Contoh soal sistem persamaan linear menggunakan matriks + pembahasan

Postingan ini membahas contoh soal sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks dan pembahasannya. Dalam pelajaran matematika kelas X, dibahas penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi. Pada artikel ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. Lalu bagaimana caranya ?. Misalkan terdapat sistem persamaan linear dengan variabel x dan y sebagai berikut.

ax + by = p
cx + dy = q

Sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}a & b \\ c & d \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}p \\ q \end {bmatrix}$

Selanjutnya, cara menentukan variabel x dan y menggunakan rumus dibawah ini.

Contoh soal sistem persamaan linear menggunakan matriks

Contoh soal 1

Diketahui sistem persamaan linear :

Nilai x dan y dari sistem persamaan linear diatas adalah …
A. 5 dan 3
B. 3 dan 5
C. 3 dan -5
D. -5 dan -3
E. -3 dan -5

Pembahasan

Sistem persamaan linear diatas diubah bentuknya menjadi matriks sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}1 & 1 \\ 2 & -1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}8 \\ 1 \end {bmatrix}$

Jadi diketahui a = 1, b = 1, c = 2 dan d = -1, p = 8 dan q = 1. Cara mencari x dan y menggunakan rumus dibawah ini.

$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {a . d - b . c}$ $\begin {bmatrix}d & -b \\ -c & a \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}p \\ q \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {1 . -1 - 1 . 2}$ $\begin {bmatrix}-1 & -1 \\ -2 & 1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}8 \\ 1 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {-3}$ $\begin {bmatrix}-1 & -1 \\ -2 & 1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}8 \\ 1 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}1/3 & 1/3 \\ -2/3 & 1/3 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}8 \\ 1 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}8/3 + 1/3 \\ -16/3 + 1/3 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}9/3 \\ -15/3 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}3 \\ -5 \end {bmatrix}$

Jadi x = 3 dan y = -5. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Diketahui sistem persamaan linear:

Nilai x adalah …
A. 50
B. 100
C. 150
D. 200
E. 250

Pembahasan

Sistem persamaan linear diatas diubah menjadi bentuk matriks sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 2 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}850 \\ 600 \end {bmatrix}$

Jadi diketahui a = 4, b = 3, c = 3, d = 2, p = 850, dan q = 600. Dengan menggunakan rumus sistem persamaan linear menggunakan matriks diperoleh hasil sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {a . d - b . c}$ $\begin {bmatrix}d & -b \\ -c & a \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}p \\ q \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {4 . 2 - 3 . 3}$ $\begin {bmatrix}2 & -3 \\ -3 & 4 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}850 \\ 600 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {-1}$ $\begin {bmatrix}2 & -3 \\ -3 & 4 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}850 \\ 600 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}-2 & 3 \\ 3 & 4 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}850 \\ 600 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}-2 x 850 + 3 x 600 \\ 3 x 850 + 4 x 600 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}100 \\ 4.950 \end {bmatrix}$

Jadi x = 100 dan y = 4.950. Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Misalkan (a, b) = (a₁, b₁) adalah penyelesaian dari sistem persamaan:

Maka nilai a₁ + 2b₁ adalah …
A. -3
B. -1
C. 0
D. 1
E. 3

Pembahasan

Sistem persamaan linear diubah menjadi bentuk matriks sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}2 & -7 \\ 1 & 8 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}-16 \\ 15 \end {bmatrix}$

Diketahui a = 2, b = -7, c = 1, d = 8, p = -16 dan q = 15. Dengan menggunakan rumus sistem persamaan linear menggunakan matriks diperoleh hasil sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}a_1 \\ b_1 \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {a . d - b . c}$ $\begin {bmatrix}d & -b \\ -c & a \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}p \\ q \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}a_1 \\ b_1 \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {2 . 8 - (-7) . 1}$ $\begin {bmatrix}8 & -(-7) \\ -1 & 2 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}-16 \\ 15 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}a_1 \\ b_1 \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {23}$ $\begin {bmatrix}8 & 7 \\ -1 & 2 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}-16 \\ 15 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}a_1 \\ b_1 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}8/23 & 7/23 \\ -1/23 & 2/23 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}-16 \\ 15 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}a_1 \\ b_1 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}-1 \\ 2 \end {bmatrix}$

a₁ = -1 dan b₁ = 2. Jadi a₁ + b₁ = -1 + 2 = 1. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 4

