Contoh soal penjumlahan & pengurangan matriks + pembahasan

Pada postingan ini kita membahas contoh soal penjumlahan dan pengurangan matriks yang disertai pembahasannya atau penyelesaiannya. Jumlah matriks A dan B, ditulis A + B adalah suatu matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B. Matriks bisa dijumlahkan atau dikurang jika mempunyai ordo yang sama. Jadi matriks berordo 2 x 2 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks berordo 2 x 2, demikian pula matriks berordo 3 x 3. Sedangkan jika ordo matriks berbeda maka tidak bisa dijumlah atau dikurang.

Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks berordo sama, maka berlaku sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut.

Kumulatif sehingga A + B = B + A
Asosiatif sehingga (A + B) + C = A + (B + C)
unsur identitas O sehingga A + O = O + A = A
A + (-A) = – A + A = O

Cara menjumlahkan atau mengurangkan dua matriks adalah jumlahkan atau kurangkan angka yang berada pada kolom dan baris yang sama. Jika digambarkan sebagai berikut.

Rumus penjumlahan dan pengurangan matriks

Contoh soal 1

Hitunglah hasil dari penjumlahan matriks $\begin {bmatrix} 4 \\ 5 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} 8 \\ 9 \end {bmatrix}$

Pembahasan

$\begin {bmatrix} 4 \\ 5 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} 8 \\ 9 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 4 + 8 \\ 5 + 9 \end {bmatrix}$
$= \begin {bmatrix}12 \\ 14 \end {bmatrix}$

Contoh soal 2

Tentukan hasil dari $\begin {bmatrix} 2 & 3\\ 5 & 8 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 4 \end {bmatrix}$

Pembahasan

$\begin {bmatrix}2 & 3 \\ 5 & 8 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}4 & 6 \\ 3 & 4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 2+4 & 3+6 \\ 5+3 & 8+4 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 8 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}6 & 9 \\ 8 & 12 \end {bmatrix}$

Contoh soal 3

Hitunglah hasil pengurangan matriks $\begin {bmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 5 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end {bmatrix}$

Pembahasan

$\begin {bmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 5 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 6-2 & 5-3 \\ 4-1 & 5-3 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 5 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 2 \end {bmatrix}$

Contoh soal 4

Tentukan hasil dari $\begin {bmatrix} 5 & 6 & 8 \\ 3 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 4 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 \end {bmatrix}$

Pembahasan

$\begin {bmatrix}5-3 & 6-2 & 8-1 \\ 3-2 & 2-1 & 4-3 \\ 7-5 & 6-3 & 4-2 \end {bmatrix}$
$= \begin {bmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end {bmatrix}$

Contoh soal 5

Diketahui A = $\begin {bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end {bmatrix}$ , B = $\begin {bmatrix} 5 & -4 \\ 2 & 2 \end {bmatrix}$ dan C = $\begin {bmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 6 \end {bmatrix}$ . Hitunglah nilai dari A – (B + C).

Pembahasan

B + C = $\begin {bmatrix} 5 - 3 & -4 + 2 \\ 2 + 2 & 2 + 6 \end {bmatrix}$
B + C = $\begin {bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 8 \end {bmatrix}$
A – (B + C) = $\begin {bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 8 \end {bmatrix}$
A – (B + C) = $\begin {bmatrix} 2 - 2 & -1 - (-2) \\ 3 - 4 & 2 - 8 \end {bmatrix}$
A – (B + C) = $\begin {bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -6 \end {bmatrix}$

Contoh soal 6

Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan $\begin {bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end {bmatrix}$ + A = $\begin {bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & -2 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan

Misalkan matriks A = $\begin {bmatrix} a & b \\ c & d \end {bmatrix}$

Maka diperoleh:

$\begin {bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end {bmatrix}$ + A = $\begin {bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end {bmatrix}$ + $\begin {bmatrix} a & b \\ c & d \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix} 3 + a & 2 + b \\ 1 + c & 6 + d \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & -2 \end {bmatrix}$

Berdasarkan perhitungan diatas didapat:

3 + a = 4 atau a = 4 – 3 = 1
2 + b = -1 atau b = -1 – 2 = -3
1 + c = 2 atau c = 2 – 1 = 1
6 + d = -2 atau d = -2 – 6 = -8

Jadi matriks A = $\begin {bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -8 \end {bmatrix}$

