Contoh soal persamaan, pertidaksamaan irasional dan penyelesaiannya

Pada postingan ini kita membahas contoh soal persamaan dan pertidaksamaan irasional yang disertai penyelesaiannya atau pembahasannya. Artikel ini lanjutan dari postingan sebelumnya tentang persamaan dan pertidaksamaan rasional.

Ciri dari persamaan dan pertidaksamaan irasional adalah terdapat variabel atau peubah (x) yang berada dalam tanda akar. Contoh persamaan irasional sebagai berikut:

1. √ x – 1   = x + 1
2. x + 5 = √ x2 + 4 

Sedangkan ciri pertidaksamaan irasional sama seperti persamaan irasional tetapi menggunakan notasi <, >, ≤, atau ≥. Langkah-langkah menyelesaikan soal persamaan dan pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

1. Tentukan syarat untuk persamaan atau pertidaksamaan irasional. Syarat ini bertujuan untuk menghindari akar negatif karena akar negatif akan menghasilkan bilangan imajiner.
2. Kuadratkan kedua ruas persamaan atau pertidaksamaan irasional. Tujuan mengkuadratkan adalah untuk menghilangkan tanda akar.
3. Tentukan interval yang sesuai dengan syarat yang sudah ditentukan.

Untuk lebih jelaskan perhatikan contoh soal persamaan dan pertidaksamaan irasional dibawah ini.

Contoh soal persamaan irasional

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1   = x – 3

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.
• x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.

Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.

Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini:

• ( √ x – 1   )2 = (x – 3)2
• (x – 1) = x2 – 6x + 9
• x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0
• x2 – 7x + 10 = 0
• (x – 2) (x – 5) = 0
• x = 2 atau x = 5

Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.

Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:

• √ x – 1   = x – 3
• √ 5 – 1   = 5 – 3
• √ 4   = 2
• 2 = 2

Kita lihat jawabannya sesuai.

Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut:

• √ 2 – 1   = 2 – 3
• 1 = – 1.

Kita lihat hasilnya tidak sesuai.

---

Contoh soal 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x2 – 9   = √ x + 3   .

Penyelesaian soal

Sama seperti nomor 1, kita tentukan dahulu syarat persamaan irasional yaitu:

• x2 – 9 ≥ 0 atau x2 ≥ 9 → x ≤ -3 atau x ≥ 3.
• x + 3 ≥ 0 atau x ≥ -3.

Kita lihat syarat pertama x ≤ -3 dan yang kedua x ≥ -3 jadi syarat yang berlaku adalah x = -3 dan x ≥ 3.

Setelah itu kita kuadratkan kedua ruas persamaan irasional sehingga didapat:

• (√ x2 – 9 )2 = ( √ x + 3 )2.
• x2 – 9 = x + 3
• x2 – x – 9 – 3 = 0
• x2 -x – 12 = 0
• (x – 4) (x + 3) = 0
• x = 4 atau x = -3

Berdasarkan syarat kedua nilai x memenuhi sehingga jawaban soal ini adalah x = – 3 dan x = 4.

Contoh soal pertidaksamaan irasional

Contoh soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 5   < 2.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu syarat agar pertidaksamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 5 ≥ 0
• x ≥ 5

Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan irasional sehingga didapat:

• (√ x – 5 )2 < 22.
• x – 5 < 4
• x < 4 + 5 atau x < 9

Lalu kita buat garis bilangan untuk menentukan irisan antara syarat x ≥ 5 dan x < 9.

Berdasarkan gambar diatas maka himpunan pertidaksamaan irasional nomor 1 adalah 5 ≤ x < 9.

---

Contoh soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 1   > 2

Penyelesaian soal

Syarat yang berlaku pada pertidaksamaan irasional diatas sebagai berikut:

• x – 1 ≥ 0.
• x ≥ 1.

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan diatas sehingga didapat:

• ( √ x – 1  )2 > 22
• x – 1 > 4
• x > 4 + 1
• x > 5

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah x > 5.

---

Contoh soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ 16 – x2   ≤ x + 4.

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan irasional:

• 16 – x2 ≥ 0.
• x2 – 16 ≤ 0.
• (x – 4)(x + 4) ≤ 0.
• x = 4 dan x = -4
• -4 ≤ x ≤ 4

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan seperti dibawah ini:

• ( √ 16 – x2 )2 ≤ (x + 4)2
• 16 – x2 ≤ x2 + 8x + 16
• 16 – x2 – x2 – 8x – 16 ≤ 0
• -2x2 – 8x ≤ 0
• 2x2 + 8x > 0
• 2x (x + 4) > 0
• x ≤ – 4 dan x ≥ 0

Lalu kita buat garis bilangan antara syarat dengan hasil diatas sebagai berikut:

Jadi berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 2 adalah x = -4 dan 0 ≤ x ≤ 4.

---

Contoh soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ 2x – 1   < √ x + 2  .

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan berlaku:

• 2x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1/2.
• x + 2 ≥ 0 atau x ≥ – 2.

Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan sehingga didapat:

• ( √ 2x – 1 )2 < ( √ x + 2 )2
• 2x – 1 < x + 2
• 2x – x < 2 + 1
• x < 3

Berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 4 adalah 1/2 ≤ x < 3.