )2.
  • AG2 = 3a2
  • AG =  3 a2   = a 3   .

Berdasarkan segitiga AEG kita peroleh nilai cos α yaitu:

→ cos α =
samping
miring

→ cos α =
EG
AG

→ cos α =
a  2  
a  3  

→ cos α =
1
3
 6  

Contoh soal 3 (UN 2018 IPA pake c5)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk p cm. Hitunglah sudut antara garis EG dan garis CF.

Penyelesaian soal

Kita gambarkan kubus ABCD.EFGH untuk mengetahui sudut antara garis EG dan CF yaitu sebagai berikut:

Menentukan sudut garis CF dengan EG pada kubus
Garis CF digeser ke ED kubus ABCD.EFGH

Untuk menentukan sudut CF dengan EG kita geser garis CF ke ED sehingga kita dapat sudut α seperti gambar diatas. Kita perhatikan segitiga EDG adalah segitiga sama sisi. Karena segitiga sama sisi maka sudah bisa dipastikan ketiga sudutnya = 60°. Jadi sudut antara garis CF dengan garis EG α= 60°.

Untuk memperoleh hasil α = 60° secara perhitungan kita menggunakan aturan cosinus berikut ini:

  • DG2 = ED2 + EG2 – 2 ED . EG cos α
  • (p 2   )2 = (p 2   )2 + (p 2   )2 – 2 p 2   . p 2   cos α.
  • 2(p 2   )2 cos α = 2(p 2   )2 – (p 2   )2 = (p 2   )2.
  • Cos α = (p 2   )2/2(p 2   )2 = 1/2.

Jadi cos α = 1/2 atau α = 60°. Untuk menghitung nilai DG, ED dan EG bisa dilihat di jawaban soal nomor 2.


Contoh soal 4 (UN 2018 IPA pake C2)

Tentukan besar sudut garis antara DG dan AE pada kubus ABCD.EFGH.

Penyelesaian soal

Sama seperti nomor 3, kita gambarkan kubus agar mengetahui sudut antara garis DG dan AE.

Garis AE digeser ke DH kubus ABCD.EFGH
Garis AE digeser ke DH kubus ABCD.EFGH

Berdasarkan gambar garis AE digeser ke DH sehingga didapat sudut α yang merupakan sudut antara garis AE dengan garis DG. Sudut α sudah bisa kita tebak nilainya yaitu 45°. Ini karena sudut α setengah dari sudut siku-siku CDH.

Jika kita ingin menentukan sudut α secara perhitungan maka kita misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus = a. Selanjutnya kita menggunakan rumus tan pada segitiga siku-siku yaitu:

→ tan α =
depan
samping

→ tan α =
GH
EH
=
a
a
= 1

Tan α = 1 ini artinya α = 45°.


Contoh soal 5

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = 8 cm dan tinggi limas TT1 = 8 cm. Hitunglah sinus sudut antara garis TA dan bidang TBD.

Penyelesaian soal

Kita gambarkan terlebih dahulu limas segiempat beraturan untuk mengetahui posisi sudut antara garis TA dan bidang TBD.

Limas segiempat
Limas segiempat beraturan

Berdasarkan gambar diatas, sudut antara garis TA dengan bidang TBD ditunjukkan oleh sudut α. Untuk menghitung α kita tentukan terlebih dahulu panjang AE dengan cara:

  • AC2 = AB2 + BC2
  • AC2 = 82 + 82
  • AC2 = 2 . 64
  • AC =  2 x 64   = 8 2   .
  • AE = 1/2 AC = 4 2  

Selanjutnya kita menghitung panjang AT dengan rumus phytagoras dibawah ini:

  • AT2 = AE2 + ET2.
  • AT2 = (4 2   )2 + 82
  • AT2 = 32 + 64 = 96
  • AT =  96   .

Jadi sinus sudut garis TA dengan bidang TBD sebagai berikut:

→ sin α =
depan
miring
= →
AE
AT

→ sin α =
4 2  
 96  
= =
4 2  
4 6  
=
1
3
 3  

Itulah 5 contoh soal sudut antara garis dan bidang dimensi tiga pada kubus dan limas. Semoga artikel ini bermanfaat.

You cannot copy content of this page