Penyelesaian contoh soal nilai stasioner & nilai minimum & nilai maksimum

admin 18 April 202113 Mei 2021 Nilai maksimum, Nilai minimum

Pada postingan ini, kita akan membahas penyelesaian contoh soal nilai stasioner, nilai minimum dan nilai maksimum + pembahasan dan jawaban. Jika suatu fungsi f(x) mempunyai turunan f'(x₀) = 0 maka nilai f(x₀) disebut sebagai nilai stasioner, sedangkan (x₀, f'(x₀) disebut titik stasioner. Titik stasioner dapat berupa titik maksimum, titik minimum atau titik belok. Titik minimum diawali oleh grafik turun kemudian naik. Sedangkan titik maksimum diawali oleh grafik naik kemudian turun. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.

Titik minimum, Titik maksimum — Titik minimum dan titik maksimum

Berdasarkan gambar diatas, f(x) bernilai maksimum atau minimum hanya disekitar x = a. Jika f(a) > f(x) untuk x ≠ a maka f(a) disebut dengan nilai maksimum, sedangkan jika f(a) < f(x) untuk x ≠ a maka f(a) disebut dengan nilai minimum.

Langkah-langkah menentukan nilai minimum dan nilai maksimum dari suatu fungsi f(x) sebagai berikut.

Turunkan fungsi f(x) dan faktorkan jika ada.
Buat garis bilangan f'(x) untuk menentukan grafik turun dan grafik naik.
Tentukan titik minimum atau titik maksimum
Subtitusi nilai faktor (titik minimum atau titik maksimum) ke f(x).

Contoh soal nilai stasioner

Contoh soal 1

Nilai stasioner dari f(x) = x² – 4x adalah …
A. -4
B. -2
C. 0
D. 2
E. 4

Penyelesaian soal / pembahasan

Nilai stasioner diperoleh pada f'(x) = 0:

f'(x) = 0
2x – 4 = 0
x = 4/2 = 2
Nilai stasioner f(x) adalah f(2) = 2² – 4 . 2 = 4 – 8 = -4

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 2

Nilai stasioner dari fungsi f(x) = x³ – x² – 8x diperoleh pada …
A. x = 2 dan x = -4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = -2
D. x = 2/3 dan x =-4
E. x = 4 dan x = -2/3

Penyelesaian soal / pembahasan

Nilai stasioner diperoleh pada f'(x) = 0.

f'(x) = 0
3x² – 2x – 8 = 0
(3x + 4) (x – 2) = 0
x = -3/4 dan x = 2

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 3

Titik-titik stasioner dari kurva y = x³ – 3x² – 9x + 10 adalah …
A. (-1, 15) dan (3, -17)
B. (-1, 15) dan (-3, -17)
C. (1, -1) dan (-3, -17)
D. (1, -1) dan (3, -17)
E. (3, -17) dan (-2, 8)

Penyelesaian soal / pembahasan

Nilai stasioner diperoleh pada y’ = 0.

y’ = 0
3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x + 1) (x – 3) = 0
x = – 1 dan x = 3
Untuk x = -1 diperoleh nilai stasioner f(-1) = (-1)³ – 3 (-1)² – 9 (-1) + 10 = 15
Untuk x = 3 diperoleh nilai stasioner f(3) = 3³ – 3 . 3² – 9 . 3 + 10 = – 17

Jadi titik stasioner (-1, 15) dan (3, -17). Soal ini jawabannya A.

Contoh soal nilai minimum

Contoh soal 1

Fungsi f(x) = 2x² – 16x mempunyai titik …
A. minimum (0, 0)
B. minimum (-4, 96)
C. minimum (4, -32)
D. maksimum (-4, 96)
E. maksimum (4, -32)

Penyelesaian soal / pembahasan

Turunkan fungsi f(x) dan diperoleh f'(x) = 4x – 16 atau f'(x) = 4 (x – 4).

Selanjutnya membuat garis bilangan dengan cara masukkan satu angka yang lebih kecil dari 4 (misal 3) ke f'(x) = 4 (3 – 4) = -4. Hasilnya negatif sehingga garis bilangan awalnya turun (-) kemudian naik (+) dan titik yang dihasilkan adalah titik minimum.