Jumlah umur kakak dan dua kali umur adik adalah 27 tahun. Selisih umur kakak dan umur adik adalah 3 tahun. Jika umur kakak x tahun dan umur adik y tahun, persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah …
A. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}9 \\ 1 \end {bmatrix}$
B. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}2 & -1 \\ 1 & 1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}9 \\ 1 \end {bmatrix}$
C. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}1 & 2 \\ 1 & -1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}9 \\ 1 \end {bmatrix}$
D. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}-1 & 2 \\ 1 & 1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}9 \\ 1 \end {bmatrix}$
E. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}1 & -2 \\ 1 & -1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}9 \\ 1 \end {bmatrix}$

Pembahasan

Sistem persamaan linear soal diatas sebagai berikut.

x + 2y = 27
x – y = 3

Diketahui a = 1, b = 2, c = 1, d = -1, p = 27 dan q = 3. Persamaan matriks yang sesuai sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {a . d - b . c}$ $\begin {bmatrix}d & -b \\ -c & a \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}p \\ q \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {1 . -1 - 2 . 1}$ $\begin {bmatrix}-1 & -2 \\ -1 & 1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}27 \\ 3 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {-3}$ $\begin {bmatrix}-1 & 2 \\ -1 & 1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}27 \\ 3 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}1 & -2 \\ 1 & -1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}27/3 \\ 3/3 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}1 & -2 \\ 1 & -1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}9 \\ 1 \end {bmatrix}$

Soal ini jawabannya E.

Contoh soal 5

Jumlah penumpang kereta api X dan Y pada suatu hari adalah sebagai berikut.

Jenis Kereta Api	Kelas Bisnis	Kelas Eksekutif
X	200	60
Y	150	80

Contoh soal sistem persamaan linear menggunakan matriks nomor 5

Harga tiket kereta api adalah Rp90.000,00 untuk kelas bisnis dan Rp150.000,00 untuk kelas eksekutif. Besar pendapatan yang diterima dari penjualan tiket kereta api X dan Y dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan bentuk matriks …
A. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}200 & 60 \\ 150 & 80 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}90.000 \\ 150.000 \end {bmatrix}$
B. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}200 & 150 \\ 60 & 80 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}90.000 \\ 150.000 \end {bmatrix}$
C. $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}200 & 80 \\ 60 & 150 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}90.000 \\ 150.000 \end {bmatrix}$
D. $\begin {bmatrix}200 & 60 \\ 150 & 80 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}90.000 \\ 150.000 \end {bmatrix}$
E. $\begin {bmatrix}200 & 150 \\ 60 & 80 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}90.000 \\ 150.000 \end {bmatrix}$

Pembahasan

Sistem persamaan linear soal diatas sebagai berikut.

200x + 150y = 90.000
60x + 80y = 150.000

Persamaan matriks yang sesuai sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}200 & 150 \\ 60 & 80 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}90.000 \\ 150.000 \end {bmatrix}$

Soal ini jawabannya E.

Contoh soal 6

Diketahui persamaan linear yang dinyatakan dalam bentuk matriks berikut.

$\begin {bmatrix}2 & 3 \\ 4 & -1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}3 \\ -7 \end {bmatrix}$

Nilai y adalah …
A. 13/7
B. -13/7
C. -26/7
D. -13/14
E. 26

Pembahasan

Diketahui a = 2, b = 3, c = 4, d = -1, p = 3 dan q = -7. Dengan menggunakan sistem persamaan linear bentuk matriks hasilnya sebagai berikut.

$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {a . d - b . c}$ $\begin {bmatrix}d & -b \\ -c & a \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}p \\ q \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {2 . -1 - 3 . 4}$ $\begin {bmatrix}-1 & -3 \\ -4 & 2 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}3 \\ -7 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\frac {1} {-14}$ $\begin {bmatrix}-1 & -3 \\ -4 & 2 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}3 \\ -7 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}1/14 & 3/14 \\ 4/14 & -2/14 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}3 \\ -7 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}-18/14 \\ 26/14 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}9 \\ 1 \end {bmatrix}$

Jadi y = 26/14 = 13/7. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal sistem persamaan linear menggunakan matriks + pembahasan

Contoh soal sistem persamaan linear menggunakan matriks

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan