);

Contoh soal fungsi naik, fungsi turun dan penyelesaiannya

Pada postingan kali ini, kita akan membahas contoh soal fungsi naik, fungsi turun dan penyelesaiannya. Lalu apa itu fungsi naik dan fungsi turun?. Fungsi naik adalah fungsi pada interval tertentu grafiknya naik sedangkan fungsi turun adalah fungsi pada interval tertentu grafiknya turun.

Untuk menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun kita menggunakan turunan atau differensial. Suatu fungsi F(x) naik dalam interval tertentu jika turunan f'(x) > 0. Sedangkan suatu fungsi F(x) turun dalam suatu interval jika f'(x) < 0.

Jadi agar kita bisa menyelesaikan soal fungsi naik atau fungsi turun maka kita harus menguasai turunan. Turunan ini sudah dibahas di postingan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh soal fungsi naik, fungsi turun dan penyelesaiannya dibawah ini.

Contoh soal 1

Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x2 – 4x +8.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita terapkan syarat fungsi naik yaitu f'(x) > 0 sehingga diperoleh:

  • f'(x) > 0
  • 2x – 4 > 0
  • x > 4/2.
  • x > 2.

Jadi interval fungsi naik f(x) = x2 – 4x + 8 adalah x > 2.


Contoh soal 2

Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 2x2 + 8x – 4.

Penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita terapkan syarat fungsi turun yaitu f'(x) < 0 sehingga diperoleh:

  • f'(x) < 0
  • 4x + 8 < 0
  • x < – 8/4.
  • x < -2

Jadi interval fungsi turun x< – 2.


Contoh soal 3

Fungsi y = ax – 2 akan selalu naik apabila …

Penyelesaian soal

Kita turunkan terlebih dahulu y = ax – 2 dan diperoleh y’ = a. Berdasarkan syarat fungsi naik y’ > 0 maka diperoleh a > 0. Jadi fungsi y = ax – 2 selalu naik pada a > 0.


Contoh soal 4

Tentukan interval fungsi turun dari y = 1/3 x3 – 3x2 + 5x + 3.

Penyelesian soal

Langkah pertama adalah kita turunkan fungsi y sehingga diperoleh y’ = x2 – 6x + 5.

Selanjutnya adalah terapkan syarat fungsi turun (y’ < 0) sehingga diperoleh:

  • y’ = x2 – 6x + 5 < 0.
  • (x – 5) (x – 1) < 0.
  • Diperoleh x1 = 5 dan x2 = 1.

Untuk menentukan tanda positif atau negatif pada garis bilangan masukkan satu angka yang lebih kecil dari 1 (misalkan 0) ke y’ = x2 – 6x + 5. Kita peroleh y’ = 02 – 6.0 + 5 = +5. Hasilnya positif sehingga tanda pada garis bilangan yang paling kiri adalah positif. Jika digambarkan sebagai berikut:

Garis bilangan fungsi turun

Jadi interval turun fungsi 1/3 x3 – 3x2 + 5x + 3 adalah 1 < x < 5.


Contoh soal 5

Tentukan interval naik fungsi y = x3 + 3x2 – 45x + 4.

Penyelesaian soal

Fungsi y kita turunkan sehingga diperoleh:

  • y’ = 3x2 + 6x – 45.
  • y’ = x2 + 2x – 15.

Syarat fungsi naik adalah y’ > 0 sehingga:

  • y’ = x2 + 2x – 15 > 0.
  • (x1 + 5) (x2 – 3).
  • x1 = -5 dan x2 = 3.

Masukkan 1 angka yang lebih kecil dari -5 (misalkan -6) sehingga diperoleh:

  • y’ = x2 + 2x – 15 = (-6)2 + 2 . -6 – 15 = 36 – 12 – 15 = +9.

Hasilnya +9 atau positif sehingga tanda pada garis bilangan yang paling kiri positif. Jadi garis bilangan digambarkan sebagai berikut:

Garis bilangan fungsi naik

Berdasarkan garis bilangan diatas fungsi naik pada interval x < -5 atau x > 3.


Contoh soal 6

Tentukan interval turun fungsi y = \frac {1}{x^2 + 1}.

Penyelesaian soal

Misalkan U = 1 maka U’ = 0 dan V = x2 + 1 maka V’ = 2x. Maka turunan fungsi y sebagai berikut:

  • y’ = U’ V – V’ U/V2.
  • y’ = 0 (x2 + 1) – 2x . 1/(x2 + 1)2.
  • y’ = – 2x/(x2 + 1)2.

Syarat fungsi turun y’ < 0 maka:

  • 2x/(x2 + 1)2 < 0
  • -2x < 0 (x2 +1)2
  • -2x < 0 atau x < 0

Jadi interval turun fungsi y adalah x < 0.


Contoh soal 7

Tentukan interval fungsi naik \frac {x + 1}{x^2 + 8}.

Penyelesaian soal

Misal U = x +1 maka U’ = 1 dan V = x2 + 8 maka V’ = 2x. Diperoleh turunan:

  • y' = \frac {U'.V - V'.U}{V^2}.
  • y' = \frac {-(x^2 + 2x - 8)}{(x^2 + 8)^2}.
  • y' = \frac {-(x +4) (x - 2)}{x^2 + 8}.
  • Syarat fungsi naik y’ > 0 maka (x + 4) (x – 2) > 0
  • x1 = -4 dan x2 = 2.

Masukkan 1 angka yang lebih kecil dari -4 (misalkan -5) ke:

  • y' = \frac {-(x^2 + 2x -8)}{(x^2 + 8)^2}.
  • y' = \frac {-((-5)^2 + 2.(-5) - 8)}{((-5)^2 +8))^2}.
  • y' = \frac {-7}{1089}.

Hasilnya negatif sehingga tanda pada garis bilangan sebagai berikut:

Garis bilangan fungsi naik 2 titik

Dengan demikian interval naik fungsi soal nomor 7 adalah x > – 4 atau x < 2 (-4 < x < 2).

You cannot copy content of this page