Contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak satu variabel dan penyelesaiannya

Pada postingan ini kita membahas contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak satu variabel dan penyelesaiannya. Postingan ini adalah lanjutan dari artikel sebelumnya yaitu tentang contoh soal persamaan nilai mutlak.

Persamaan nilai mutlak menggunakan notasi sama dengan (=). Sedangkan pada pertidaksamaan kita menggunakan notasi seperti notasi lebih kecil (<), lebih besar (>), lebih kecil sama dengan (≤) dan lebih besar sama dengan (≥). Contoh dari pertidaksamaan nilai mutlak adalah |x + 1| > 3 atau |x – 4| < 2 dan sebagainya.

Ketika kita menyelesaikan soal pertidaksamaan nilai mutlak maka hasilnya dalam bentuk interval x. Ini berbeda dengan persamaan nilai mutlak yang hasilnya langsung berupa angka.

Cara menyelesaikan soal pertidaksamaan nilai mutlak adalah dengan menggunakan syarat sebagai berikut:

1. |x| < a maka -a < x < a
2. |x| > a maka x < -a atau x > a

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya dibawah ini.

Contoh soal 1

Tentukan interval penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 4| < 6.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gunakan syarat pertama pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• -6 < x – 4 < 6
• – 6 + 4 < x < 6 + 4
• -2 < x < 10

Jadi interval pertidaksamaan |x – 4| < 6 adalah -2 < x < 10. Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau tidak kita ambil satu angka yang berada pada interval -2 < x < 10, misalkan 1. Kemudian angka 1 kita subtitusikan ke pertidaksamaan |x – 4| < 6 atau |1 – 4| < 6. Hasilnya adalah |-3| = 3 < 6. Kita lihat 3 memang kurang dari 6. Jadi jawaban ini terbukti.

Selain itu, soal nomor 1 dapat dijawab dengan cara sebagai berikut:

• |x – 4| < 6
• (x – 4)² < 6²
• x² – 8x + 16 < 36
• x² – 8x – 16 – 36 < 0
• x² – 8x – 20 < 0
• (x + 2) (x – 10) < 0
• x = -2 dan x = 10

Jika kedua titik x = – 2 dan x = 10 dibuat garis bilangan maka gambar sebagai berikut:

Jadi intervalnya -2 < x < 10. Kita lihat cara pertama dengan cara kedua mendapatkan hasil yang sama.

Cara membuat garis bilangan seperti gambar diatas adalah kita ambil satu angka yang lebih kecil dari -2 (misalkan -3). Selanjutnya -3 kita subtitusi ke x² – 8x – 20 = (-3)² – 8 . – 3 – 20 = + 13. Hasilnya positif jadi tanda garis bilangan sebelum -2 adalah positif, lalu negatif dan positif lagi (selang-seling).

Contoh soal 2

Tentukan interval penyelesaian dari pertidaksamaan |2x + 1| > 5.

Penyelesaian soal

Berdasarkan syarat kedua pertidaksamaan nilai mutlak kita peroleh:

• 2x + 1 < -5 atau 2x + 1 > 5
• 2x < -5 – 1 atau 2x > 5 – 1
• 2x < -6 atau 2x > 4
• x < -3 atau x > 2

Jadi interval yang memenuhi pertidaksamaan |2x + 1| > 5 adalah x < -3 atau x > 2. Untuk mengecek jawaban benar atau tidak kita ambil satu angka yang lebih besar dari 2 yaitu 3. Lalu kita subtitusikan ke |2x + 1| > 5 atau |2 . 3 + 1| > 5 maka hasilnya |7| = 7 > 5. Kita lihat jawaban sesuai karena 7 memang lebih besar dari 5.

Contoh soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 6| ≤ 2.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gunakan syarat pertidaksaman nilai mutlak yang pertama:

• -2 ≤ 2x – 6 ≤ 2
• -2 + 6 ≤ 2x ≤ 2 + 6
• 4 ≤ 2x ≤ 8
• 2 ≤ x ≤ 4

Untuk memeriksa kebenaran interval ini kita ambil satu angka yang berada pada interval 2 ≤ x ≤ 4, misalkan 3. Selanjutnya kita masukkan |2x – 6| ≤ atau |2 . 3 – 6| = |6 – 6| = 0. Jawaban terbukti karena 0 lebih kecil dari 2.

Contoh saol 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x + 2| ≥ |2x – 2|.

Penyelesaian soal

Cara menyelesaikan soal ini sebagai berikut:

• (x + 2)² ≥ (2x – 2)².
• x² + 4x + 4 ≥ 4x² – 8x + 4.
• x² + 4x + 4 – 4x² + 8x – 4 ≥ 0
• -3x² + 12x ≥ 0.
• x (-3x + 12) ≥ 0
• x = 0 atau x = 4

Jadi interval penyelesaian |x + 2|≥ |2x – 2| adalah 0 ≤ x ≤ 4.

Contoh soal 5

Tentukan interval penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan |2x + 2| > x – 4.

Penyelesaian soal

Berdasarkan syarat persaman nilai mutlak kita peroleh:

• |2x + 2| maka 2x + 2 jika x ≥ -1
• |2x + 2| = -(2x + 2) jika x < -1

Untuk x ≥ -1 kita peroleh:

• 2x + 2 > x – 4
• 2x + 2 – x + 4 > 0
• x + 6 > 0
• x > -6

Untuk x < -1 kita peroleh:

• – (2x + 2) > x – 4
• -2x – 2 – x + 4 > 0
• -3x + 2 > 0
• – x > – 2/3
• x < 2/3

Jadi interval yang memenuhi pertidaksamaan |2x + 2|> x – 4 adalah x > – 6 atau -1 < x < 2/3.