Postingan ini membahas contoh soal sudut ganda cosinus, sinus dan tangen yang disertai pembahasannya atau penyelesaiannya. Rumus sinus sudut ganda sebagai berikut:
sin 2A = 2 sin A cos A
Rumus cosinus sudut ganda sebagai berikut:
cos 2A = cos2 A – sin2 A
cos 2A = 2 cos2 A – 1
cos 2A = 1 – 2 sin2 A
Rumus tangen sudut ganda sebagai berikut:
Rumus sudut ganda untuk sin 1/2 A, cos 1/2 A dan tan 1/2 A sebagai berikut:
Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal sudut ganda dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Diketahui sin A = 12/13, 0 < A < 1/2 π. Tentukan nilai dari:
- sin 2A.
- cos 2A
- tan 2A
Pembahasan
Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu sin A, cos A, dan tan A dengan cara dibawah ini.
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
sin 2A = 2 sin A cos A
sin 2A = 2 . 12/13 . 5/13
sin 2A = 120/169
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
cos 2A = 1 – 2 sin2 A
cos 2A = 1 – 2 (12/13)2
cos 2A = 1 – 288/169 = – 119/169
Cara lain menjawab soal 2 sebagai berikut:
cos 2A = 2 cos2 A – 1
cos 2A = 2 (5/13)2 – 1
cos 2A = 50/169 – 1 = – 119/169
Jawaban soal 3 sebagai berikut:
Contoh soal 2
Hitunglah nilai dari 2 sin 75° cos 15°.
Pembahasan
Soal diatas dapat ditulis sebagai berikut 2 sin 1/2 (150°) cos 1/2 (30°).
Nilai sin 1/2 150° sebagai berikut:
Nilai dari cos 1/2 30° sebagai berikut:
Jadi hasil dari 2 sin 75° cos 25° sebagai berikut:
Contoh soal 3
Hitunglah:
- sin 67,5°
- cos 22,5°
- tan 15°
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
Jawaban soal 2 sebagai berikut
Jawaban soal 3 sebagai berikut:
Contoh soal 4
Jika cos 2A = 8/10 dan A sudut lancip, tentukan nilai dari tan A.
Pembahasan
Jika cos 2A = 8/10 maka sin 2A = 6/10 (menggunakan triple pythagoras 6, 8, 10). Jadi jawaban soal ini sebagai berikut:
Selanjutnya dikali silang sehingga hasilnya sebagai berikut:
3 (1 – tan2 A) = 4 . 2 tan A
3 – 3 tan2 A = 8 tan A
3 tan2 A + 8 tan A – 3 = 0
(3 tan A – 1) (tan A + 3) = 0
tan A = 1/3 atau tan A = -3
Tan A = -3 tidak mungkin jadi yang tepat adalah tan A = 1/3.
Contoh soal 5
Hitunglah nilai dari 2 cos2 30° – 1.
Pembahasan
cos 2A = 2 cos2 A – 1 jadi:
2 cos2 30° – 1 = cos 2 . 30°
2 cos2 30° – 1 = cos 60° = 1/2
Contoh soal 6
Jika cos 2A = 0,75 untuk 0° < A < 90°, hitunglah nilai dari:
- cos A
- sin A
Pembahasan
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
cos 2A = 2 cos2 A – 1
0,75 = 2 cos2A – 1
2 cos2 A = 0,75 + 1 = 1, 75
cos2 A = 1,75/2 = 0,875
cos A = √ 0,875
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
cos 2A = 1 – 2 sin2 A
0,75 = 1 – 2 sin2 A
2 sin2 A = 1 – 0,75 = 0,25
sin2 A = 0,25/2 = 0,125
sin A =
√ 0,125
Contoh soal 7
Cos 2A – 2 cos2 A = …
Pembahasan
cos 2A – 2 cos 2 A = (2 cos2 A – 1) – 2 cos2 A
cos 2A – 2 cos 2 A = – 1
Sumber soal:
Soedyarto, Nugroho. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Jakarta. 2008.