5 Contoh soal titik belok dan pembahasannya

admin 30 Desember 202030 Desember 2020 Titik belok

Postingan ini membahas contoh soal titik belok dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Lalu apa itu titik belok ?. Jika fungsi naik pada x < a kemudian naik pada x > a maka x = a, grafik fungsi mengalami pembelokan dan titik [a, f(a)] disebut titik belok. Demikian pula jika fungsi turun pada x < a kemudian turun pada x > a maka x = a, grafik fungsi mengalami pembelokan, titik [a, f(a)] disebut titik belok.

Titik belok dapat diselidiki dengan menggunakan turunan kedua. Umumnya kecekungan kurva suatu fungsi akan berubah dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas atau sebaliknya apabila f” = 0 atau f” tidak ada. Dengan demikian [a, f(a)] adalah calon titik belok apabila f” = 0 atau f” tidak ada. Untuk memastikan bahwa [a, f(a)] adalah titik belok maka syarat yang harus dimiliki sebagai berikut.

f”(a) = 0
f”(x) < 0 untuk x < a dan f”(x) > 0 untuk x > 0 atau f”(x) > 0 untuk x < a dan f'(x) < 0 untuk x > 0.

Contoh soal titik belok

Contoh soal 1

Titik belok dari grafik fungsi y = x³ – 12x + 2 adalah…
A. [0, 2]
B. [2, 0]
C. [2, -14]
D. [-2, -18]
E. [-14, 18]

Pembahasan

y = x³ – 12x + 2
y’ = 3x² – 12
y” = 6x
y” = 0 atau 6x = 0 maka x = $\frac {0} {6}$ = 0 sehingga y”(0) = 0

Untuk menentukan titik belok kita buat garis bilangan seperti gambar dibawah ini.

Berdasarkan garis bilangan diatas maka untuk x < 0 maka f”(x) < 0 (negatif) dan untuk x > 0 maka f”(x) > 0 (positif). Jadi titik beloknya adalah [a, f(a)] dimana a = 0 atau titik beloknya [0, f(0)]. Nilai f(0) dicari dengan subtitusi x = 0 ke f(x) = x³ – 12x + 2 sehingga didapat f(0) = 0³ – 12 . 0 + 2 = 2. Dengan demikian titik belok y = x³ – 12x + 2 adalah [0, 2]. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 2

Titik belok fungsi y = (x + 1)³ adalah…
A. [-1, 0]
B. [1, 0]
C. [0, 1]
D. [0, -1]
E. [-1, 3]

Pembahasan

y = (x + 1)³
y’ = 3 (x + 1)^{3 – 1} . 1 = 3 (x + 1)²
y” = 2 . 3 (x + 1)^{2 – 1} = 6 (x + 1)
y” = 0 atau 6 (x + 1) = 0 diperoleh x = -1

Kemudian buat garis bilangan untuk menentukan titik belok seperti gambar dibawah ini.

Berdasarkan garis bilangan diatas maka untuk x < -1 maka f”(x) < 0 dan untuk x > -1 maka f”(x) > 0. Jadi titik beloknya adalah [a, f(a)] dimana a = -1 atau titik beloknya [-1, f(-1)]. Nilai f(-1) dicari dengan subtitusi x = -1 ke f(x) = (x + 1)³ sehingga didapat f(-1) = (-1 + 1)³ = 0³ = 0. Dengan demikian titik belok y = (x + 1)³ adalah [-1, 0]. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 3

Titik belok dari fungsi y = x³ – 3x² – 24x mempunyai absis = …
A. -1
B. 0
C. 1
D. 0 atau 1
E. 0 atau -1

Pembahasan

y = x³ – 3x² – 24x
y’ = 3x² – 6x – 24
y” = 6x – 6
y” = 0 atau 6x – 6 = 0 diperoleh x = 1

Jadi absis = 1. Jawaban soal ini A. Jika yang dicari titik belok maka subtitusi x = 1 ke y sehingga diperoleh y = 1³ – 3 . 1² – 24 . 1 = -26. Dengan demikian titik beloknya [1, -26].

Contoh soal 4

Titik belok fungsi y = x⁴ – 2x³ + 5 diperoleh pada x = …
A. 0
B. 1
C. -1
D. 0 atau 1
E. 0 atau -1

Pembahasan

y = x⁴ – 2x³ + 5
y’ = 4x³ – 6x²
y” = 12x² – 12x
12x² – 12x = 0
12x (x – 1) = 0
x = 0 atau x = 1

Jadi titik absisnya 0 atau 1. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 5

Titik belok fungsi $\sqrt[3]{x + 1}$ adalah …
A. [-1, 0]
B. [1, 0]
C. [0, 1]
D. [0, -1]
E. [-1, 2]

Pembahasan

y = $\sqrt[3]{x + 1}$ = (x + 1)^1/3
y’ = 1/3 (x + 1)^-2/3
y” = -2/3 . 1/3 (x + 1)^-5/3
y” = -2/9 (x + 1)^-5/3
y” = 0 atau -2/9 (x + 1)^-5/3 = 0 diperoleh x = -1.

Subtitusi x = – 1 ke y = $\sqrt[3]{x + 1}$ diperoleh y = $\sqrt[3]{-1 + 1}$ = 0. Jadi titik beloknya = [-1, 0]. Soal ini jawabannya A.