5 Contoh soal aturan L’Hospital & pembahasannya

Postingan ini membahas contoh soal aturan L’Hospital atau teorema L’Hospital dan pembahasannya. Lalu apa itu aturan L’Hospital ?. Aturan L’Hospital atau teorema L’Hospital merupakan penggunaan turunan untuk menghitung bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi. Turunan dapat kita gunakan dalam penentuan nilai limit apabila limit tersebut merupakan bentuk tak tentu atau . Jika g’ ≠ 0 untuk setiap x ≠ a dan jika mempunyai bentuk atau pada x = a maka aturan L’Hospital sebagai berikut.

Jika masih mempunyai bentuk tak tentu, maka diteruskan dengan menggunakan turunan kedua dan seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya.

Contoh soal aturan L’Hospital

Contoh soal 1

lim

x → 2

x2 + 3x – 10

x2 + 4x – 12

= …
A.

7

8

B.

5

6

C.

3

4

D.

2

3

E.

1

2

Pembahasan

Pada soal ini diketahui f(x) = x² + 3x – 10 dan g(x) = x² + 4x – 12. Selanjutnya f(x) dan g(x) diturunkan dan hasilnya f'(x) = 2x + 3 sedangkan g'(x) = 2x + 4. Maka berdasarkan aturan L’Hospital, hasil limit soal diatas sebagai berikut.

lim

x → a

f(x)

g(x)

=

lim

x → a

f'(x)

g'(x)

lim

x → 2

x2 + 3x – 10

x2 + 4x – 12

=

lim

x → 2

2x + 3

2x + 4

=

2 . 2 + 3

2 . 2 + 4

=

7

8

Jawaban soal ini A.

---

Contoh soal 2

lim

x → 1

x2 + 4x – 5

x3 + 7x2 – 8x

= …
A.

1

3

B.

2

3

C. 1
D. 1

1

3

E. 1

2

3

Pembahasan

Pada soal nomor 2 diketahui f(x) = x² + 4x – 5 dan g(x) = x³ + 7x² – 8x. Selanjutnya f(x) dan g(x) diturunkan dan hasilnya f'(x) = 2x + 4 sedangkan g'(x) = 3x² + 14x – 8. Maka berdasarkan aturan L’Hospital, hasil limit soal diatas sebagai berikut.

lim

x → a

f(x)

g(x)

=

lim

x → a

f'(x)

g'(x)

lim

x → 1

x2 + 4x – 5

x3 + 7x2 – 8x

=

lim

x → 1

2x + 4

3x2 + 14x – 8

=

2 . 1 + 4

3 . 12 + 14 . 1 – 8

=

6

9

=

2

3

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 3

lim

x → 0

x3 + 3x2 – 6x

x2 – 2x

= …
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3

Pembahasan

lim

x → a

f(x)

g(x)

=

lim

x → a

f'(x)

g'(x)

lim

x → 0

x3 + 3x2 – 6x

x2 – 2x

=

lim

x → 0

3x2 + 6x – 6

2x – 2

=

3 . 02 + 6 . 0 – 6

2 . 0 – 2

=

-6

-2

= 3

Soal ini jawabannya E.

---

Contoh soal 4

lim

x → ∞

x2 + 2x – 5

2x2 + 3x – 7

= …
A. 1
B. 5/7
C. ∞
D. 2/3
E. 1/2

Pembahasan

lim

x → a

f(x)

g(x)

=

lim

x → a

f'(x)

g'(x)

lim

x → ∞

x2 + 2x – 5

2x2 + 3x – 7

=

lim

x → ∞

2x + 2

4x + 3

=

2

4

=

1

2

Soal ini jawabannya E.

---

Contoh soal 5

Dengan menggunakan aturan L’Hospital, nilai dari

lim

x → 0

sin 5x

x

= …
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan

lim

x → a

f(x)

g(x)

=

lim

x → a

f'(x)

g'(x)

lim

x → 0

sin 5x

x

=

lim

x → 0

5 cos 5x

1

=

5 cos (5 . 0)

1

=

5 . 1

1

= 5

Soal ini jawabannya E.