Contoh soal persamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya + pembahasan

Pada postingan ini kita membahas contoh soal persamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Lalu apa itu nilai mutlak ?. Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol. Misalkan x bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x akan didefinisikan :

Definisi diatas dapat diungkap dengan kalimat berikut. Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa :

• |4| = 4, karena 4 > 0 (4 adalah bilangan positif)
• |9| = 9, karena 9 > 0 (9 adalah bilangan positif)
• |-2| = – (-2) = 2, karena -2 < 0 (-4 adalah bilangan negatif)
• |-6| = 6, karena -6 < 0 (-6 adalah bilangan negatif)

Lalu bagaimana cara menyelesaikan soal-soal persamaan nilai mutlak. Jawabannya adalah dengan menggunakan sifat yang berlaku pada persamaan nilai mutlak. Untuk setiap a, b, c bilangan real dengan a ≠ 0, jika |ax + b| = c dengan c ≥ 0, maka berlaku salah satu sifat persamaan nilai mutlak berikut ini.:

1. ax + b = c, untuk x ≥ – \frac {b} {a}
2. – (ax + b) = c untuk x < –\frac {b} {a}

Jika |ax + b| = c dengan c < 0 maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan nilai mutlak |ax + b| = c.

Contoh soal persamaan nilai mutlak

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 9.

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui a = 2, b = -1 dan c = 9. Dengan menggunakan sifat persamaan nilai mutlak maka diperoleh 2 persamaan sebagai berikut.

1. 2x – 1 = 9 jika x ≥ \frac {1} {2}
2. – (2x – 1) = 9 atau -2x + 1 = 9 jika x < \frac {1} {2}

Penyelesaian kedua persamaan diatas sebagai berikut.

1. Untuk x ≥ \frac {1} {2} diperoleh 2x – 1 = 9 maka 2x = 9 + 1 = 10 atau x = \frac {10} {2} = 5 (memenuhi syarat x ≥ \frac {1} {2})
2. Untuk x < \frac {1} {2} diperoleh -2x + 1 = 9 maka -2x = 9 – 1 = 8 atau x = \frac {8} {-2} = -4 (memenuhi syarat x < \frac {1} {2})

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 5 dan -4.

Contoh soal 2

Hitunglah nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak 2|2x + 3| = 10.

Penyelesaian soal / pembahasan

Persamaan nilai mutlak soal diatas diubah bentuknya menjadi |2x + 3| = \frac {10} {2} atau |2x + 3| = 5. Berdasarkan sifat persamaan nilai mutlak maka diperoleh 2 persamaan sebagai berikut.

1. 2x + 3 = 5 jika x ≥ – \frac {3} {2}
2. – (2x + 3) = 5 atau -2x – 3 = 5 jika x < – \frac {3} {2}

Penyelesaian kedua persamaan diatas sebagai berikut.

1. Untuk ≥ – \frac {3} {2} diperoleh 2x + 3 = 5 atau 2x = 5 – 3 = 2 maka x = \frac {2} {2} = 1 (memenuhi syarat x ≥ – \frac {3} {2})
2. Untuk x < – \frac {3} {2} diperoleh – 2x – 3 = 5 atau -2x = 5 + 3 = 8 atau x = \frac {8} {-2} = -4 (memenuhi syarat x < – \frac {3} {2})

Jadi nilai x yang memenuhi soal diatas adalah 1 dan -4.

Contoh soal 3

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak |2y + 5| = |7 – 2y|.

Penyelesaian soal / pembahasan

Ada 2 nilai mutlak pada soal ini yaitu |2y + 5| dan |7 – 2|. Berdasarkan definisi nilai mutlak maka diperoleh:

1. 2y + 5 jika y ≥ – \frac {5} {2}
2. – (2y + 5) jika y < – \frac {5} {2}
3. 7 – 2y jika y ≥ \frac {7} {2}
4. – (7 – 2y) jika y < \frac {7} {2}

Selanjutnya kita peroleh syarat penyelesaian dengan menggunakan garis bilangan dibawah ini.

Berdasarkan garis bilangan diatas terdapat 3 kemungkinan penyelesaian yaitu dengan syarat y > \frac {7} {2}, – \frac {5} {2} ≤ y < \frac {7} {2} dan y < – \frac {5} {2}.

1. Untuk y > \frac {7} {2}, diperoleh 2y + 5 = – (7 – 2y) atau 2y + 5 = -7 + 2y atau 2y – 2y = -7 – 5 (tidak ada nilai y yang memenuhi).
2. Untuk –\frac {5} {2} ≤ y < \frac {7} {2}, diperoleh 2y + 5 = 7 – 2y atau 2y + 2y = 7 – 5 atau 4y = 2. Sehingga didapat y = – \frac {2} {4} = \frac {1} {2} (memenuhi syarat karena – \frac {5} {2} ≤ x < \frac {7} {2}).
3. Untuk y < –\frac {5} {2}, diperoleh – (2y + 5) = 7 – 2y atau -2y – 5 = 7 – 2y atau -2y + 2y = 7 + 5. Tidak ada nilai y yang memenuhi.

