);

Contoh soal aturan sinus, aturan cosinus dan penyelesaiannya

Contoh soal aturan sinus

Pada postingan ini kita membahas contoh soal aturan sinus, aturan cosinus dan penyelesaiannya / pembahasannya. Aturan sinus dan cosinus menunjukkan hubungan antara sudut-sudut pada suatu segitiga sembarang.

Aturan sinus dan cosinus adalah salah satu topik pelajaran matematika SMA kelas 10 semerter 2. Untuk memahami konsep aturan sinus dan cosinus, perhatikan gambar sebuah segitiga sembarang ABC dengan sudut α, β, dan γ dibawah ini.

Segitiga ABC
Segitiga ABC

Berdasarkan gambar diatas, aturan sinus dinyatakan dengan:

a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ

Pada rumus ini a, b, dan c menyatakan panjang ketiga sisi segitiga ABC. Aturan cosinus mempunyai tiga persamaan yaitu sebagai berikut:

  • a2 = b2 + c2 – 2bc . cos α.
  • b2 = a2 + c2 – 2ac . cos β.
  • c2 = a2 + b2 – 2ab . cos γ.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal aturan sinus, aturan cosinus dan penyelesaiannya dibawah ini.

Contoh aturan sinus

Contoh soal 1

Diketahui segitiga PQR dengan ∠P = 60°, ∠Q = 45° dan QR = 10 cm. Hitunglah panjang PR.

Penyelesaian soal

Contoh soal aturan sinus
Contoh soal aturan sinus

Berdasarkan aturan sinus diperoleh:

QR
sin P
=
PR
sin Q

10 cm
sin 60°
=
PR
sin 45°

10 cm
1/2 3  
=
PR
1/2 2  

→ PR =
10 cm . 1/2 2  
1/2 3  
=
10
3
 6   cm

Contoh soal 2

Segitiga ABC mempunyai panjang BC =  6   cm, AC =  2   cm dan ∠A = 60°. Hitunglah panjang AB.

Penyelesaian soal

Perlu diketahui bahwa pada sebuah segitiga ABC sisi BC = a, sisi AC = b, dan AB = c. Kemudian untuk menjawab soal ini hitung terlebih dahulu sudut B dengan cara:

A
sin A
=
b
sin B

 6  
sin 60°
=
 2  
sin B

→ sin B =
 2   . 1/2 .  3  
 6  
= 1/2
→ ∠B = 30°

Selanjutnya kita hitung sudut C dengan cara:

  • ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
  • 60° + 30° + ∠C = 180°.
  • ∠C = 180° – 60° – 30° = 90°.

Dengan demikian panjang AB (sisi c) dihitung dengan cara aturan sinus:

c
sin C
=
a
sin A

c
sin 90°
=
 6  
sin 60°

→ c =
 6  
1/2 3  
= 2 2   cm

Jadi panjang sisi AB = 2 2   cm.


Contoh soal 3

Diketahui segitiga KLM dengan sisi k = 2  2   cm, l = 4 cm dan ∠K = 30°. Hitunglah besar sudut ∠L.

Penyelesaian soal

Soal ini dapat dijawab dengan langkah-langkah dibawah ini.

k
sin K
=
L
sin L

2 2  
sin 30°
=
4
sin L

→ sin L =
4 . 1/2
2 2  
=
1
 2  
= 1/2 2   cm

Jadi ∠L = 45°.


Contoh soal 4

Diketahui sebuah segitiga PQR sisi didepan sudut p mempunyai panjang 12 cm. Jika besar ∠P = 60° dan ∠Q = 45°, hitunglah panjang sisi didepan ∠Q.

Penyelesaian soal

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

P
sin P
=
Q
sin Q

12
sin 60°
=
Q
sin 45°

12
1/2 3  
=
Q
1/2 2  

→ Q = 4 6   cm

Contoh soal 5

Perhatikan gambar segitiga PQR dibawah ini.

Segitiga PQR

Hitunglah besar sudut R.

Penyelesaian soal

Langkah-langkah menjawab soal ini sebagai berikut:

2
sin 30°
=
4
sin R

→ sin R =
4
4
= 1

Karena sin R = 1 maka sudut R = 90° atau siku-siku


Contoh soal aturan cosinus

Contoh soal 1

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 6 cm, AC = 10 cm dan ∠P = 120°. Hitunglah panjang BC.

Penyelesaian soal

Sama seperti nomor 2 sisi AB = c, sisi AC = b dan sisi BC = a. Selanjutnya untuk menjawab soal ini menggunakan aturan cosinus sebagai berikut:

  • a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos 120°.
  • a2 = 102 + 62 – 2 . 10 . 6 . -1/2.
  • a2 = 100 + 36 + 60 = 196.
  • a =  196   = 14 cm.

Jadi panjang BC = 14 cm.


Contoh soal 2

Sebuah segitiga ABC mempunyai panjang sisi AB = 9 cm, AC = 8 cm dan BC = 7 cm. Hitunglah besar dari ∠A.

Penyelesaian soal

Langkah-langkah menjawab soal ini adalah:

  • a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A.
  • 72 = 82 + 92 – 2 . 8 . 9 cos A.
  • 49 = 64 + 81 – 144 cos A.
  • 144 cos A = 96
  • cos A = 96/144 = 2/3

Jadi besar dari cos A = 2/3.


Contoh soal 3

Pada saat mensurver sebidang rawa-rawa, seorang pensurvei berjalan sejauh 425 m dari titik A ke titik B, kemudian berputar 65° dan berjalan sejauh 300 m ke titik C seperti gambar dibawah. Hitunglah panjang AC.

Contoh soal aturan cosinus
Contoh soal aturan cosinus

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh hasil sebagai berikut:

  • Cos B = 180° – 65° = 115°
  • b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B.
  • b2 = 3002 + 4252 – 2 . 300 . 425 . cos 115°.
  • b2 = 90.000 + 180625 – 255.000 . (-0,42262).
  • b2 = 270.625 + 95.090= 365.715
  • b =  365.715   = 604,74 m

Itulah contoh soal aturan sinus, aturan cosinus dan penyelesaiannya. Mudah-mudah penjelasannya mudah dipahami sehingga bermanfaat. Sampai berjumpa kembali di artikel selanjutnya.

You cannot copy content of this page