);

Contoh soal fungsi naik & fungsi turun dan penyelesaiannya + pembahasan

Pada postingan kali ini, kita akan membahas contoh soal fungsi naik & contoh soal fungsi turun dan penyelesaiannya + pembahasan. Lalu apa itu fungsi naik dan fungsi turun?. Fungsi naik adalah fungsi pada interval tertentu grafiknya naik sedangkan fungsi turun adalah fungsi pada interval tertentu grafiknya turun.

Untuk menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun kita menggunakan turunan atau differensial. Suatu fungsi F(x) naik dalam interval tertentu jika turunan f'(x) > 0. Sedangkan suatu fungsi F(x) turun dalam suatu interval jika f'(x) < 0.

Jadi agar kita bisa menyelesaikan soal fungsi naik atau fungsi turun maka kita harus menguasai turunan. Turunan ini sudah dibahas di postingan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan 10 contoh soal fungsi naik & fungsi turun dan penyelesaiannya / pembahasannya.

Contoh soal 1

Grafik fungsi f(x) = x2 + 4x + 1 naik pada interval …
A. x ≥ – 2
B. x > -2
C. x ≤ -2
D. x < -2
E. x > 2

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita terapkan syarat fungsi naik yaitu f'(x) > 0 sehingga diperoleh:

  • f'(x) > 0
  • 2x + 4 > 0
  • 2x > -4
  • x > -4/2
  • x > -2

Jadi interval fungsi naik f(x) = x2 + 4x + 1 adalah x > – 2. Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = 2x2 + 8x – 4 turun pada interval …
A. x < – 4
B. x < – 2
C. x > 2
D. x > 4
E. x > 8

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini kita terapkan syarat fungsi turun yaitu f'(x) < 0 sehingga diperoleh:

  • f'(x) < 0
  • 4x + 8 < 0
  • 4x < – 8
  • x < -8/4
  • x < – 2

Jadi interval fungsi turun x< – 2. Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 3

Grafik fungsi y = mx + 2 akan selalu naik apabila …
A. m = 0
B. m > 0
C. m < 0
D. m ≥ 0
E. |m| > 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Kita turunkan terlebih dahulu y = mx + 2 dan diperoleh y’ = m. Berdasarkan syarat fungsi naik y’ > 0 maka diperoleh m > 0. Jadi fungsi y = mx + 2 selalu naik pada m > 0. Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 4

Kurva y = x3 – 6x2 + 9x + 7 naik untuk interval ….
A. x > 0
B. -3 < x < 1
C. – 1 < x < 3
D. x < -3 atau x > 1
E. x < 1 atau x > 3

Penyelesian soal / pembahasan

Terapkan syarat fungsi naik yaitu y’ > 0 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

  • y’ > 0
  • 3x2 – 12x + 9 > 0 (dibagi 3)
  • x2 – 4x + 3 > 0
  • (x – 3) (x – 1) > 0
  • x = 3 atau x = 1

Untuk menentukan interval fungsi naik kita buat garis bilangan seperti gambar dibawah ini.

fungsi naik
Garis bilangan untuk menentukan interval fungsi naik soal nomor 4

Berdasarkan garis bilangan gambar diatas, maka interval fungsi naik soal nomor 4 adalah x < 1 atau x > 3. Soal ini jawabannya E.

Untuk menentukan tanda positif atau negatif pada garis bilangan sebagai berikut.

  • masukkan nilai x < 1 (misalkan x = 0) ke y’ = x2 – 4x + 3. Kita peroleh y’ = 02 – 4 .0 + 3 = + 3. Hasilnya positif sehingga tanda pada garis bilangan sebelah kiri adalah positif (+).
  • masukkan nilai 1 < x < 3 (misalkan x = 2) ke y’ = x2 – 4x + 3 = 22 – 4 . 2 + 3 = -1. Hasilnya negatif sehingga tanda pada garis bilangan yang ditengah negatif (-).
  • masukkan angka x > 3 (misalkan x = 4) ke y’ = x2 – 4x + 3 = 42 – 4 . 4 + 3 = + 3. Hasilnya positif sehingga tanda pada garis bilangan disebelah kanan adalah positif (+).

Contoh soal 5

Grafik fungsi y = x3 + 3x2 – 45x + 4 turun pada interval …
A. -5 < x < 3
B. -3 < x < 5
C. x < -5 atau x > 3
D. x < -3 atau x > 5
E. x > 5

Penyelesaian soal / pembahasan

Terapkan syarat fungsi turun y'< 0 dan diperoleh hasil sebagai berikut.

  • y’ < 0
  • 3x2 + 6x – 45 < 0 (dibagi 3)
  • x2 + 2x – 15 <
  • (x1 + 5) (x2 – 3).
  • x1 = -5 dan x2 = 3.

Buat garis bilangan untuk menentukan interval fungsi turun sebagai berikut.

Fungsi turun
Garis bilangan untuk menentukan interval fungsi turun soal nomor 5

Berdasarkan garis bilangan diatas fungsi turun pada interval -5 < x < 3. Soal ini jawabannya A.


Contoh soal 6

Grafik fungsi f(x) = \frac {1}{x^{2} + 1} akan turun pada interval …
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < -2

Penyelesaian soal / pembahasan

Misalkan U = 1 maka U’ = 0 dan V = x2 + 1 maka V’ = 2x. Maka turunan fungsi y sebagai berikut:

  • y’ = \frac {U' V - V' U} {V^2}
  • y’ = \frac {0 . (x^{2} + 1) - 2x . 1)} {(x^{2} + 1)^2}
  • y’ = – \frac {2x} {(x^{2} + 1)^2}

Syarat fungsi turun y’ < 0 maka:

  • \frac {2x} {(x^{2} + 1)^2} < 0
  • -2x < 0 (x2 +1)2
  • -2x < 0 atau x < 0

Jadi interval turun fungsi y adalah x < 0. Soal ini jawabannya A.


Contoh soal 7

Grafik fungsi f(x) = \frac {x + 1}{x^{2} + 8} naik pada interval …
A. -4 < x < 2
B. -2 < x < 4
C. x < -4 atau x > 2
D. x < -2 atau x > 4
E. -2 < x < -4

Penyelesaian soal

Misal U = x +1 maka U’ = 1 dan V = x2 + 8 maka V’ = 2x. Diperoleh turunan:

  • y' = \frac {U'.V - V'.U}{V^2}.
  • y' = \frac {1 . (x^{2} + 8) - 2x . (x + 1)}{(x^{2} + 8)^2}.
  • y' = \frac {x^{2} + 8 - 2x^{2} - 2x} {(x^{2} + 8)^2}
  • y' = \frac {-x^{2} - 2x + 8} {(x^{2} + 8)^2}
  • y' = \frac {-(x +4) (x - 2)}{x^{2} + 8}.
  • Syarat fungsi naik y’ > 0 maka (x + 4) (x – 2) > 0
  • x1 = -4 dan x2 = 2.

Masukkan 1 angka yang lebih kecil dari -4 (misalkan -5) ke:

  • y' = \frac {-(x^{2} + 2x -8)}{(x^{2} + 8)^2}.
  • y' = \frac {-(-5)^{2} + 2.(-5) - 8)}{((-5)^{2} +8))^2}.
  • y' = \frac {-7}{1089}.

Hasilnya negatif sehingga tanda pada garis bilangan sebagai berikut:

Fungsi naik
Garis bilangan menentukan interval fungsi naik soal nomor 7

Dengan demikian interval naik fungsi soal nomor 7 adalah x > – 4 atau x < 2 (-4 < x < 2). Soal ini jawabannya A.


Contoh soal 9

Fungsi y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 2 akan naik pada interval …
A. -2 < x < 4
B. 2 < x < 4
C. x < 2 atau x > 4
D. x < -4 atau x < 2
E. x < -2 atau x > 4

Penyelesaian soal / pembahasan

Dengan menggunakan syarat fungsi naik y’ > 0 diperoleh hasil sebagai berikut.

  • y’ > 0
  • x2 – 6x + 8 > 0
  • (x – 4) (x – 2) > 0
  • x = 4 atau x = 2

Jadi interval fungsi naik adalah x < 2 atau x > 4. Soal ini jawabannya C.


Contoh soal 10

Pada interval -1 < x < 4 maka grafik fungsi y = 1/3x3 – x2 – 3x + 1 akan …
A. selalu naik
B. selalu turun
C. naik kemudian turun
D. turun kemudian naik
E. naik kemudian turun kemudian naik

Penyelesaian soal / pembahasan

  • y’ = x2 – 2x – 3
  • x2 – 2x – 3 = 0
  • (x – 3) (x + 1) = 0
  • x = 3 atau x = -1

Fungsi y naik pada interval x < -1 atau x > 3 dan turun pada interval -1 < x < 3. Jadi pada interval -1 < x < 4 fungsi turun kemudian naik. Soal ini jawabannya D.

You cannot copy content of this page