);

Contoh soal persamaan garis singgung dan penyelesaiannya + pembahasan

Pada postingan ini kita membahas contoh soal persamaan garis singgung yang disertai penyelesaiannya + pembahasan. Lalu apa itu garis singgung ?. Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (c, f(c)) adalah garis yang melalui (c, f(c)) dengan kemiringan sama dengan f'(c). Rumus persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) dengan gradien m dimana m = f'(c) sebagai berikut.

Persamaan garis singgung
Persamaan garis singgung

Jika antara kurva (k) dan garis (g) saling sejajar maka gradiennya sama atau mk = mg. Sedangkan jika antara kurva dan garis saling tegak lurus maka mk = – \frac {1} {m_g}. Untuk lebih jelasnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal garis singgung dan penyelesaiannya + pembahasan.

Contoh soal persamaan garis singgung

Contoh soal 1

Diketahui persamaan kurva y = 3x2 + 2x + 4. Persamaan garis singgung kurva di titik (2, 17) adalah…
A. y = 12x
B. y = 12x – 7
C. y = 14x – 11
D. y = 17x – 2
E. y = 17x – 7

Penyelesaian soal / pembahasan

Turunkan terlebih dahulu y = 3x2 + 2x + 4 diperoleh y’ = 6x + 2. Selanjutnya hitung gradien m dengan cara subtitusi x = 2 ke y’ sehingga diperoleh m = y’ = 6 . 2 + 2 = 14. Jadi persamaan garis singgung:

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – 17 = 14 (x – 2)
  • y – 17 = 14x – 28
  • y = 14x – 28 + 17 = 14x – 11.

Jadi soal ini jawabannya C.


Contoh soal 2

Persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 4x + 1 di titik (1, -2) adalah…
A. x – y + 3 = 0
B. x + y + 1 = 0
C. x – y – 3 = 0
D. x + y – 1 = 0
E. 2x – y – 4 = 0

Penyelesaian soal

Turunkan y = 3x2 – 4x + 1 dan hasilnya y’ = 6x – 4. Selanjutnya hitung gradien m dengan cara subtitusi x = 1 sehingga diperoleh m = y’ = 6x – 4 = 6 . 1 – 4 = 2. Maka persamaan garis singgung sebagai berikut.

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – (-2) = 2 (x – 1)
  • y + 2 = 2x – 2
  • y – 2x + 2 + 2 = 0
  • y – 2x + 4 = 0
  • 2x – y – 4 = 0

Jadi soal ini jawabannya E.


Contoh soal 3

Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x dititik yang absisnya 1 adalah…
A. x – y – 2 = 0
B. x + y + 2 = 0
C. 2x + y + 1 = 0
D. x + 2y + 1 = 0
E. 2x – 2y + 1 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Absis = x = x1 = 1. Selanjutnya hitung y1 dengan cara subtitusi x = 1 ke persamaan y sehingga didapat y1 = y = x2 – 4x = 12 – 4 . 1 = -3. Jadi (x1, y1) = (1, -3).

Turunkan y = x2 – 4x dan diperoleh hasil y’ = 2x – 4. Kemudian tentukan gradien (m) dengan cara subtitusi x = 1 ke y’ = 2x – 4 = 2 . 1 – 4 = -2. Maka persamaan garis singgung sebagai berikut.

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – (-3) = -2 (x – 1)
  • y + 3 = -2x + 2
  • y + 2x + 3 – 2 = 0
  • 2x + y + 1 = 0

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal 4

Persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 2 pada titik berordinat 4 adalah…
A. y = -5x – 11
B. y = 5x – 6
C. y = -5x + 19
D. y = -5x – 11 atau y = 5x – 6
E. y = 5x – 6 atau y = -5x + 19

Penyelesaian soal / pembahasan

Berordinat 4 = y1 = 4. Kemudian hitung x1 dengan cara subtitusi y = 4 ke persamaan y = x2 + x – 2 dan diperoleh

  • 4 = x2 + x – 2
  • x2 + x – 2 – 4 = 0
  • x2 + x – 6 = 0
  • (x + 3) (x – 2) = 0
  • x = -3 atau x = 2

Jadi titik yang dilalui garis yaitu (x1, y1) = (-3, 4) atau (2, 4). Dengan demikian terdapat 2 persamaan garis singgung.

