);

Contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya + jawaban

Postingan ini membahas contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya atau pembahasannya + jawaban. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang hanya memuat satu peubah atau variabel dan pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0, dengan a, b , c ∈ R dan a ≠ 0. Contoh persamaan kuadrat sebagai berikut:

  1. 2x2 + 3x – 2 = 0
  2. x2 – 6x + 9 = 0
  3. x2 – 16 = 0

Persamaan kuadrat sangat penting untuk dipelajari karena merupakan salah satu materi utama pelajaran matematika. Persamaan kuadrat diajarkan baik di SMP/MTs maupun di SMA / SMK. Contoh soal persamaan kuadrat ini disusun berdasarkan tingkat kesulitannya, dimulai dari soal mudah hingga cukup sulit. Dengan demikian dapat mengukur kemampuan siswa dalam memahami persamaan kuadrat. Rumus yang berlaku pada persamaan kuadrat sebagai berikut.

Persamaan kuadrat
Rumus persamaan kuadrat

Contoh soal 1

Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 2x2 – 4x = 0 adalah…
A. 0 atau 1
B. 0 atau 2
C. 1 atau 2
D. 2 atau 4

Penyelesaian soal / Pembahasan

2x2 – 4x = 0
2x (x – 2) = 0
2x1 = 0 → x1 = 0/2 = 0
x2 – 2 = 0 → x2 = 2
Jadi himpunan penyelesaian soal ke-1 adalah 0 atau 2. Jawaban B.

Contoh soal 2

Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 – 16 = 0 adalah …
A. 0 atau 4
B. 0 atau 16
C. – 4 atau 4
D. -4 atau 16

Penyelesaian soal / pembahasan

x2 – 16 = 0
x2 = 16 atau x = ± 16
x1 = 4 dan x2 = -4

Jadi himpunan penyelesaian soal ke-2 adalah -4 atau 4. Jawaban C.


Contoh soal 3

Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 11x – 26 = 0 adalah …
A. -13 atau 2
B. -2 atau 13
C. 0 atau 11
D. 11 atau 26

Penyelesaian soal / pembahasan

x2 + 11x – 26 = 0
(x + 13) (x – 2) = 0
x1 + 13 = 0
x1 = -13
x2 – 2 = 0 maka x2 = 2.
Jadi himpunan penyelesaian soal diatas adalah -13 atau 2. Jawaban A.


Contoh soal 3

Salah satu penyelesaian 2x2 – x – 6 = 0 adalah …
A. x = -2
B. x = 1 \frac {1} {2}
C. x = 1 \frac {3} {2}
D. x = 2

Penyelesaian soal / pembahasan

(2x + 3) (x – 2) = 0
x = – \frac {2} {3} atau x = 2
Jawaban D.


Contoh soal 4

Selisih kuadrat akar-akar persamaan 2x2 – 6x + 2k + 1 adalah 6. Nilai k adalah…
A. 1/4
B. 3/4
C. 3/2
D. -3/4
E. -1/4

Penyelesaian soal / pembahasan

D = b2 – 4 a c
D = (-6)2 – 4 . 2 . (2k + 1)
D = 36 – 8 (2k + 1)
(x1 – x2)2 = (\frac {\sqrt {D}} {a})2
6 = \frac {D} {2^2}
6 . 4 = 36 – 8 (2k + 1)
24 – 36 = -16k – 8
-12 + 8 = -16k
k = \frac {-4} {-16} = 1/4
Jawaban A

Contoh soal 5

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 atau – 5 adalah…
A. x2 + x + 5 = 0
B. x2 + 3x + 10 = 0
C. x2 + 3x – 10 = 0
D. x2 – 3x + 10 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

(x – 2) (x – (-5)) = 0
(x – 2) (x + 5) = 0
x2 + 5x – 2x – 10 = 0
x2 + 3x – 10 = 0
Jawaban C


Contoh soal 6

Jika 3 merupakan salah satu akar persamaan 3x2 + bx + 6 = 0 maka nilai b adalah…
A. -11
B. -5
C. -2
D. 7

Penyelesaian soal / pembahasan

Ganti x = 3 sehingga diperoleh:
3 . 32 + 3b + 6 = 0
27 + 3b + 6 = 0
3b = -33
b = -33/3 = -11
Jawaban A


Contoh soal 7

Hasil pemfaktoran persamaan kuadrat x2 – 10x – 24 adalah…
A. (x – 4) (x – 6)
B. (x – 2) (x – 12)
C. (x + 2) (x – 12)
D. (x + 4) (x – 6)

Penyelesaian soal / pembahasan

… + … = -10
… x … = -24
Jawaban yang tepat adalah + 2 dan -12
Jawaban C.


