Contoh soal limit trigonometri dan penyelesaiannya + pembahasan

Postingan ini membahas contoh soal limit trigonometri dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Lalu apa bagaimana cara menyelesaikan soal-soal limit trigonometri ?. Jawabannya adalah dengan menggunakan rumus-rumus atau teorema yang berlaku pada limit trigonometri. Secara umum rumus limit trigonometri sebagai berikut.

Dengan rumus diatas, kita sudah bisa mengerjakan bermacam tipe soal limit trigonometri. Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal limit trigonometri dan penyelesaiannya + pembahasan.

Contoh soal limit trigonometri

Contoh soal 1

Tentukanlah nilai limit dari

lim

x → 0

sin x

4x

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 0

sin x

4x

=

1

4

.

lim

x → 0

sin x

x

→

lim

x → 0

sin x

4x

=

1

4

. 1 =

1

4

---

Contoh soal 2

Tentukan nilai limit dari

lim

x → 0

sin 4x

2x

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menjawab soal ini kita misalkan y = 4x maka 2x = 1/2 y, jadi bentuk limit menjadi:

→

lim

x → 0

sin 4x

2x

=

lim

y → 0

sin y

1/2 y

→ =

1

1/2

.

lim

y → 0

sin y

y

= 2 . 1 = 2
Kesimpulannya:

lim

x → 0

sin ax

bx

=

a

b

---

Contoh soal 3

Tentukan nilai limit dari

lim

x → 0

tan 3x

sin 6x

Penyelesaian soal / pembahasan

Tan x =

sin x

cos x

sehingga bentuk limit diatas diubah menjadi:
→

lim

x → 0

sin 3x

cos 3x

sin 6x

=

lim

x → 0

sin 3x

cos 3x . sin 6x

→ =

lim

x → 0

1

cos 3x

.

lim

x → 0

sin 3x

sin 6x

= 1 .

1

2

=

1

2

Kesimpulan:

lim

x → 0

tan ax

sin bx

=

a

b

---

Contoh soal 4

Tentukan nilai dari

lim

x → 0

x sin x

1 – cos 2x

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 0

x sin x

1 – cos 2x

=

lim

x → 0

x sin x

1 – (1 – 2 sin2 2x)

→ =

lim

x → 0

x sin x

2 sin2 2x

=

1

2

lim

x → 0

x

sin 2x

.

lim

x → 0

sin x

sin 2x

→ =

1

2

.

1

2

.

1

2

=

1

8

Contoh soal 5

Tentukanlah nilai dari

lim

x → 0

1 – cos 2x

1 – cos x

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 0

1 – cos 2x

1 – cos x

=

lim

x → 0

1 – (1 – 2 sin2 2x)

1 – (1 – 2 sin2 x)

→ =

lim

x → 0

2 sin2 2x

2 sin2 x

=

lim

x → 0

sin 2x

sin x

.

lim

x → 0

sin 2x

sin x

→ = 2 . 2 = 4

---

Contoh soal 6

Tentukan nilai dari

lim

x → 0

-3x + sin 2x

6x

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 0

-3x + sin 2x

6x

=

lim

x → 0

-3x

6x

+

lim

x → 0

sin 2x

6x

→ = –

1

2

+

1

3

= –

1

6

---

Contoh soal 7

Tentukan nilai limit dari

lim

x → 1

sin(πx – π)

(x – 1) cos (πx – π)

Penyelesaian soal / pembahasan

→ =

lim

x → 1

sin π (x – 1)

(x – 1)

.

lim

x → 1

1

cos (πx – π)

→ = π . 1 = π

---

Contoh soal 8

Tentukan nilai dari

lim

x → 0

2x2 + x

sin x

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 0

2x2 + x

sin x

=

lim

x → 0

x (2x + 1)

sin x

→

lim

x → 0

x

sin x

.

lim

x → 0

(2x + 1)
→ 1 . (2 . 0 + 1) = 1 . 1 = 1

---

Contoh soal 9

Tentukan nilai limit dari

lim

x → 0

tan x – sin x

x3

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 0

sin x

cos x

– sin x

x3

→

lim

x → 0

sin x – cos x sin x

x3 cos x

→

lim

x → 0

sin x (1 – cos x)

x3 cos x

x

1 + cos x

1 + cos x

→

lim

x → 0

sin x (1 – cos2 x)

x3 cos x (1 + cos x)

=

lim

x → 0

sin x sin2 x

x3 cos x (1 + cos x)

→

lim

x → 0

1

cos x (1 + cos x)

.

sin x

x

.

sin x

x

.

sin x

x

→ 1/2 . 1 . 1 . 1 = 1/2

---

Contoh soal 10

Hitunglah hasil dari

lim

x → 0

4x cos x

sin x + sin 3x

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 0

4x cos x

x

sin x

x

+

sin 3x

x

→

4

1 + 3

=

4

4

= 1

---

Contoh soal 11

Tentukan nilai limit dari

lim

x → 1

sin (1 –

1

x

) cos (1 –

1

x

)

x – 1

Penyelesaian soal / pembahasan

→

lim

x → 1

sin (

x – 1

x

) cos (

x – 1

x

)

x – 1

→

lim

x → 1

sin

1

x

(x – 1)

x – 1

. cos

1

x

(x – 1)
→ =

1

x

. cos 0 =

1

1

. 1 = 1