Soal persamaan lingkaran UTBK SBMPTN dan pembahasan

Berikut ini adalah soal persamaan lingkaran UTBK SBMPTN dan pembahasannya. Soal persamaan lingkaran yang dibahas merupakan soal-soal UTBK 2019 dan SBMPTN 2018. Pada UTBK 2019 soal persamaan lingkaran masuk dalam kategori jenis tes kompetensi akademik (TKA) kelompok Matematika saintek sedangkan pada SBMPTN 2018 termasuk jenis tes kompetensi dasar atau TKD saintek.

Soal 1 (UTBK 2019)

Jika lingkaran x² + y² = 1 menyinggung garis ax + by = 2b, maka $\frac {a^2}{a^2 + b^2}$ = …
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 2

Pembahasan

Pada soal ini diketahui:

Persamaan garis singgung ax + by – 2b = 0
k = r = 1
Titik pusat (0, 0)

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

UTBK persamaan lingkaran — Pembahasan soal 1 UTBK 2019 persamaan lingkaran

Selanjutnya subtitusi a² = 3b² ke: $\frac {a^2}{a^2 + b^2}$
= $\frac {3b^2}{3b^2 + b^2}$
= $\frac {3b^2}{4b^2} = \frac {3}{4}$

Jadi soal ini jawabannya C.

Soal 2 (UTBK 2019)

Jika garis y = mx + b menyinggung lingkaran x² + y² = 1, maka nilai b² – m² + 1 = …
A. -3
B. -2
C. 0
D. 2
E. 3

Pembahasan

Subtitusi garis y ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh:

x² + (mx + b)² = 1
x² + m²x² + 2mbx + b² = 1
(m² + 1) x² + 2mb x + b² – 1 = 0
D = 0 (syarat garis menyinggung lingkaran)
b² – 4ac = 0
(2mb)² – 4 . (m² + 1) . (b² – 1) = 0
4m² b² = 4 (m²b² – m + b² – 1)
m² b² = m²b² – m + b² – 1
b² – m² – 1 = m²b² – m²b² = 0
b² – m² – 1 + 2 = 0 + 2
b² – m² + 1 = 2

Soal ini jawabannya D.

Soal 3 (UTBK 2019)

Diketahui titik P (4, a) dan lingkaran L: x² + y² – 8x – 2y + 1 = 0. Jika titik P berada dalam lingkaran L, maka nilai a yang mungkin adalah…
A. 1 < a < 3
B. -3 < a < 5
C. -5 < a < -3
D. 3 < a < 5
E. – 5 < a < 3

Pembahasan

Syarat titik P (4, a) didalam lingkaran adalah x² + y² – 8x – 2y + 1 < 0. Jadi cara menjawab soal ini subtitusi nilai P (4, a) kedalam syarat tersebut seperti dibawah ini.

4² + a² – 8 . 4 – 2a + 1 < 0
16 + a² – 31 – 2a < 0
a² – 2a – 15 < 0
(a + 3) (a – 5) < 0
a = – 3 atau a = 5
-3 < a < 5

Soal ini jawabannya B.

Soal 4 (UTBK 2019)

Sebuah lingkaran mempunyai pusat (a, b) dengan jari-jari 12 dan menyinggung garis 3x + 4y = 5. Nilai 3a + 4b yang mungkin adalah…
A. -65 dan 75
B. -60 dan 70
C. -55 dan 65
D. -50 dan 60
E. -45 dan 55

Pembahasan

Persamaan lingkaran — Pembahasan soal UTBK 2019 nomor 4 persamaan lingkaran

Nilai yang mungkin sebagai berikut:

3a + 4b – 5 = 12 . 5 = 60 maka 3a + 4b = 60 + 5 = 65
3a + 4b – 5 = -12 . 5 = -60 maka 3a + 4b = -60 + 5 = -55

Soal ini jawabannya C.

Soal 5 (SBMPTN 2018)

Jika lingkaran x² + y² – ax – ay – a = 0 mempunyai panjang jari-jari a, maka nilai a adalah…
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan

Jika persamaan lingkaran x² + y² + 2ax + 2by + c maka jari-jarinya r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$ . Pada soal diatas diketahui:

a = -1/2 a
b = -1/2 a
c = -a

Maka nilai a =
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
a = $\sqrt{(-1/2a)^2 + (-1/2a)^2 - (-a)}$
a² = 1/4a² + 1/4² + a = 1/2a² + a
a = a² – 1/2a² = 1/2a²
1 = 1/2a atau a = 2
Soal ini jawabannya B

Soal 6 (SBMPTN 2018)

Jika panjang jari-jari lingkaran x² + y² + Ax + By – 4 = 0 adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran x² + y² + Ax + By + 17 = 0, maka panjang jari-jair lingkaran yang lebih besar adalah…
A. $\sqrt {7}$
B. 2 $\sqrt {7}$
C. 3 $\sqrt {7}$
D. 4 $\sqrt {7}$
E. 5 $\sqrt {7}$

Pembahasan

Misalkan A = 2a dan B = 2b maka jari-jari lingkaran diatas
$\sqrt {A^2 + B^2 - c}$ = 2 $\sqrt {A^2 + B^2 - c}$
$\sqrt {A^2 + B^2 + 4}$ = 2 $\sqrt {A^2 + B^2 - 17}$
A² + B² + 4 = 4A² + 4B² – 68
72 = 3A² + B²
A² + B² = $\frac {72}{3}$ = 24
Jari-jari lingkaran besar = $\sqrt {A^2 + B^2 - c}$
= $\sqrt {24 - (-4)}$
= $\sqrt {28}$ = 2 $\sqrt {7}$
Jawaban B

Soal persamaan lingkaran UTBK SBMPTN dan pembahasan

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan