Postingan ini membahas contoh soal turunan fungsi trigonometri dan pembahasannya. Untuk menyelesaikan soal turunan trigonometri kita menggunakan rumus-rumus turunan seperti turunan perkalian, pembagian dan turunan fungsi komposisi. Secara umum, rumus turunan fungsi trigonometri sebagai berikut:
- Jika y = sin x maka turunannya y’ = cos x
- Jika y = cos x maka turunannya y’ = – sin x
- Jika y = tan x maka turunannya y’ = sec2 x
- Jika y = cot x maka turunannya y’ = cosec2 x
- Jika y = sin U maka turunannya y’ = U’ cos U
- Jika y = sinn U maka turunannya y’ = n sinn – 1 U cos U’
- Jika y = sec x maka turunannya y’ = sec x tan x
- Jika y = cosec x maka turunannya y’ = cosec x cot x
Contoh soal turunan fungsi trigonometri
Contoh soal 1
Carilah turunan pertama dari:
- sin 3x
- cos 4x
Pembahasan
Jawaban soal 1:
Misal U = 3x
U’ = 3
y’ = U’ cos U = 3 cos 3x
Jawaban soal 2:
Misal U = 4x
U’ = 4
y’ = – U’ sin U = – 4 sin 4x
Contoh soal 2
Carilah turunan pertama dari:
- sin (2x + 3)
- cos (3x – 2)
Pembahasan
Jawaban soal 1:
Misal U = 2x + 3
U’ = 2
y’ = U’ cos U = 2 cos (2x + 3)
Jawban soal 2:
Misal U = 3x – 2
U’ = 3
y’ = – U’ sin U = – 3 sin (3x – 2)
Contoh soal 3
Carilah f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini.
- f(x) = sin2 x
- f(x) = cos2 x
Pembahasan
Jawaban soal 1 (menggunakan rumus turunan fungsi komposisi):
Misal U = sin x
U’ = cos x
f(U) = U2
f'(U) = 2U
f'(x) = f'(U) . U’ = 2U . cos x = 2 sin x cos x
Jawaban soal 2:
Misal U = cos x
U’ = – sin x
f(U) = U2
f'(U) = 2U
f'(x) = f'(U) . U’ = 2U . – sin x = -2 cos x sin x
Contoh soal 4
Carilah f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini.
- f(x) = 2 cot x
- f(x) = 6 sin x + 2 cos x
Pembahasan
Jawaban soal 1 (menggunakan rumus turunan fungsi perkalian):
Misal U = 2 maka U’ = 0
V = cot x maka V’ = cosec2 x
f'(x) = U’ V + U V’
f'(x) = 0 . cot x + 2 cosec2 x = 2 cosec2 x
Jawaban soal 2
f'(x) = 6 cos x + 2 . – sin x
f'(x) = 6 cos x – 2 sin x
Contoh soal 5
Carilah turunan dari:
a. y = sin (1/x)
b. y = cos x2
Pembahasan
Jawaban soal a:
Misal U = 1
x = x-1
U’ = -1 x-1 – 1 = – x-2
f(U) = sin U
f'(U) = cos U
y’ = f'(U) . U’ = cos U . – x-2 = – x-2 cos 1
x
Jawaban soal b:
Misal U = x2
U’ = 2x
f(U) = cos U
f'(U) = – sin U
y’ = f'(U) . U’ = – sin U . 2x = – 2x sin x2
Contoh soal 6
Carilah turunan dari:
Pembahasan
Jawaban soal a:Misal U = 5 maka U’ = nol
V = sin x maka V’ = cos x
y’ =
y’ =
Misal U = 2 maka U’ = nol
V = cos x maka V’ = – sin x
y’ =
y’ =
Contoh soal 7
Carilah turunan dari y = cos2 (3x – 2).
Pembahasan
Misalkan U = 3x – 2 maka U’ = 3
f(U) = cos2 U
Misalkan V = cos U maka V’ = – sin U
f(V) = V2 maka f'(V) = 2V
y’ = f'(V) . V’ . U’
y’ = 2V . – sin U . 3 = 2 cos U . – sin U . 3
y’ = -6 sin (3x – 2) cos (3x – 2)
Contoh soal 8
Carilah turunan dari y = sin2 (2 – x).
Pembahasan
Misalkan U = 2 – x maka U’ = -1
f(U) = sin2 U
Misalkan V = sin U maka V’ = cos U
f(V) = V2 maka f'(V) = 2V
y’ = f'(V) . V’ . U’
y’ = 2V . cos U . – 1
y’ = 2 sin U . cos U . -1 = -2 sin (2 – x) cos (2 – x)
Contoh soal 9
Carilah turunan dari y = x2 sin 3x.
Pembahasan
Misalkan U = x2 maka U’ = 2x
V = sin 3x maka V’ = 3 cos 3x
y’ = U’ V + U V’
y’ = 2x . sin 3x + x2 . 3 cos 3x
Contoh soal 10
Carilah turunan dari y = x2 cos 2x.
Pembahasan
Misalkan U = x2 maka U’ = 2x
V = cos 2x maka V’ = – 2 sin 2x
y’ = U’ V + U V’
y’ = 2x cos 2x + x2 . – 2 sin 2x
y’ = 2x cos 2x – 2x2 sin 2x
Contoh soal 11
Pembahasan
f'(x) = – 2 cos x + sin x
π/2 = 90°
f'(90°) = – 2 cos 90° + sin 90° = – 2 . 0 + 1 = 1
Jadi soal ini jawabannya C.
Contoh soal 12
Pembahasan
Turunan f(x) = sin2x adalah f'(x) = 2 sin x cos x (contoh soal nomor 3)
2 sin x cos x = sin 2x
sin 2x = 1/2 maka x = 15° = π/12 karena sin 2 . 15° = sin 30° = 1/2.
Jadi soal ini jawabannya E.