Contoh soal 7

Tentukan nilai x, y, z yang memenuhi persamaan $\begin {bmatrix} -1 & y \\ x & z \end {bmatrix}$ + $\begin {bmatrix} 3 & z \\ y & 4 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -2 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan

$\begin {bmatrix} -1 + 3 & y + z \\ x + y & z + 4 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -2 \end {bmatrix}$

Jadi diperoleh:

z + 4 = -2 atau z = -2 – 4 = -6
y + z = -3 atau y = -3 – z = -3 – (-6) = 3
x + y = 5 atau x = 5 – y = 5 – 3 = 2

Jadi x = 2, y = 3 dan z = -6

Contoh soal 8 (UN 2015)

Diketahui 3 buah matriks $A = \begin {bmatrix}-2 & x \\ 6 & 3 \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}-5 & 14 \\ y & -2 \end {bmatrix}$ , $C = \begin {bmatrix}z & -1 \\ 1 & 5 \end {bmatrix}$ . Jika A – B = C maka nilai dari x + y + z adalah …

Pembahasan

Dari persamaan A – B = C kita peroleh:

$\begin {bmatrix}-2 & x \\ 6 & 3 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix}-5 & 14 \\ y & -2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}z & -1 \\ 1 & 5 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}-2- (-5) & x-14 \\ 6-y & 3 - (-2) \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}z & -1 \\ 1 & 5 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}3 & x-14 \\ 6-y & 5 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}z & -1 \\ 1 & 5 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hasil diatas maka diperoleh:

z = 3
x – 14 = -1 atau x = -1 + 14 = 13
6 – y = 1 atau y = 6 – 1 = 5

Jadi x + y + z = 13 + 5 + 3 = 21.

Contoh soal 9 (UN 2014)

Diketahui 3 buah matriks $A = \begin {bmatrix}4 & 5 \\ 1 & 4y \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}2x & -9 \\ 2 & 5 \end {bmatrix}$ , $C = \begin {bmatrix}2 & -4 \\ 3 & -11 \end {bmatrix}$ . Jika A + B = C maka nilai dari x + y adalah …

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu hasil dari A + B:

$A + B = \begin {bmatrix}4 & 5 \\ 1 & 4y \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}2x & -9 \\ 2 & 5 \end {bmatrix}$
$A + B = \begin {bmatrix}4+2x & 5+(-9) \\ 1+2 & 4y + 5 \end {bmatrix}$
$A + B = \begin {bmatrix}4+2x & -4 \\ 3 & 4y+5 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}4+2x & -4 \\ 3 & 4y+5 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}2 & -4 \\ 3 & -11 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hasil diatas kita peroleh:

4 + 2x = 2 atau 2x = 4 – 2 atau x = 2
4y + 5 = -11 atau 4y = -11 – 5 = -16 jadi y = -4

Dengan demikian nilai dari x + y = 2 + (-4) = -2.

Contoh soal 10

Diketahui 3 buah matriks $A = \begin {bmatrix}5 & 6 & -7 \\ 4 & 2 & 3 \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}7 & -8 & -8 \\ 5 & -7 & 4 \end {bmatrix}$ , $C = \begin {bmatrix}-4 & 6 & 3 \\ 2 & 0 & -5 \end {bmatrix}$ . Hitunglah hasil dari B – 2C + A.

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu 2C yaitu:

$2C = 2 \begin {bmatrix}-4 & 6 & 3 \\ 2 & 0 & -5 \end {bmatrix}$
$2C = \begin {bmatrix} -8 & 12 & 6 \\ 4 & 0 & -10 \end {bmatrix}$

Kemudian tentukan B – 2C:

$B - 2C = \begin {bmatrix}7 - (-8) & -8 - 12 & 8 - 6 \\ 5-4 & -7-0 & 4-(-10) \end {bmatrix}$
$B - 2C = \begin {bmatrix}15 & -20 & 2 \\ 1 & -7 & 14 \end {bmatrix}$

Selanjutnya hitung B – 2C + A = (B – 2C) + A:

$B - 2C + A = \begin {bmatrix}15+5 & -20+6 & 2-7 \\ 1+4 & -7+2 & 14+3 \end {bmatrix}$
$B - 2C + A = \begin {bmatrix}20 & -14 & -5 \\ 5 & -5 & 17 \end {bmatrix}$

Contoh soal penjumlahan & pengurangan matriks + pembahasan

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan