);

5 Contoh soal aturan L’Hospital & pembahasannya

Postingan ini membahas contoh soal aturan L’Hospital atau teorema L’Hospital dan pembahasannya. Lalu apa itu aturan L’Hospital ?. Aturan L’Hospital atau teorema L’Hospital merupakan penggunaan turunan untuk menghitung bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi. Turunan dapat kita gunakan dalam penentuan nilai limit apabila limit tersebut merupakan bentuk tak tentu \frac {0} {0} atau \frac {\infty} {\infty}. Jika g’ ≠ 0 untuk setiap x ≠ a dan jika \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} mempunyai bentuk \frac {0} {0} atau \frac {\infty} {\infty} pada x = a maka aturan L’Hospital sebagai berikut.

Aturan L'Hospital
Aturan L’Hospital

Jika \lim_{x \to a} \frac {f'(x)} {g'(x)} masih mempunyai bentuk tak tentu, maka diteruskan dengan menggunakan turunan kedua \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f''(x)} {g''(x)} dan seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya.

Contoh soal aturan L’Hospital

Contoh soal 1

lim
x → 2
x2 + 3x – 10
x2 + 4x – 12
= …
A.
7
8

B.
5
6

C.
3
4

D.
2
3

E.
1
2

Pembahasan

Pada soal ini diketahui f(x) = x2 + 3x – 10 dan g(x) = x2 + 4x – 12. Selanjutnya f(x) dan g(x) diturunkan dan hasilnya f'(x) = 2x + 3 sedangkan g'(x) = 2x + 4. Maka berdasarkan aturan L’Hospital, hasil limit soal diatas sebagai berikut.

lim
x → a
f(x)
g(x)
=
lim
x → a
f'(x)
g'(x)

lim
x → 2
x2 + 3x – 10
x2 + 4x – 12
=
lim
x → 2
2x + 3
2x + 4

=
2 . 2 + 3
2 . 2 + 4
=
7
8

Jawaban soal ini A.


Contoh soal 2

lim
x → 1
x2 + 4x – 5
x3 + 7x2 – 8x
= …
A.
1
3

B.
2
3

C. 1
D. 1
1
3

E. 1
2
3

Pembahasan

Pada soal nomor 2 diketahui f(x) = x2 + 4x – 5 dan g(x) = x3 + 7x2 – 8x. Selanjutnya f(x) dan g(x) diturunkan dan hasilnya f'(x) = 2x + 4 sedangkan g'(x) = 3x2 + 14x – 8. Maka berdasarkan aturan L’Hospital, hasil limit soal diatas sebagai berikut.

lim
x → a
f(x)
g(x)
=
lim
x → a
f'(x)
g'(x)

lim
x → 1
x2 + 4x – 5
x3 + 7x2 – 8x
=
lim
x → 1
2x + 4
3x2 + 14x – 8

=
2 . 1 + 4
3 . 12 + 14 . 1 – 8
=
6
9
=
2
3

Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 3

lim
x → 0
x3 + 3x2 – 6x
x2 – 2x
= …
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3

Pembahasan

lim
x → a
f(x)
g(x)
=
lim
x → a
f'(x)
g'(x)

lim
x → 0
x3 + 3x2 – 6x
x2 – 2x
=
lim
x → 0
3x2 + 6x – 6
2x – 2

=
3 . 02 + 6 . 0 – 6
2 . 0 – 2
=
-6
-2
= 3

Soal ini jawabannya E.


Contoh soal 4

lim
x → ∞
x2 + 2x – 5
2x2 + 3x – 7
= …
A. 1
B. 5/7
C. ∞
D. 2/3
E. 1/2

Pembahasan

lim
x → a
f(x)
g(x)
=
lim
x → a
f'(x)
g'(x)

lim
x → ∞
x2 + 2x – 5
2x2 + 3x – 7
=
lim
x → ∞
2x + 2
4x + 3

=
2
4
=
1
2

Soal ini jawabannya E.


Contoh soal 5

Dengan menggunakan aturan L’Hospital, nilai dari
lim
x → 0
sin 5x
x
= …
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan

lim
x → a
f(x)
g(x)
=
lim
x → a
f'(x)
g'(x)

lim
x → 0
sin 5x
x
=
lim
x → 0
5 cos 5x
1

=
5 cos (5 . 0)
1
=
5 . 1
1
= 5

Soal ini jawabannya E.

You cannot copy content of this page