Selasa, April 16, 2024
Matematika

Pembahasan soal uji kompetensi Geometri Analitik (kurikulum merdeka)

Soal Geometri analitik nomor 1

Diketahui lingkaran L ≡ (x – 4)2 – (y – 4)2 = 16 memotong garis y = 4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut.

Pembahasan

Cari cara titik potong yaitu dengan subtitusi y = 4 ke lingkaran L, hasilnya sebagai berikut.

(x – 4)2 – (y – 4)2 = 16
(x – 4)2 – (4 – 4)2 = 16
(x – 4)2 = 16
x – 4 = ±  16  
x – 4 = ±4
x = 4 + 4 = 8
x = -4 + 4 = 0

Jadi titik potong lingkaran adalah (0, 4) dan (8, 4).

Cara cari persamaan garis singgung menggunakan persamaan xx1 + yy1 = r2.

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (0, 4) sebagai berikut.
xx1 + yy1 = r2
x . 0 + 4y = 16
y = 16/4
y = 4

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (8, 4) sebagai berikut.
xx1 + yy1 = r2
x . 8 + y . 4 = 16
2x + y = 4


Soal Geometri analitik nomor 2

Tentukan persamaan garis sejajar dengan x + 2y – 5 = 0 yang membagi lingkaran L ≡ x2 + y2 + 10x – 6y – 2 = 0 menjadi dua bagian yang sama.

Pembahasan

Berdasarkan persamaan lingkaran L diketahui:
A = 10
B = -6
C = -2

Cari titik pusat lingkaran dengan cara di bawah ini.

A = -2a
a = A/-2 = 10/-2 = -5
B = -2b
b = B/-2 = -6/-2 = 3
titik pusat = (-5, 3).

Cari gradien dengan cara di bawah ini.

x + 2y – 5 = 0
2y = -x + 5
y = – 1/2 x + 5/2
m = – 1/2

Cara cari persamaan garis yang sejajar x + 2y – 5 = 0 sebagai berikut.

(y – y1) = m (x – x1)
(y – 3) = – 1/2 (x – (-5))
y – 3 = – 1/2 x – 5/2
2y – 6 = – x – 5
2y + x – 6 + 5 = 0 atau 2y + x – 1 = 0


Soal Geometri analitik nomor 3

Jika kuasa titik M(a, 4) = 0 terhadap lingkaran L ≡ x2 + y2 – 25 = 0, tentukanlah nilai dari a.

Pembahasan

KM(a,4) = a2 + 42 – 25 = 0
a2 + 16 – 25 = 0
a2 – 9 = 0
a2 = 9
a = ±  9  
a = ± 3

Jadi nilai a adalah a = 3 atau a = -3.


Soal Geometri analitik nomor 4

Jika A dan B berada pada lingkaran L ≡ x2 + y2 – 6x – 2y + k = 0, maka garis singgung lingkaran yang melalui titik A dan B berpotongan di titik C (8, 1). Jika luas persegi panjang yang melalui titik A, B, dan C serta pusat lingkaran adalah 12, tentukanlah nilai dari k!.

Pembahasan

Cari titik pusat lingkaran.

A = -2a
a = A/-2 = -6/-2 = 3
B = -2b
b = B/-2 = -2/-2 = 1
titik pusat = (3, 1).

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pembahasan soal geometri analitik nomor 4

Berdasarkan gambar luas layang-layang PABC = 2 × luas segitiga PCA.

Luas layang-layang PABC = 2 × 1/2 × PA × AC
12 = PA × AC = r × AC
AC = 12/r … (pers. 1)

Kemudian tentukan jari-jari (r).

r2 = (-A/2)2 + (-B/2)2 – C
r2 = (-(-6)/2))2 + (-(-2)/2))2 – k
r2 = 32 + 12 – k = 10 – k … (pers. 2)

Pada segitiga PAC berlaku rumus pythagoras sebagai berikut.

