Contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya + pembahasan

Pada postingan ini kita membahas contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya + pembahasannya. Berdasarkan konsep nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak, kita akan mempelajari bagaimana konsep pertidaksamaan nilai mutlak. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja yang mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan.

Lalu bagaimana cara menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan nilai mutlak ?. Jawabannya adalah dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak. Untuk setiap nilai a, x bilangan real, maka berlaku sifat pertidaksamaan nilai mutlak sebagai berikut.

1. Jika a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka -a ≤ x ≤ a
2. Jika a < 0 dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan.
3. Jika |x| ≥ a dan a > 0 maka x ≥ a atau x ≤ a.

Contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak

Contoh soal 1

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak|x – 4| < 6.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita gunakan syarat pertama pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• -6 < x – 4 < 6
• – 6 + 4 < x < 6 + 4
• -2 < x < 10

Jadi penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |x – 4| < 6 adalah -2 < x < 10. Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau tidak kita ambil satu angka yang berada pada interval -2 < x < 10, misalkan 1. Kemudian angka 1 kita subtitusikan ke pertidaksamaan |x – 4| < 6 atau |1 – 4| < 6. Hasilnya adalah |-3| = 3 < 6. Kita lihat 3 memang kurang dari 6. Jadi jawaban ini terbukti.

Selain itu, soal nomor 1 dapat dijawab dengan cara sebagai berikut:

• |x – 4| < 6
• (x – 4)² < 6²
• x² – 8x + 16 < 36
• x² – 8x – 16 – 36 < 0
• x² – 8x – 20 < 0
• (x + 2) (x – 10) < 0
• x = -2 dan x = 10

Jika kedua titik x = – 2 dan x = 10 dibuat garis bilangan maka gambar sebagai berikut:

Jadi penyelesaiannya adalah -2 < x < 10. Kita lihat cara pertama dengan cara kedua mendapatkan hasil yang sama.

Cara membuat garis bilangan seperti gambar diatas adalah kita ambil satu angka yang lebih kecil dari -2 (misalkan -3). Selanjutnya -3 kita subtitusi ke x² – 8x – 20 = (-3)² – 8 . – 3 – 20 = + 13. Hasilnya positif jadi tanda garis bilangan sebelum -2 adalah positif, lalu negatif dan positif lagi (selang-seling).

Contoh soal 2

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |3 – 2x| < 4.

Penyelesaian soal / pembahasan

Dengan menggunakan syarat 1 pertidaksamaan nilai mutlak diperoleh hasil sebagai berikut.

• -4 < 3 – 2x < 4
• -4 – 3 < -2x < 4 – 3
• -7 < -2x < 1
• \frac {-7} {-2} < x < – \frac {1} {2}
• –\frac {1} {2} < x < \frac {7} {2}

Contoh soal 3

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |2x + 1| > 5.

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan syarat ketiga pertidaksamaan nilai mutlak diperoleh hasil sebagai berikut.

• 2x + 1 < -5 atau 2x + 1 > 5
• 2x < -5 – 1 atau 2x > 5 – 1
• 2x < -6 atau 2x > 4
• x < -3 atau x > 2

Jadi penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |2x + 1| > 5 adalah x < -3 atau x > 2. Untuk mengecek jawaban benar atau tidak kita ambil satu angka yang lebih besar dari 2 yaitu misalkan 3. Lalu kita subtitusikan ke |2x + 1| > 5 atau |2 . 3 + 1| > 5 maka hasilnya |7| = 7 > 5. Kita lihat jawaban sesuai karena 7 memang lebih besar dari 5.

Contoh soal 4

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |\frac {x} {2} + 5| ≥ 9.

Penyelesaian soal / pembahasan

Dengan menggunakan syarat ketiga pertidaksamaan nilai mutlak diperoleh hasil sebagai berikut.

• \frac {x} {2} + 5 ≤ -9 atau \frac {x} {2} + 5 ≥ 9
• \frac {x} {2} ≤ -9 – 5 atau \frac {x} {2} ≥ 9 – 5
• x ≤ -14 . 2 atau x ≥ 4 . 2
• x ≤ – 28 atau x ≥ 8

Contoh soal 5

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak|2x – 6| ≤ 2.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita gunakan syarat pertidaksaman nilai mutlak yang pertama:

• -2 ≤ 2x – 6 ≤ 2
• -2 + 6 ≤ 2x ≤ 2 + 6
• 4 ≤ 2x ≤ 8
• 2 ≤ x ≤ 4

Untuk memeriksa kebenaran jawaban ini kita ambil satu angka yang berada pada interval 2 ≤ x ≤ 4, misalkan 3. Selanjutnya kita masukkan |2x – 6| ≤ atau |2 . 3 – 6| = |6 – 6| = 0. Jawaban terbukti karena 0 lebih kecil dari 2.

Contoh soal 6

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |x + 2| ≥ |2x – 2|.

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menyelesaikan soal ini sebagai berikut:

• (x + 2)² ≥ (2x – 2)².
• x² + 4x + 4 ≥ 4x² – 8x + 4.
• x² + 4x + 4 – 4x² + 8x – 4 ≥ 0
• -3x² + 12x ≥ 0.
• x (-3x + 12) ≥ 0
• x = 0 atau x = 4

Jadi penyelesaian |x + 2|≥ |2x – 2| adalah 0 ≤ x ≤ 4.

Contoh soal 7

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |x + 5| ≤ |1 – 9x|.

Penyelesaian soal / pembahasan

• (x + 5)² ≤ (1 – 9x)²
• x² + 10x + 25 ≤ 1 – 18x + 81x²
• x² – 81x² + 10x + 18x + 25 – 1 ≤ 0
• 80x² – 28x – 24 ≥ 0
• 20x² – 7x – 6 ≥ 0
• (4x – 3) (5x + 2) ≥ 0
• x = \frac {3} {4} atau x = – \frac {2} {5}

Dengan menggunakan garis bilangan diperoleh penyelesaiannya.

Jadi penyelesaiannya adalah x ≤ – \frac {2} {5} atau x ≥ \frac {3} {4}.

Contoh soal 8

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |2x + 2| > x – 4.

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan definisi persaman nilai mutlak kita peroleh:

• |2x + 2| = 2x + 2 jika x ≥ -1
• |2x + 2| = -(2x + 2) jika x < -1

Untuk x ≥ -1 kita peroleh:

• 2x + 2 > x – 4
• 2x + 2 – x + 4 > 0
• x + 6 > 0
• x > -6

Untuk x < -1 kita peroleh:

• – (2x + 2) > x – 4
• -2x – 2 – x + 4 > 0
• -3x + 2 > 0
• – x > – 2/3
• x < 2/3

Jadi penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |2x + 2|> x – 4 adalah x > – 6 atau -1 < x < 2/3.