Nilai minimum f(x) = f(4) = 2 . 4² – 16 . 4 = 32 – 64 = -32. Jadi diperoleh titik minimum (4, -32). Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Jika f(x) = x³ – 12x maka titik minimum (lokal) f(x) adalah …
A. (2, -8)
B. (2, -16)
C. (-2, -8)
D. (-2, 8)
E. (0, 0)

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini, turunkan fungsi f(x) sehingga didapat f'(x) = 3x² – 12 atau f'(x) = 3 (x² – 4) = 3 (x + 2) (x – 2).

Selanjutnya buat garis bilangan dengan cara masukkan angka yang lebih kecil dari -2 (misalkan -3) ke f'(x) = 3 . (-3)² – 12 = +15. Hasilnya positif sehingga garis bilangan awalnya naik kemudian turun seperti gambar dibawah ini.

Nilai minimum pada x = 2 dengan nilai minimum f(2) = 2³ – 12 . 2 = 8 – 24 = – 16. Jadi titik minimum (lokal) f(x) adalah (2, -16). Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Pada interval -4 ≤ x ≤ 4 nilai minimum dari fungsi y = 1/3 x³ + 1/2 x² – 6x sama dengan …
A. 13 $\frac {1} {2}$
B. 8 $\frac {1} {3}$
C. 7 $\frac {1} {3}$
D. -8 $\frac {1} {3}$
E. -7 $\frac {1} {3}$

Penyelesaian soal / pembahasan

Turunkan y sehingga diperoleh y’ = x² + x – 6 = (x + 3) (x – 2).

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -3 (misal -4) ke y’ = (-4)² + (-4) – 6 = +6. Hasilnya positif sehingga garis bilangan awalnya positif kemudian negatif lalu positif.

Jadi nilai minimum y kemungkinan berada pada x = -4 dan x = 2.

Untuk x = -4 diperoleh nilai minimum y(-4) = 1/3 (-4)³ + 1/2 (-4)² – 6 . -4 = $\frac {32} {3}$
Untuk x = 2 dipeorleh nilai minimum y(2) = 1/3 (2)³ + 1/2 (2)² – 6 . 2 = – $\frac {22} {3}$ = -7 $\frac {1} {3}$ .

Soal ini jawabannya E.

Contoh soal 4

Suatu Industri rumahtangga memproduksi barang selama x hari dengan biaya produksi setiap harinya (4x + $\frac {100} {x}$ + 40) juta rupiah. Biaya minimum produksi industri rumahtangga dalam ribu rupiah adalah ….
A. Rp75.000.000,00
B. Rp80.000.000,00
C. Rp90.000.000,00
D. Rp120.000.000,00
E. Rp145.000.000,00

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan soal diatas, fungsi biaya proyek f(x) =(4x + $\frac {100} {x}$ + 40) = 4x + 100x^-1 + 40 dan turunan f'(x) = 4 – 100x^-2 = 4 – $\frac {100} {x^2}$ . x² = $\frac {100} {4}$ = 25 atau x = 5.

Jadi biaya minimum f(5) = (4 . 5 + $\frac {100} {5}$ + 40) juta rupiah = 80 juta rupiah. Soal ini jawabannya B.

Contoh soal nilai maksimum

Contoh soal 1

Nilai maksimum dari fungsi y = x³ – 27x + 10 adalah …
A. 64
B. 54
C. 44
D. -34
E. -44

Penyelesaian soal / pembahasan

y’ = 3x² – 27 = 3 (x² – 9) = 3 (x + 3) (x – 3).

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -3 (misal -4) ke y’ = 3 (-4)² – 27 = + 21. Hasilnya positif sehingga garis bilangan (positif – negatif – positif) sebagai berikut.

Nilai maksimum pada x = -3 dengan nilai f(-3) = (-3)³ – 27 . -3 + 10 = 64. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 2

Fungsi y = (x – 3)(x² – 9) mempunyai nilai maksimum (lokal) sama dengan …
A. 0
B. 16
C. 32
E. 64
E. 128

Penyelesaian soal

Misalkan U = x – 3 maka U’ = 1 dan V = x² – 9 maka V’ = 2x. Diperoleh turunan y’ = U’. V + V’ . U = (x² – 9) + 2x(x – 3) = x² – 9 + 2x² – 6x = 3x² – 6x – 9 = 3 (x² – 2x – 3) = 3 (x – 3)(x + 1).