AC2 = PC2 – AP2 = 52 – r2 = 25 – r2 … (pers. 3)

Subtitusi AC = 12/r (pers. 1) ke persamaan di atas (pers. 3) dan diperoleh hasil sebagai berikut.

(12/r)2 = 25 – r2
144 = (25 – r2)r2
144 = 25r2 – r4
r4 – 25r2 + 144 = 0
(r2 – 16) (r2 – 9) = 0 atau r2 = 16 dan r2 = 9

Subtitusi r2 = 16 dan r2 = 9 ke pers. 2 dan hasilnya sebagai berikut.

r2 = 10 – k
(r2 = 16) maka 16 = 10 – k atau k = 10 – 16 = -6
(r2 = 9) maka k = 10 – 0 = 1

Jadi nilai k yang memenuhi adalah k = -6 atau k = 1.


Soal Geometri analitik nomor 5

Tunjukkan bahwa puncak kedua parabola x2 – 2x – 5y + 11 = 0 dan y2 + 5x – 9 adalah sama, dan tentukan titik perpotongan kedua parabola.

Pembahasan

Persamaan parabola yang pertama diubah bentuknya menjadi sebagai berikut.

x2 – 2x – 5y + 11 = 0
(x – 1)2 + 1 – 5y + 11 = 0
(x – 1)2 = 5y – 10
(x – 1)2 = 5(y – 2)

Titik puncak persamaan parabola yang pertama = (m, n) = (1, 2).

Persamaan parabola kedua diubah bentuknya menjadi sebagai berikut.

y2 + 5x – 9 = 0
(y – 0)2 = -5x + 9
(y – 0)2 = -5 (x – 9/5)

Titik puncak parabola kedua = (m, n) = (9/5, 0).

Kedua parabola memiliki titik puncak yang berbeda. Mungkin ada kesalahan dalam penulisan soal.


Soal Geometri analitik nomor 6

Diketahui dua fokus elips terletak pada sumbu X. Sumbu mayor dan sumbu minor secara berturut-turut adalah 10 dan 8. Tentukan persamaan elips yang menyinggung sumbu Y.

Pembahasan

Sumbu mayor = 2a
10 = 2a
a = 10 : 2 = 5
Sumbu minor = 8
2b = 8
b = 8 : 2 = 4

Kemudian tentukan titik pusat (m,n)

Karena kedua titik fokus pada sumbu x maka n = 0. Kemudian cari m, dengan cara sebagai berikut.

Titik singgung terhadap sumbu Y = O(0,0)
Titik singgung O(0,0) dan n = 0 subtitusi ke persamaan elips.
(x – m)2
a2
+
(y – n)2
b2
= 1
(0 – m)2
52
+
(0 – 0)2
42
= 1
m2
25
= 1
m2 = 25
m = 5 atau m = -5

Jadi persamaan elips sebagai berikut.

(x – m)2
a2
+
(y – n)2
b2
= 1
(x – 5)2
25
+
y2
16
= 1
atau
(x + 5)2
25
+
y2
16
= 1

Soal Geometri analitik nomor 7

Hiperbola dengan persamaan xy = 1 merupakan salah satu bentuk hiperbola paling sederhana dan berbentuk siku-siku. Hiperbola xy = 1, dapat diperoleh dengan memutar parabola sejauh 45o di sekitar titik asal. Selidikilah sifat-sifat hiperbola xy = 1.

Pembahasan

Persamaan parabola xy = 1 dapat dinyatakan dengan x = \frac {1} {y} maka sifat-sifatnya sebagai berikut.

  • Titik fokus pada (2,2) dan (-2, -2).
  • Titik puncak pada (1,1) dan (-1, -1).
  • Pusat hiperbola pada titik O(0,0).
  • sumbu utama x = y.
  • Persamaan direktrik y = -x – 2 dan y = -x + 2
  • persamaan asimtot adalah y = 0 dan x = 0.

You cannot copy content of this page