);

Contoh soal limit trigonometri dan penyelesaiannya + pembahasan

Postingan ini membahas contoh soal limit trigonometri dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Limit trigonometri merupakan salah satu materi pelajaran Matematika SMA kelas 11. Lalu apa bagaimana cara menyelesaikan soal-soal limit trigonometri ?. Jawabannya adalah dengan menggunakan rumus-rumus atau teorema yang berlaku pada limit trigonometri. Secara umum rumus limit trigonometri sebagai berikut.

Limit trigonometri
Rumus limit trigonometri

Dengan rumus diatas, kita sudah bisa mengerjakan bermacam tipe soal trigonometri. Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal limit trigonometri dan penyelesaiannya + pembahasan.

Contoh soal 1

Tentukanlah nilai limit dari
lim
x → 0
sin x
4x

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 0
sin x
4x
=
1
4
.
lim
x → 0
sin x
x

lim
x → 0
sin x
4x
=
1
4
. 1 =
1
4

Contoh soal 2

Tentukan nilai limit dari
lim
x → 0
sin 4x
2x

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menjawab soal ini kita misalkan y = 4x maka 2x = 1/2 y, jadi bentuk limit menjadi:

lim
x → 0
sin 4x
2x
=
lim
y → 0
sin y
1/2 y

→ =
1
1/2
.
lim
y → 0
sin y
y
= 2 . 1 = 2
Kesimpulannya:
lim
x → 0
sin ax
bx
=
a
b

Contoh soal 3

Tentukan nilai limit dari
lim
x → 0
tan 3x
sin 6x

Penyelesaian soal / pembahasan

Tan x =
sin x
cos x
sehingga bentuk limit diatas diubah menjadi:
lim
x → 0
sin 3x
cos 3x
sin 6x
=
lim
x → 0
sin 3x
cos 3x . sin 6x

→ =
lim
x → 0
1
cos 3x
.
lim
x → 0
sin 3x
sin 6x
= 1 .
1
2
=
1
2

Kesimpulan:
lim
x → 0
tan ax
sin bx
=
a
b

Contoh soal 4

Tentukan nilai dari
lim
x → 0
x sin x
1 – cos 2x

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 0
x sin x
1 – cos 2x
=
lim
x → 0
x sin x
1 – (1 – 2 sin2 2x)

→ =
lim
x → 0
x sin x
2 sin2 2x
=
1
2
lim
x → 0
x
sin 2x
.
lim
x → 0
sin x
sin 2x

→ =
1
2
.
1
2
.
1
2
=
1
8

Contoh soal 5

Tentukanlah nilai dari
lim
x → 0
1 – cos 2x
1 – cos x

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 0
1 – cos 2x
1 – cos x
=
lim
x → 0
1 – (1 – 2 sin2 2x)
1 – (1 – 2 sin2 x)

→ =
lim
x → 0
2 sin2 2x
2 sin2 x
=
lim
x → 0
sin 2x
sin x
.
lim
x → 0
sin 2x
sin x

→ = 2 . 2 = 4

Contoh soal 6

Tentukan nilai dari
lim
x → 0
-3x + sin 2x
6x

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 0
-3x + sin 2x
6x
=
lim
x → 0
-3x
6x
+
lim
x → 0
sin 2x
6x

→ = –
1
2
+
1
3
= –
1
6

Contoh soal 7

Tentukan nilai limit dari
lim
x → 1
sin(πx – π)
(x – 1) cos (πx – π)

Penyelesaian soal / pembahasan

→ =
lim
x → 1
sin π (x – 1)
(x – 1)
.
lim
x → 1
1
cos (πx – π)

→ = π . 1 = π

Contoh soal 8

Tentukan nilai dari
lim
x → 0
2x2 + x
sin x

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 0
2x2 + x
sin x
=
lim
x → 0
x (2x + 1)
sin x

lim
x → 0
x
sin x
.
lim
x → 0
(2x + 1)
→ 1 . (2 . 0 + 1) = 1 . 1 = 1

Contoh soal 9

Tentukan nilai limit dari
lim
x → 0
tan x – sin x
x3

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 0
sin x
cos x
– sin x
x3

lim
x → 0
sin x – cos x sin x
x3 cos x

lim
x → 0
sin x (1 – cos x)
x3 cos x
x
1 + cos x
1 + cos x

lim
x → 0
sin x (1 – cos2 x)
x3 cos x (1 + cos x)
=
lim
x → 0
sin x sin2 x
x3 cos x (1 + cos x)

lim
x → 0
1
cos x (1 + cos x)
.
sin x
x
.
sin x
x
.
sin x
x

→ 1/2 . 1 . 1 . 1 = 1/2

Contoh soal 10

Hitunglah hasil dari
lim
x → 0
4x cos x
sin x + sin 3x

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 0
4x cos x
x
sin x
x
+
sin 3x
x

4
1 + 3
=
4
4
= 1

Contoh soal 11

Tentukan nilai limit dari
lim
x → 1
sin (1 –
1
x
) cos (1 –
1
x
)
x – 1

Penyelesaian soal / pembahasan

lim
x → 1
sin (
x – 1
x
) cos (
x – 1
x
)
x – 1

lim
x → 1
sin
1
x
(x – 1)
x – 1
. cos
1
x
(x – 1)
→ =
1
x
. cos 0 =
1
1
. 1 = 1

You cannot copy content of this page