);

Contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawaban

Postingan ini membahas contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawabannya. Lalu apa itu fungsi kuadrat ?. Suatu fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.

  1. Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
  2. Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
  3. Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
  4. Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
  5. Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
  6. Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik baliknya maksimum.
Fungsi kuadrat
Jenis grafik fungsi kuadrat

Rumus yang berlaku pada fungsi kuadrat sebagai berikut.

Fungsi kuadrat
Rumus fungsi kuadrat

Contoh soal fungsi kuadrat

Contoh soal 1

Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:
x2 + 4x – 21 = 0
(x1 + 7) (x2 – 3) = 0
x1 = -7 dam x2 = 3
Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)
Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)
f(x) = x2 + 4x – 21
f(0) = 02 + 4 . 0 – 21 = -21
Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)
Menentukan titik balik (xp , yp) dengan rumus dibawah ini:
xp =
-b
2a
=
-4
2 . 1
= – 2.
yp =
– D
4 . a
=
– (b2 – 4 . a . c)
4 . a

yp =
– (42 – 4 . 1 . -21)
4 . 1
= – 25.
Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

Grafik fungsi kuadrat nomor 1
Grafik fungsi kuadrat nomor 1

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

  1. y = x2 + 9x + 20
  2. y = 2x2 – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

  1. a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
  2. a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

  1. y = 3x2 – 4x – 2
  2. y = 4x2 – 3x + 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

  1. a = 3 dan D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . -2 = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
  2. a = 1 dan D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4 . 4 . 5 = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)

Contoh soal 1

Persamaan sumbu simetri dari f(x) = 6 – 5x – x2 adalah …
A. x = -2
B. x = 2
C. x = -2\frac {1} {2}
D. x = 3
E. x = 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

  • a = -1
  • b = -5
  • c = 6

Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.

→ Pers. sumbu simetri = –
b
2a

→ Pers. sumbu simetri = –
-5
2 . -1
= -2
1
2

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = x2 + 4x – 30 simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –
b
2a

→ a = –
4
2 . 1
= -2

Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 3

Nilai m agar grafik fungsi y = (m – 1)x2 – 2mx + (m – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …
A. m = 1
B. m > 1
C. m < 1
D. m > 3/4
E. m < 3/4

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

  • a = m – 1
  • b = -2m
  • c = m – 3

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.

  • a < 0
  • m – 1 < 0
  • m < 1
  • D < 0
  • b2 – 4ac < 0
  • (-2m)2 – 4 (m – 1) (m – 3) < 0
  • 4m2 – 4 (m2 – 4m + 3) < 0
  • 4m2 – 4m2 + 16m – 12 < 0
  • 16m – 12 < 0
  • 16m < 12
  • m < \frac {12} {16}
  • m < 3/4

Syarat 1 dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.

Fungsi kuadrat
Irisan fungsi kuadrat

Jadi nilai m < 3/4. Soal ini jawabannya E.


Contoh soal 4

Koordinat titik balik grafik y = x2 – 6x + 8 adalah …
A. (3, -1)
B. (-3, -1)
C. (4, 2)
D. (6, 8)
E. (-6, 8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

  • a = 1
  • b = -6
  • c = 8

Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –
b
2a

→ x = –
-6
2 . 1
= 3
→ y = –
D
4a

→ y = –
b2 – 4ac
4a

→ y = –
(-6)2 – 4 . 1 . 8
4 . 1

→ y = –
36 – 32
4
= -1

Jadi koordinat titik balik (3, -1). Soal ini jawabannya A.


Contoh soal 5

Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 2x – 3 adalah …
A. (1, 4)
B. (-1, 4)
C. (4, 1)
D. (1, -4)
E. (-1, -4)

Pembahasan / penyelesaian soal

→ x = –
b
2a

→ x = –
-2
2 . 1
= 1
→ y = –
D
4a

→ y = –
b2 – 4ac
4a

→ y = –
(-2)2 – 4 . 1 . -3
4 . 1

→ y = –
4 + 12
4
= -4

Jadi titik baliknya (1, -4). Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 6

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat
Contoh soal 6 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15
B. y = x2 – 2x – 15
C. y = x2 + 2x + 15
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

  • x1 = -5
  • x2 = -3
  • y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

  • y = a (x – x1) (x – x2)
  • y = a (x – (-5)) (x – (-3))
  • y = a (x + 5) (x + 3)
  • y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)
  • y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

  • 15 = a (02 + 8 . 0 + 15)
  • 15 = a . 15
  • a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

  • y = 1 (x2 + 8x + 15)
  • y = x2 + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.


Contoh soal 7

Fungsi kuadrat
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 7

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2x2 + 2x – 4
B. y = 2x2 – 2x – 4
C. y = x2 + x – 4
D. y = x2 – 2x – 4
E. y = x2 – x – 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

  • x1 = -1
  • x2 = 2
  • y = -4

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

  • y = a (x – (-1)) (x – 2)
  • y = a (x + 1) (x – 2)
  • y = a (x2 – x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

  • -4 = a (02 – 0 – 2)
  • -4 = a . -2
  • a = -4/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

  • y = 2 (x2 – x – 2)
  • y = 2x2 – 2x – 4

Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 8

Perhatikan gambar dibawah ini.