Contoh soal 8

Jika akar-akar persamaan kuadrat -x2 + 7x – 6 = 0 adalah p dan q, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p – 2) dan (q – 2) adalah…
A. x2 + 9x – 4 = 0
B. x2 + 3x + 4 = 0
C. -x2 – 3x – 4 = 0
D. x2 + 3x – 4 = 0
E. -x2 + 3x + 4 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

p + q = – \frac {b} {a} = \frac {-7} {-1} = 7
p . q = \frac {c} {a} = \frac {-6} {-1} = 6
x2 + {(p – 2) + (q – 2)} x + (p – 2) (q – 2) = 0
x2 + {-4 + (p + q)} x + p . q – 2 (p + q) + 4 = 0
x2 + {- 4 + 7} x + 6 – 2 . 7 + 4 = 0
x2 + 3x – 4 = 0
Jawaban D


Contoh soal 9

Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – x – 4 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x1 – 1) dan (3x2 – 1) adalah…
A. x2 – x – 38 = 0
B. x2 + x – 32 = 0
C. x2 + x + 12 = 0
D. x2 + x – 12 = 0
E. x2 – x – 12 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

x1 + x2 = – \frac {b} {a} = – \frac {-1} {3} = \frac {1} {3}
x1 . x2 = \frac {c} {a} = – \frac {4} {3}
x2 + {(3x1 – 1) + (3x2 – 1)} x + (3x1 – 1) (3x2 – 1)
x2 + {3(x1 + x2) – 2} x + 9 x1 . x2 – 3 (x1 + x2) + 1 = 0
x2 + (3 . \frac {1} {3} – 2) x + 9 . (-\frac {4} {3}) – 3 . \frac {1} {3} + 1 = 0
x2 – x – 12 = 0
Jawaban E


Contoh soal 10

Persamaan kuadrat x2 + kx – (2k + 4) = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α2 + β2 = 53, nilai k yang memenuhi adalah…
A. k = -15 atau k = 3
B. k = -9 atau k = -5
C. k = 9 atau k = 5
D. k = -9 atau k = 5
E. k = 9 atau k = -5

Penyelesaian soal / pembahasan

α + β = – \frac {b} {a} = – \frac {k} {1} = -k
α . β = \frac {c} {a} = – (2k + 4)
α2 + β2 = 53
(α + β)2 – 2 α . β = 53
(-k)2 – 2 . – (2k + 4) = 53
k2 + 4k + 8 – 53 = 0
k2 + 4x – 45 = 0
(k + 9) (x – 5) = 0
k = – 9 atau k = 5
Jawaban D


Contoh soal 11

Salah satu akar persamaan x2 + ax + 4 = 0 tiga lebih dari akar yang lain. Nilai a yang memenuhi adalah…
A. -5 atau 5
B. -4 atau 4
C. -3 atau 3
D. -2 atau 2
E. -1 atau 1

Penyelesaian soal / pembahasan

Misal akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka x1 = x2 + 3
x1 . x2 = \frac {c} {a} = 4
(x2 + 3) x2 = 4
x12 + 32 – 4 = 0
(x2 – 1) (x2 + 4) = 0
x2 = 1 atau x2 = -4
Jika x2 = 1 maka x1 = 1 + 3 = 4
JIka x2 = -4 maka x1 = -4 + 3 = -1
a = x1 + x2 = 4 + 1 = 5 atau -1 + -4 = -5
Jawaban A


Contoh soal 12

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 10x + 2 = 0 maka nilai dari x12 x2 + x1 . x22 adalah…
A. -5
B. -10
C. -15
D. -20
E. -25

Penyelesaian soal / pembahasan

x1 + x2 = – \frac {b} {a} = – \frac {10} {1} = -10
x1 . x2 = \frac {c} {a} = \frac {2} {1} = 2
x12 x2 + x1 x22 = x1 . x2 (x1 + x2)
2 . – 10 = -20
Jawaban = D.


Contoh soal 13

Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 6x + 2 = 0. Nilai x12 + x22 – 4x1x2 adalah…
A. 16
B. 18
C. 24
D. 26
E. 28

Penyelesaian soal / pembahasan

x1 + x2 = -b/a = -6
x1 . x2 = c/a = 2
x1 2 + x22 – 4x1x2 = (x1 + x2)2 – 2x1 x2 – 4x1 x2
(x1 + x2)2 – 6x1 x2 = (-6)2 – 6 . 2)
36 – 12 = 24
Jawaban C


Contoh soal 14

Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 7 = 0 adalah α dan β. Maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah …
A. x2 – x – 9 = 0
B. x2 – x + 9 = 0
C. x2 + x – 9 = 0
D. x2 + 9x – 1 = 0
E. x2 – 9x + 1 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

α + β = – 3 dan α . β = -7
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
x2 – {(α + 2) + (β + 2)} x + (α + 2)(β + 2) = 0
x2 – (α + β + 4) x + (α . β + 2 (α + β) + 4) = 0 …(pers 1)
Kemudian kita subtitusi α + β = – 3 dan α . β = – 7 ke persamaan (1) maka diperoleh hasil:
x2 – (-3 + 4) x + (-7 + 2 (-3) + 4) = 0.
x2 – (1) x + (-7 – 6 + 4) = 0
x2 – x – 9 = 0

Jadi persamaan kuadrat x2 – x – 9 = 0. Jawaban A.


Contoh soal 15

Batas nilai m agar persamaan kuadrat (m + 3)x2 + mx + 1 = 0 mempunyai akar-akar riil adalah…
A. 2 ≤ m ≤ 6
B. -2 ≤ m < 6
C. m ≤ 2 atau m ≥ 6
D. m < -2 atau m > 6
E.m ≤ -6 atau m ≥ -2

Penyelesaian soal / pembahasan

Syarat akar riil D > 0
b2 – 4 . a . x > 0
m2 – 4 (m + 3) . 1 > 0
m2 – 4m – 12 > 0
(m – 6) (m + 2) > 0
m > 6 atau m < -2
Jawaban D


Contoh soal 16

Batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat mx2 + (m – 4)x + 1/2 = 0 mempunyai akar-akar berlainan adalah…
A. -8 < m < 2
B. – 2 < m < 8
C. 2 < m < 8
D. m < 2 atau m > 8
E. m < – 8 atau m > -2

Penyelesaian soal / pembahasan

Syarat akar berlainan D > 0 atau b2 – 4 . a . c > 0
(m – 4)2 – 4 m . 1/2 > 0
m2 – 8m + 16 – 2m > 0
m2 – 10m + 16 > 0
(m – 8) (m – 2) > 0
m < 2 atau m > 8
Jawaban D.

Contoh soal 17

Diketahui persamaan kuadrat x2 – (b + 2) x + b = 0 mempunyai akar-akar m dan n. Jika m2 + n2 = 28 maka tentukan nilai b positif yang memenuhi.

Penyelesaian soal / pembaahsan

Pada soal ini diketahui (m + n) = b + 2 dan m . n = b. Untuk menentukan nilai b positif yang memenuhi dilakukan dengan cara sebagai berikut:

m2 + n2 = 28
(m + n)2 – 2 (m . n) = 28
Subtitusi (m + n) = b + 2 dan m . n = b ke persamaan diatas sehingga didapat:
(b + 2)2 – 2 . b = 28.
b2 + 4b + 4 – 2b – 28 = 0
b2 + 2b – 24 = 0
(b + 6) (b – 4) = 0
b = -6 dan b = 4

Jadi b positif yang memenuhi adalah 4 .


Contoh soal 18

Diketahui persamaan kuadrat 2x2 + 6x + c = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Jika p2 + q2 = 8, hitunglah nilai c.

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan persamaan kuadrat diatas diketahui a = 2, b = 6 dan c. Untuk mencari c sebagai berikut:

p2 + q2 = 8
(p + q)2 – 2 p.q = 8
(- b/a)2 – 2 (c/a) = 8
(- 6/2)2 – 2 (c/2) = 8
9 – c = 8 maka c = 9 – 8 = 1

Jadi nilai c = 1.


Contoh soal 19

Diketahui persamaan kuadrat x2 + (m – 1) x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata yang berbeda. Tentukan batasan nilai m yang memenuhi.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita terapkan syarat jenis-jenis persamaan kuadrat yaitu:

  1. D > 0 bila akar-akar persamaan kuadrat nyata dan berlainan (x1 ≠ x2)
  2. D = 0 jika akar-akar persamaan kuadrat nyata dan sama ((x1 = x2)
  3. D < 0 jika akar-akar persamaan kuadrat khayal.

Pada soal diatas akar-akar persamaan kuadrat nyata dan berbeda sehingga memenuhi syarat pertama:

  • D > 0
  • b2 – 4 . a . c > 0
  • (m – 1)2 – 4 . 1. 9 > 0
  • m2 – 2m + 1 – 36 > 0
  • m2 – 2m – 35 > 0
  • (m – 7) (m + 5) > 0
  • m – 7 > 0 atau m > 7
  • m + 5 > 0 atau m < – 5

Jadi nilai m yang memenuhi adalah m < – 5 atau m > 7.

Contoh soal 20

Diketahui persamaan kuadrat x2 + (α + 1) x + (2 – α) = 0 mempunyai akar-akar tidak nyata. Tentukan nilai α yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

Akar-akar persamaan kuadrat tidak nyata atau tidak real jika:

  • D < 0
  • b2 – 4ac < 0
  • (α + 1)2 – 4 . 1 . (2 – α) < 0
  • α2 + 2α + 1 – 8 + 4α < 0
  • α2 + 6α -7 <0
  • (α + 7) (α – 1) < 0
  • α > -7 atau α < 1 atau -7 < α < 1

Jadi nilai yang memenuhi -7 < α < 1.

(Visited 1.076 times)

You cannot copy content of this page