Postingan ini membahas cara menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui. Ada dua cara menyusun persamaan kuadrat yaitu memakai faktor dan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar. Misalkan kedua akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2 maka menyusun persamaan kuadrat sebagai berikut:
- (x – x1) (x – x2) = 0 (menggunakan cara faktor)
- x – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 (cara menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat)
Untuk cara 2, misalkan bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka berlaku hubungan sebagai berikut:
- x1 + x2 = – b
a - x1 . x2 = c
a
Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal cara menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui:
Contoh soal 1
Dengan cara faktor, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut:
- 1 dan 4
- -2 dan 5
- -3 dan 2
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
(x – x1) (x – x2) = 0
(x – 1) (x – 4) = 0
x2 – 4x – x + 4 = 0
x2 – 5x + 4 = 0
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
(x – (-2)) (x – 5) = 0
(x + 2) (x – 5) = 0
x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x2 + 7x + 10 = 0
Jawaban soal 3 sebagai berikut:
(x – -(3)) (x – 2) = 0
(x + 3) (x – 2) = 0
x2 – 2x + 3x – 6 = 0
x2 + x – 6 = 0
Contoh soal 2
Dengan cara faktor, tentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya sebagai berikut:
- 3/4 dan – 4/5
- – 1/3 dan – 3/5
Pembahasan
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
Contoh soal 3
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut:
- 2 dan 5
- -1 dan -4
- (p + 2) dan (p – 2)
Pembahasan
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
x2 – (2 + 5)x + 2 . 5 = 0
x2 – 10x + 10 = 0
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
x2 – (-1 + (-4))x + -1 . -4 = 0
x2 + 5x + 4 = 0
Jawaban soal 3 sebagai berikut:
x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0
x2 – (p + 2 + p – 2)x + (p + 2) (p – 2) = 0
x2 – 2px + p2 – 2p + 2p – 4 = 0
x2 + p2 – 2px – 4 = 0
Contoh soal 4
Susunlah akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 5x – 3 = 0.
Pembahasan
Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu akar-akar dari 2x2 + 5x – 3 = 0 dengan cara pemfaktoran.
2x2 + 5x – 3 = 0
2 x … + … = 5
… x … = -3
Angka yang tepat untuk mengisi titik-titik adalah 3 dan -1 sehingga didapat:
(2x – 1) (x + 3) = 0
x1 = 1/2 dan x2 = – 3.
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya tiga kali (x1 = 1/2 . 3 = 3/2 dan x2 = -3 . 3 = -9) sebagai berikut:
Contoh soal 5
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kuadrat dari persamaan 3x2 + 7x + 2 = 0.
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 7x + 2 = 0 dengan cara pemfaktoran.
3x2 + 7x + 2 = 0
3 x … + … = 7
… x … = 2
Angka yang tepat mengisi titik-titik adalah 2 dan 1 sehingga didapat:
(3x + 1) (x + 2) = 0
x1 = – 1/3 dan x2 = – 2)
Kuadrat dari x1 = (- 1/3)2 = 1/9 dan kuadrat dari x2 = (-2)2 = 4. Jadi persamaan kuadrat sebagai berikut:
Contoh soal 6
Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat dari 2x2 – 6x + 7 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2x1 + 1) dan (2x2 + 1)
Pembahasan
Persamaan kuadrat x2 – 6x + 7 = 0 berarti a = 2, b = -6 dan c = 7 sehingga didapat:
x1 + x2 = – b
a = – -6
2 = 3
x1 . x2 = c
a = 7
2
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2 x1 + 1) dan (2 x2 + 1) sebagai berikut:
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x1 = 0
x2 – (2x1 + 1 + 2x2 + 1)x + (2x1 + 1) (2x2 + 1)
x2 – (2 (x1 + x2) + 2)x + 4 (x1 . x2) + 2(x1 + x2) + 1 = 0
x2 – (2 . 3 + 2)x + 4 . 7/2 + 2 . 3 + 1 = 0
x2 – 8x + 14 + 6 + 1 = 0
x2 – 8x + 21 = 0
Contoh soal 7
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2).
Pembahasan
Persamaan kuadrat x2 – 2x + 5 = 0 berarti a = 1, b = -2 dan c = 5 sehingga didapat:
p + q = – b
a = 2
p . q = c
a = 5
1 = 5
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) sebagai berikut:
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x1 = 0
x2 – (p + 2 + q + 2)x + (p + 2) (q + 2) = 0
x2 – (p + q + 4)x + (p . q) + 2 (p + q) + 4 = 0
x2 – (2 + 4)x + (5 + 2 . 2 + 4) = 0
x2 – 6x + 13 = 0