Fungsi kuadrat
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…
A. a < 0, b < 0, dan c < 0
B. a < 0, b > 0 dan c > 0
C. a < 0, b > 0 dan c < 0
D. a > 0, b < 0 dan c > 0
E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

  • y = a (x – (-3)) (x – (-1))
  • y = a (x + 3) (x + 1)
  • y = a (x2 + 4x + 3)
  • -3 = a (02 + 4 . 0 + 3)
  • -3 = a . 3
  • a = -3/3 = -1
  • y = -1 (x2 + 4x + 3)
  • y = -x2 – 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.


Contoh soal 9

Perhatikan gambar dibawah ini.

Fungsi kuadrat
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 9

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)
C. (1, 0) dan (-8, 0)
D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

  • titik balik xp = 9/2
  • titik balik yp = -49/4
  • y = 8
xp =
-b
2 . a
=
9
2

Sehingga kita dapat a =
2
2
= 1 dan b = -9.
yp =
-(b2 – 4 . a . c)
4 . a
=
-49
4

b2 – 4 . a . c = 49
92 – 4 . 1 . c = 49
81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32
c =
32
4
= 8
Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:
y = ax2 + bx + c
y = xp – 9x + c
Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:
xp – 9x + 8 = 0
(x1 – 8) (x2 – 1) = 0
x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 10

Diketahui f(x) = x2 + 4x – 5, maka nilai minimumnya adalah …
A. -17
B. -9
C. -5
D. -2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.

→ y = –
D
4a

→ y = –
b2 – 4ac
4a

→ y = –
42 – 4. 1 . -5
4. 1
= -9

Kemudian subtitusi y ke f(x) = x2 + 4x – 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

  • -9 = x2 + 4x – 5
  • 0 = x2 + 4x – 5 + 9
  • x2 + 4x + 4 = 0
  • (x + 2)2 = 0
  • x = -2

Subtitusi x = -2 ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.

  • f(x) = x2 + 4x – 5
  • f(-2) = (-2)2 + 4 . (-2) – 5
  • f(-2) = 4 – 8 – 5 = -9

Jadi soal ini jawabannya B.


Contoh soal 11

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 15 adalah …
A. -32
B. -16
C. 1
D. 16
E. 32

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.

→ y = –
D
4a

→ y = –
b2 – 4ac
4a

→ y = –
22 – 4. -1 . 15
4. -1

→ y =
64
4
= 16

Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 12

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t2. Tinggi maksimum peluru adalah …
A. 925 m
B. 1.015 m
C. 1.025 m
D. 1.125 m
E. 1.225 m

Pembahasan / penyelesaian soal

→ y = –
D
4a

→ y = –
b2 – 4ac
4a

→ y = –
(150)2 – 4. -1 . 0
4. -5

→ y =
22500
20
= 1.125 m

Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 13

Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…
A. 72
B. 144
C. 360
D. 1.296
E. 5.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:

  • x + y = 72
  • y = 72 – x
  • x . y = x (72 – x) = 72x – x2
  • K = -x2 + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

Jadi soal ini jawabannya D.

K =
-(b2 – 4 . a . c)
4 . a

K =
-(722 – 4 . -1 . 0)
4 . -1
=
5184
4
= 1296

Jadi soal ini jawabannya D.


Contoh soal 14

Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…
A. 15 dan -15
B. 20 dan -10
C. 25 dan -5
D. 40 dan 10
E. 50 dan 20

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:

  • x – y = 30
  • y = x – 30
  • K = x . y = x . (x – 30) = x2 – 30x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = 1, b = -30 dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.

K =
-(b2 – 4 . a . c)
4 . a

K =
-(-302 – 4 . 1 . 0)
4 . 1
=
-900
4
= – 225

K = -225 dan K = x2 – 30x maka kita dapat:

x2 – 30 x = -225
x2 – 30x + 225 = 0
(x – 15)2 = 0
x = 15

Kita subtitusi x = 15 ke persamaan y = x – 30 maka kita peroleh y = 15 – 30 = -15. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah 15 dan -15.

Jadi soal ini jawabannya A.


Contoh soal 15

Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…
A. 64 cm dan 1 cm
B. 32 cm dan 2 cm
C. 32 cm dan 4 cm
D. 16 cm dan 16 cm
E. 16 cm dan 8 cm

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:

  • 2 (P + L) = 64
  • P + L = 32
  • P = 32 – L
  • Luas = P . L = (32 – L) . L = 32 L – L2
  • Luas = L2 – 32L

Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:

Luas =
-(b2 – 4 . a . c)
4 . a

Luas =
-(-322 – 4 . 1 . 0)
4 . 1
=
1024
4
= – 256

Luas = -256 dan Luas = L2 – 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:

  • L2 – 32L = – 256
  • L2 – 32L + 256 = 0
  • (L – 16)2 = 0
  • L = 16

L = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – L = 32 – 16 = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = 16 cm dan L = 16 cm. Jadi soal ini jawabannya D.

You cannot copy content of this page