Jadi nilai y yang memenuhi adalah \frac {1} {2}.

Contoh soal 4

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak |4x + 2| = x + 5.

Penyelesaian soal / pembahasan

Definisi nilai mutlak |4x + 2| sebagai berikut

• 4x + 2 jika x ≥ – 1/2
• – (4x + 2) jika x < – 1/2

Maka nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak diatas sebagai berikut :

• Untuk x ≥ – 1/2, diperoleh 4x + 2 = x + 5 atau 4x – x = 5 – 2. Sehingga didapat x = 1 (memenuhi syarat x ≥ – 1/2).
• Untuk x < – 1/2, diperoleh – (4x + 2) = x + 5 atau -4x – 2 = x + 5 atau -4x – x = 5 + 2. Sehingga diperoleh x = – 7/5 (memenuhi syarat x < – 1/2).

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 1 dan – 7/5.

Contoh soal 5

Hitunglah nilai x (jika ada) yang memenuhi persamaan nilai mutlak 2x + |3x – 8| = -4.

Penyelesaian soal / pembahasan

Persamaan nilai mutlak soal diatas diubah bentuknya menjadi |3x – 8| = -4 – 2x. Definisi nilai mutlak |3x – 8| sebagai berikut.

1. 3x – 8 jika x ≥ \frac {8} {3}
2. – (3x – 8) jika x < \frac {8} {3}

Berdasarkan definisi diatas diperoleh nilai x yang memenuhi yaitu sebagai berikut.

• Untuk x ≥ \frac {8} {3} diperoleh 3x – 8 = -4 – 2x atau 3x + 2x = -4 + 8. Sehingga didapat x = \frac {4} {5} (tidak memenuhi syarat x ≥ \frac {8} {3}.
• Untuk x < \frac {8} {3} diperoleh – (3x – 8) = – 4 – 2x atau 3x – 8 = 4 + 2x atau 3x – 2x = 4 + 8. Sehingga didapat x = 12 (tidak memenuhi syarat x < \frac {8} {3}

Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak.

Contoh soal 6

Hitunglah nilai x (jika ada) yang memenuhi persamaan nilai mutlak 2x + |8 – 3x| = |x – 4|.

Penyelesaian soal / pembahasan

Definisi nilai mutlak|8 – 3x|:

• 8 – 3x jika x ≥ \frac {8} {3}
• – (8 – 3x) jika x < \frac {8} {3}

Definisi nilai mutlak |x – 4|:

• x – 4 jika x ≥ 4
• – (x – 4) jika x < 4

Dengan menggunakan garis bilangan diperoleh syarat penyelesaian sebagai berikut.

Diperoleh 3 syarat penyelesaian yaitu x > 4, 8/3 ≤ x < 4 dan x < 8/3.

• Untuk x > 4 diperoleh 2x – (8 – 3x) = x – 4 atau 2x – 8 + 3x = x – 4 atau 5x – 8 = x – 4 atau 5x – x = -4 + 8. Diperoleh x = 1 (tidak memenuhi syarat x > 4).
• Untuk 8/3 ≤ x < 4 diperoleh 2x – (8 – 3x) = – (x – 4) atau 5x – 8 = – x + 4 atau 5x + x = – 4 – 8. Diperoleh x = -2 (tidak memenuhi syarat 8/3 ≤ x < 4).
• Untuk x < 8/3 diperoleh 2x + 8 – 3x = – (x – 4) atau -x + 8 = -x + 4. Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak.

Contoh soal 7

Selesaikanlah persamaan nilai mutlak 5 |2x – 3| = 2 |3 – 5x|.

Penyelesaian soal / pembahasan

Definisi nilai mutlak |2x – 3| sebagai berikut.

• 2x – 3 jika x ≥ \frac {3} {2}
• – (2x – 3) jika x < \frac {3} {2}

Definisi nilai mutlak |3 – 5x| sebagai berikut.

• 3 – 5x jika x ≥ \frac {3} {5}
• – (3 – 5x) jika x < \frac {3} {5}

Kemudian buat garis bilangan seperti gambar dibawah ini.

Jadi syarat penyelesaiannya adalah x > 3/2, 3/5 ≤ x < 3/2 dan x < 3/5.

• Untuk x > 3/2 diperoleh 5 (2x – 3) = 2 . – (3 – 5x) atau 10x – 15 = -6 + 10x. Tidak ada nilai x yang memenuhi.
• Untuk 3/5 ≤ x < 3/2 diperoleh 5 . – (2x – 3) = 2 – (3 – 5x) atau -10x + 15 = – 6 + 10x atau 10x + 10x = 6 + 15. Diperoleh x = 21/20 (memenuhi syarat 3/5 ≤ x < 3/2).
• Untuk x < 3/5 diperoleh 5 . – (2x – 3) = 2 (3 – 5x) atau -10x + 15 = 6 – 10 x. Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak diatas adalah 21/20.