);

Penyelesaian contoh soal nilai stasioner, nilai minimum dan maksimum

Pada postingan ini, kita akan membahas penyelesaian contoh soal nilai stasioner, nilai minimum dan nilai maksimum. Jika suatu fungsi f(x) mempunyai turunan f'(x0) = 0 maka nilai f(x0) disebut sebagai nilai stasioner dan (x0, f'(x0) disebut titik stasioner.

Titik minimum diawali oleh grafik turun kemudian naik. Sedangkan titik maksimum diawali oleh grafik naik kemudian turun. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diatas.

Langkah-langkah menentukan titik minimum dan titik maksimum dari suatu fungsi f(x):

  1. Turunkan fungsi f(x) dan faktorkan.
  2. Buat garis bilangan f'(x) untuk menentukan tanda turun dan naik.
  3. Subtitusikan nilai faktor ke f'(x).

Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal dan penyelesaian dibawah ini.


Contoh soal 1

Tentukan nilai stasioner dari y = x3 – 3x2 – 9x.

Penyelesaian soal.

Untuk menjawab soal ini, turunkan y sehingga didapat y’ = 3x2 – 6x – 9 = x2 – 2x – 3 = (x – 3) (x + 1). Jadi nilai stasioner f(x):

  1. f(-1) = (-1)3 – 3(-1)2 – 9 . (-1) = -1 – 3 + 9 = 5.
  2. f(3) = 33 – 3(3)2 – 9 . 3 = 27 – 27 – 27 = -27.

Jadi nilai stasioner 5 dan -27.


Contoh soal 2

Tentukan titik (minimum atau maksimum) dari fungsi y = x2 – 8x.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini, turunkan fungsi y sehingga didapat y’ = 2x – 8 atau x = 8/2 = 4.

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari 4 (misal 3) ke y’ = 2x – 8 = 2.3 – 8 = – 2. Hasilnya negatif jadi garis bilangan awalnya turun (-) kemudian naik (+) sehingga titik yang dihasilkan adalah titik minimum.

Garis bilangan titik minimum

y minimum pada x = 4 dengan nilai y = x2 – 8 = 42 – 8 = 8. Jadi titik minimum fungsi y = (4, 8).


Contoh soal 3

Tentukan nilai minimum (lokal) dari (f(x) = 1/3 x3 – 4x.

Penyelesaian soal

Turunkan f(x) sehingga diperoleh f'(x) = x2 – 4 = (x +2) (x – 2) atau x1 = -2 dan x2 = 2.

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -2 (misal -3) ke f'(x) = x2 – 4 = (-3)2 – 4 = +5. Hasilnya positif sehingga garis bilangan awalnya positif kemudian negatif.

Garis bilangan 2 titik

Jadi f(x) minimum lokal pada x = 2 dengan nilai f(2) = 1/3 x3 – 4x = 1/3 (2)3 – 4 . 2 = –16/3. Jadi titik minimum lokal (2, -16/3).


Contoh soal 4

Tentukan nilai maksimum lokal dari fungsi y = (x – 3)(x2 – 9).

Penyelesaian soal

Misalkan U = x – 3 maka U’ = 1 dan V = x2 – 9 maka V’ = 2x. Diperoleh turunan y’ = U’. V + V’ . U = (x2 – 9) + 2x(x – 3) = x2 – 9 + 2x2 – 6x = 3x2 – 6x – 9 = 3 (x2 – 2x – 3) = 3 (x – 3)(x + 1).

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -1 (misalkan -2) ke y’ maka y’ = 3((-2)2 – 2 (-2) – 3) = +15. Hasilnya positif sehingga garis bilangan diawali turun (-) kemudian naik (+) (garis bilangan lihat nomor 3).

Jadi nilai maksimum lokal y terjadi pada x = -1 dengan nilai y = (-1 – 3)((-1)2 – 9) = (-4) (-8) = 32.


Contoh soal 5

Tentukan nilai minimum dari fungsi y = 1/3 x3 + 1/2 x2 – 6x pada interval -4 ≤ x ≤ 4.

Penyelesaian soal

Turunkan y sehingga y’ = x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2). Masukkan angka kurang dari -3 (misalkan -4) ke y’ sehingga y’ = (-4)2 + (-4) – 6 = 16 – 4 – 6 = +10. Garis bilangan digambarkan dibawah ini.

Garis bilangan

Jadi titik minimum fungsi y adalah x = 2 dengan nilai y = 1/3 (2)3 + 1/2 22 – 6 . 2 = 8/3 – 10 = – 22/3.


Contoh soal 6

Suatu proyek dapat diselesaikan dalam x hari maka biaya proyek perhari menjadi 3x + 1200/x – 60 ribu rupiah. Supaya biaya proyek minimum, berapa hari proyek harus diselesaikan?.

Penyelesaian soal

Berdasarkan soal diatas, fungsi biaya proyek y = (3x + 1200/x – 60) x = 3x2 + 1200 – 60x. Turunan dari y adalah y’ = 6x – 60 = 6 (x – 10). Jadi waktu agar biaya proyek minimum adalah x – 10 = 0 atau x = 10 hari.


Contoh soal 7

Sebuah bola dilempar keatas. Tinggi bola pada t detik dinyatakan dengan persamaan y(t) = -5t2 + 40 t (dalam meter). Hitunglah tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tersebut.

Penyelesaian soal

Turunan y(t) adalah y'(t) = -10t + 40 = 10 (-t + 4). Jadi tinggi maksimum yang dapat dicapai bola adalah -t + 4 = 0 atau t = 4 meter.


Contoh soal 8

Kawat sepanjang 60 cm akan dibuat kerangka seperti gambar dibawah ini.

Persegi panjang

Hitunglah panjang p agar luas kerangka maksimum.

Penyelesaian soal

Rumus keliling kerangka = 2L + 3p = 60 cm sehingga L = 60/23/2 p = 30 – 3/2p.

Rumus Luas kerangka k = p.2L = 2p.L = 2p (30 – 3/2p) = 60p – 3p2. Sehingga diperoleh turunan k’ = 60 – 6p atau p = 60/6 = 10. Jadi p = 10 cm.


Contoh soal 9

Perusahaan konveksi memproduksi n unit pakaian kemeja dengan biaya total dapat dihitung dengan menggunakan rumus Bn = 10.000 + 8.000 n + 1/3 n2 rupiah. Pakaian kemeja dijual dengan harga Rp 60.000,00 per unit. Agar perusahaan tersebut memperoleh keuntungan maksimum, pakaian kemeja harus diproduksi sebanyak…

Penyelesaian soal

Berdasarkan soal tersebut, rumus keuntungan pakaian kemeja = penjualan – biaya atau K = 60.000 n – (10.000 + 8.000 n + 1/3 n2) = – 1/3 n2 + 52.000 n – 10.000.

k’ = – 2/3 n + 52.000 = 3 . 52000/2 = 78.000. Jadi agar memperoleh keuntungan maksimum, pakaian kemeja yang harus diproduksi sebanyak 78.000 unit.


Contoh soal 10

Total penjualan suatu barang (k) merupakan perkalian antara harga (p) dengan permintaan (x) yang dinyatakan dengan k = px. Untuk p = 90 – 3x dalam jutaan rupiah dan 1 ≤ x ≤ 30, maka hitunglah total penjualan maksimum.

Penyelesaian soal

Rumus total penjuan k = px = (90 – 3x)x = 90x – 3x2. k’ = 90 – 6x = x = 90/6 = 15. Jadi penjualan maksimum = 90 . 15 – 3(15)2 = 1350 – 675 = 675 juta rupiah.


You cannot copy content of this page