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -1 (misalkan -2) ke y’ maka y’ = 3((-2)² – 2 (-2) – 3) = +15. Hasilnya positif sehingga garis bilangan diawali naik (+) kemudian turun (-) lalu naik (+).

Jadi nilai maksimum lokal y terjadi pada x = -1 dengan nilai y(1) = (-1 – 3)((-1)² – 9) = (-4) (-8) = 32. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 3

Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ – 3x² – 24x + 1 pada interval -3 ≤ x ≤ 3 adalah …
A. 30
B. 29
C. 28
D. 27
E. 26

Pembahasan / penyelesaian soal

f'(x) = 3x² – 6x – 24 atau f'(x) = 3 (x² – 2x – 8) = 3 (x – 4) (x + 2). Kemudian buat garis bilangan dengan hasil sebagai berikut.

Titik maksimum — Garis bilangan titik maksimum nomor 3

Jadi nilai maksimum berada pada x = – 2 dengan nilai f(-2) = (-2)³ – 3 (-2)² – 24 . -2 + 1 = 29. Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 4

Titik maksimum lokal dari fungsi y = 1/3x³ – 9x adalah …
A. (3, -18)
B. (-3, -18)
C. (3, 18)
D. (-3, 18)
E. (-3, 36)

Penyelesaian soal / pembahasan

y’ = x² – 9 = (x + 3) (x – 3). Kemudian buat garis bilangan dengan hasil sebagai berikut.

Nilai maksimum berada pada x = -3 dengan nilai maksimum f(-3) = 1/3 (-3)³ – 9 . -3 = 18. Jadi titik maksimum (-3, 18). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 5

Sebuah bola dilempar keatas. Tinggi bola pada t detik dinyatakan dengan persamaan y(t) = -5t² + 40 t (dalam meter). Hitunglah tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

Turunan y(t) adalah y'(t) = -10t + 40 = 10 (-t + 4). Jadi tinggi maksimum yang dapat dicapai bola adalah -t + 4 = 0 atau t = 4 meter.

Contoh soal 6

Kawat sepanjang 60 cm akan dibuat kerangka seperti gambar dibawah ini.

Hitunglah panjang p agar luas kerangka maksimum.

Penyelesaian soal / pembahasan

Rumus keliling kerangka = 2L + 3p = 60 cm sehingga L = 60/2 – 3/2 p = 30 – 3/2 p.

Rumus Luas kerangka k = p . 2L = 2p . L = 2p (30 – 3/2 p) = 60p – 3p². Sehingga diperoleh turunan k’ = 60 – 6p atau p = 60/6 = 10. Jadi p = 10 cm.

Contoh soal 7

Perusahaan konveksi memproduksi n unit pakaian kemeja dengan biaya total dapat dihitung dengan menggunakan rumus B_n = 10.000 + 8.000 n + 1/3 n² rupiah. Pakaian kemeja dijual dengan harga Rp 60.000,00 per unit. Agar perusahaan tersebut memperoleh keuntungan maksimum, pakaian kemeja harus diproduksi sebanyak…

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan soal tersebut, rumus keuntungan pakaian kemeja = penjualan – biaya atau K = 60.000 n – (10.000 + 8.000 n + 1/3 n²) = – 1/3 n² + 52.000 n – 10.000.

k’ = – ²/₃ n + 52.000 = ^{3 . 52000}/₂ = 78.000. Jadi agar memperoleh keuntungan maksimum, pakaian kemeja yang harus diproduksi sebanyak 78.000 unit.

Contoh soal 8

Total penjualan suatu barang (k) merupakan perkalian antara harga (p) dengan permintaan (x) yang dinyatakan dengan k = px. Untuk p = 90 – 3x dalam jutaan rupiah dan 1 ≤ x ≤ 30, maka hitunglah total penjualan maksimum.

Penyelesaian soal / pembahasan

Rumus total penjuan k = px = (90 – 3x)x = 90x – 3x². k’ = 90 – 6x = x = ⁹⁰/₆ = 15. Jadi penjualan maksimum = 90 . 15 – 3(15)2 = 1350 – 675 = 675 juta rupiah.