Turunkan y = x2 + x – 2 dan diperoleh y’ = 2x + 1. Selanjutnya hitung gradien (m):

  • Gradien garis pertama (x = -3) m = 2 . -3 + 1 = -5.
  • Gradien garis kedua (x = 2) m = 2 . 2 + 1 = 5

Persamaan garis singgung pertama (-3, 4) dan m = -5 sebagai berikut.

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – 4 = -5 (x – (-3))
  • y – 4 = -5x – 15
  • y = -5x – 15 + 4
  • y = -5x – 11

Persamaan garis singgung kedua (2, 4) dan m = 5 sebagai berikut.

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – 4 = 5 (x – 2)
  • y – 4 = 5x – 10
  • y = 5x – 10 + 4
  • y = 5x – 6

Jadi persamaan garis singgung y = -5x – 11 atau y = 5x – 6. Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 5

Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 2x + 1 yang sejajar dengan garis y = 2x + 7 adalah…
A. y = 2x – 2
B. y = 2x – 2
C. y = 2x – 3
D. y = -2x – 1
E. y = -2x – 2

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini turunkan kedua persamaan y:

  • kurva y = x2 – 2x + 1 turunannya y’ = 2x – 2
  • garis y turunannya y’ = 2 atau gradien mg = 2.

Karena sejajar berarti gradien kurva = gradien garis atau mk = mg = 2. Selanjutnya kita tentukan titik singgung dengan cara subtitusi mk = 2 ke turunan kurva sehingga diperoleh:

  • y’ = 2x – 2
  • 2 = 2x – 2
  • 2x = 2 + 2 = 4
  • x = 4/2 = 2.
  • y = x2 – 2x + 1 = 22 – 2 . 2 + 1 = 1.

Jadi titik singgung (2 , 1). Dengan demikian persamaan garis singgung:

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – 1 = 2 (x – 2)
  • y – 1 = 2x – 4
  • y = 2x – 4 + 1 = 2x – 3

Soal ini jawbannya C.


Contoh soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 + x + 1 yang tegak lurus garis x + 5y + 3 = 0 adalah…
A. y = 5x – 1
B. y = 5x
C. y = 5x + 1
D. y = – \frac {1} {5}x + 4\frac {1} {5}
E. y = – \frac {1} {5}x – 4\frac {1} {5}

Penyelesaian soal / pembahasan

Langkah-langkah menjawab soal ini sama seperti soal nomor 5 yaitu:

  • y = 2x2 + x + 1 maka y’ = 4x + 1
  • x + 5y + 3 atau y = – \frac {1} {5}x – \frac {3} {5} sehingga y’ = mg = – \frac {1} {5}.
  • mk = – \frac {1} {m_g}= – \frac {1} {-1/5}= 5.

Subtitusi nilai mk = 5 ke turunan y’ kurva sehingga diperoleh:

  • y’ = 4x + 1
  • 5 = 4x + 1
  • 4x = 4 atau x = 1
  • y = 2x2 + x + 1 = 2 (1)2 + 1 + 1 = 4.

Titik singgung (x1, y1) = (1 , 4) sehingga persamaan garis singgung:

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – 4 = 5 (x – 1)
  • y – 4 = 5x – 5
  • y = 5x – 5 + 4
  • y = 5x – 1

Jadi soal ini jawabannya A.


Contoh soal 7

Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4 yang tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah…
A. 2x + y + 5 = 0
B. x + 2y + 5 = 0
C. x – 2y – 5 = 0
D. x + y + 2 = 0
E. 2x – y – 5 = 0

Penyelesaian soal

Turunkan kurva dan garis y sebagai berikut.

  • y = x2 – 4 maka y’ = 2x
  • x – 2y + 4 = 0 atau y = 1/2x + 2 maka y’ = 1/2 atau mg = 1/2
  • mk = – \frac {1} {m_g} = – \frac {1} {1/2} = -2.

Subtitusi mk ke y’ (kurva) :

  • y’ = 2x
  • -2 = 2x
  • x = -2/2 = -1
  • y = x2 – 4 = (-1)2 – 4 = -3

(x1, y1) = (-1, -3) sehingga persaman garis singgungnya sebagai berikut.

  • y – y1 = m (x – x1)
  • y – (-3) = -2 (x – (-1))
  • y + 3 = -2x – 2
  • y + 3 + 2x + 2 = 0
  • 2x + y + 5 = 0

Jadi soal ini jawabannya A.

You cannot copy content of this page