Contoh soal persamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya

Pada postingan ini kita membahas contoh soal persamaan nilai mutlak satu variabel dan penyelesaiannya. Apa itu nilai mutlak. Nilai mutlak adalah bilangan real tanpa ada tanda negatif atau positif. Nilai mutlak -5 adalah 5 demikian juga nilai mutlak +5 adalah 5. Simbol nilai mutlak x adalah|x|.

Jadi secara definisi nilai mutlak x dapat ditulis sebagai berikut:

• |x| = x jika x ≥ 0
• |-x| = x jika x < 0

Contoh dari |x| = x jika ≥ 0 adalah nilai mutlak |4| = 4, nilai mutlak |9| = 9 dan bilangan real lainnya yang lebih besar atau sama dengan nol. Sedangkan contoh dari |-x| = x jika x < 0 adalah nilai mutlak |-2| = 2, nilai mutlak |-6| = 6 dan bilangan lainnya yang lebih kecil dari 0 atau bilangan negatif.

Bagaimana cara menyelesaikan soal persamaan nilai mutlak?

Untuk menjawab ini kita misalkan nilai mutlak x adalah |x| = a. Ini artinya nilai x bisa 2 macam yaitu x = a atau x = – a. Jadi pada persamaan nilai mutlak berlaku sifat:

• |x| = a maka x = a atau x = – a

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal persamaan nilai mutlak satu variabel dibawah ini.

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |x – 1| = 4.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gunakan sifat persamaan nilai mutlak jika |x| = a maka x = a atau x = – a:

• x – 1 = 4 atau x – 1 = -4
• x = 4 + 1 atau x = -4 + 1
• x = 5 atau x = -3

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 5 dan x = -3.

Untuk mengetahui hasil tersebut benar atau tidak, kita periksa saja dengan cara subtitusikan x = 5 dan x = – 3 ke persamaan |x – 1| = 4. Hasilnya sebagai berikut:

• x = 5 → |5 – 1| = |4| = 4
• x = -3 → |-3 – 1 = |-4| = 4

Kita lihat ternyata hasilnya sama.

Contoh soal 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x + 3| = 5.

Penyelesaian soal

Sama seperti nomor 1, kita gunakan sifat persamaan nilai mutlak sehingga didapat:

• 2x + 3 = 5 atau 2x + 3 = -5
• 2x = 5 – 3 atau 2x = -5 – 3
• x = 1 atau x = -4

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 1 dan -4.

Contoh soal 3

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x + 2| = |x – 1|.

Penyelesaian soal

Berdasarkan syarat persamaan nilai mutlak kita peroleh:

• 2x + 2 = x – 1 atau 2x + 2 = -(x – 1)
• 2x – x = – 1 – 2 atau 2x + x = 1 – 2
• x = – 3 atau 3x = – 1
• x = -3 atau x = – 1/3

Contoh soal 4

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |4x + 2| = x + 5.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan dahulu syarat nilai mutlak |4x + 2| yaitu:

• |4x + 2| = 4x + 2 jika x ≥ – 1/2
• |4x + 2| = – (4x + 2) jika x < – 1/2

1/2 didapat dari 4x + 2 = 0 → 4x = -2 atau x = – 1/2. Kemudian kita tentukan nilai x yang memenuhi persamaan dengan cara:

• 4x + 2 = x + 5
• 4x – x = 5 – 2
• 3x = 3
• x = 1

Karena syarat pertama x ≥ -1/2 maka x = 1 memenuhi persamaan |4x + 2| = x + 5.

Sekarang kita periksa syarat yang kedua yaitu x < – 1/2 kita peroleh:

• – (4x + 2) = x + 5
• -4x – 2 = x + 5
• -4x – x = 5 + 2
• -5x = 7
• x = – 7/5

x = – 7/5 lebih kecil dari – 1/2 sehingga x = – 7/5 juga memenuhi persamaan. Jadi nilai x yang memenuhi |4x + 2| = x + 5 adalah x = 1 dan x = – 7/5.

Contoh soal 5

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |x – 1| + |x + 2| = 4.

Penyelesaian soal

Syarat nilai mutlak yang pertama:

• |x – 1| = x – 1 jika x ≥ 1
• |x – 1| = – (x – 1) jika x < 1

Syarat nilai mutlak yang kedua:

• |x + 2| = x + 2 jika x ≥ -2
• |x + 2| = – (x + 2) jika x < -2

Untuk syarat x ≥ 1 kita peroleh:

• x – 1 + x + 2 = 4
• 2x + 1 = 4
• 2x = 4 – 1
• x = 3/2

x = 3/2 lebih besar dari 1 jadi x memenuhi persamaan.

Untuk syarat x < -2 kita peroleh:

• – (x – 1) – (x + 2) = 4
• -x + 1 – x – 2 = 4
• -2x – 1 = 4
• -2x = 5
• x = – 5/2

x = -5/2 lebih kecil dari -2 sehingga memenuhi persamaan.

Untuk syarat -2 ≤ x < 1 kita peroleh:

• -(x – 1) + (x + 2) = 4
• -x + 1 + x + 2 = 4

Karena -x + x = 0 maka pada interval -2 ≤ x < 1 tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi nilai x yang memenuhi persamaan |x – 1| + |x + 2| = 4 adalah x = 3/2 dan x = -5/2.