Postingan ini menyajikan pembahasan soal seleksi KSN-K / OSK pelajaran matematika SMA/MA tahun 2020 kemampuan dasar. KSN-K atau kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten Kota sebelumnya bernama OSK atau Olimpiade Sains Kabupaten. Soal KSN-K kemampuan dasar ini terdiri dari 10 soal dengan waktu pengerjaan selama 120 menit atau 2 jam.
Soal 1 – Misalkan
f(x) =Nilai dari f(20) adalah…
Pembahasan
Ganti x = 20 sehingga didapat hasil sebagai berikut:
f(20) =f(20) =
f(20) = 513 + 153 – 646 = 666 – 646 = 20
Soal 2 – Diberikan sebuah kubus besar berukuran 3 x 3 x 3 yang seluruh permukaannya di cat dengan warna merah. Kubus tersebut dipotong menjadi 27 kubus satuan (kubus berukuran 1 x 1 x 1). Diketahui bahwa Amir mengambil satu kubus kecil yang salah satu sisinya berwarna merah. Peluang kubus kecil yang diambil Amir memiliki tepat dua sisi berwarna merah adalah…
Pembahasan
Kubus berwarna merah yang dipotong menjadi 27 bagian digambarkan dibawah ini.
Berdasarkan gambar diatas, jumlah kubus yang salah dua sisinya berwarna merah ada 12 (tiap bagian atas, tengah dan bawah ada 4). Sedangkan kubus yang tidak berwarna sama sekali ada 1 (kubus paling tengah). Dengan demikian jumlah kubus yang sisinya berwarna merah 27 – 1 = 26. Jadi pada soal ini diketahui:
- n(K) = 12
- n(S) = 26
Peluang kubus kecil yang diambil Amir memiliki tepat dua sisi berwarna merah:
P(K) =P(K) =
Soal 3 – Diberikan trapesium siku-siku seperti gambar dibawah ini.
Jika AB = 1, BD = √ 7 dan AD = CD, maka luas trapesium tersebut adalah…
Pembahasan
cos a =
cos a =
Cos a =
8 – AD2 = 2 AD
AD2 + 2 AD – 8 = 0
(AD + 4) (AD – 2) = 0
AD = -4 (TM) atau AD = 2
Berdasarkan segitiga BCD diperoleh:
BC2 + CD2 = ( √ 7 )
BC2 + 22 = 7
BC2 = 7 – 4 = 3
BC = √ 3
Luas trapesium = 1/2 . (AB + CD) . BC
Luas trapesium = 1/2 . (1 + 2) . √ 3 = 3/2 √ 3
Soal 4 – Misalkan x, y bilangan asli sehingga 2x + 3y = 2020. Nilai terbesar yang mungkin dari 3x + 2y adalah…
Pembahasan
y = 1 maka 2x + 3 . 1 = 2020 atau 2x = 2020 – 3 = 2017
x = 2017/2 = 1.008,5 (bukan bilangan asli)
y = 2 maka 2x + 3 . 2 = 2020 atau 2x = 2020 – 6 = 2014
x = 2014/2 = 1.007 (bilangan asli)
Jadi nilai terbesar yang mungkin dari 3x + 2y =
3 . 1007 + 2 . 2 = 3.021 + 4 = 3.025.
Soal 5 – Suatu barisan bilangan real a1, a2, a3, … memenuhi a1 = 1, a2 = 3/5 dan
Bilangan a2020 dapat ditulis sebagai p/q dengan p dan q bilangan asli relatif prima. Nilai p + q adalah…
Pembahasan
a1 = 1 = 3/3, a2 = 3/5a3 =
Dengan cara yang sama a4 =
an =
a2020 =
p = 1 dan q = 1.347
p + q = 1 + 1.347 = 1.348
Soal 6 – Diketahui S adalah himpunan semua titik (x,y) pada bidang kartesius, dengan x, y bilangan bulat, 0 ≤ x ≤ 20 dan 0 ≤ y ≤ 19. Banyaknya cara memilih dua titik berbeda di S sehingga titik tengahnya juga ada di S adalah…
Catatan: Dua titik (a,b) dan Q(c,d) berbeda jika a ≠ c atau b ≠ d. Pasangan titik (P,Q) dan (Q,P) dianggap sama.
Pembahasan
Untuk rentang 0 ≤ x ≤ 20 diperoleh:
titik x ganjil = 10 titik dan x genap = 11 titik
Untuk rentang 0 ≤ y ≤ 19 diperoleh;
titik y ganjil = 10 titik dan y genap = 10 titik.
Banyak cara memilih dua titik berbeda di S sehingga titik tengahnya juga ada di S sebagai berikut:
Banyak cara =Banyak cara =
Banyak cara =
Soal 7 – Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3, CA = 4 dan AB = 5. Titik P terletak pada AB dan Q terletak AC sehingga AP = AQ dan garis PQ membagi segitiga ABC menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Panjang segmen PQ adalah…
Pembahasan
AP = AQ dan luas APQ = luas BCPQ
Luas APQ = 1/2 . Luas ABC dan sin A = BC/AB = 3/5
1/2 . AP . AQ sin A = 1/2 . 1/2 . 3 . 4
AP2 . 3/5 = 6 atau AP2 = 30/3 = 10
AP = √ 10
PQ2 = AP2 + AQ2 – 2 . AP . AQ cos A
PQ2 = 10 + 10 – 2 . √ 10 . √ 10 . 4/5
PQ2 = 20 – 16 = 4
PQ = √ 4 = 2
Soal 8 – Himpunan penyelesian dari persamaan
adalah interval (a, b). Nilai b – a adalah…
Pembahasan
Syarat nilai mutlak sebagai berikut:
Untuk Syarat x < -1 diperoleh:
(-x -1) + 19/(-x + 1) = (20 – x2)/(1 – x) (dikali -x + 1)
(-x – 1) (-x + 1) + 19 = 20 – x2
x2 – 1 + 19 = 20 – x2
x2 + x2 = 20 + 1 – 19
2x2 = 2
x = ± √ 1 = ±1 (tidak memenuhi)
Untuk Syarat -1 < x < 1 diperoleh:
(x + 1) + 19/(-x + 1) = (20 – x2)/(1 – x) (dikali -x + 1)
(x + 1) (-x +1) + 19 = 20 – x2
-x2 + 1 + 19 = 20 – x2
-x2 + x2 + 20 = 20
20 = 20 (Memenuhi)
Jadi a = -1 dan b = 1 sehingga nilai b – a = 1 – (-1) = 2.
Soal 9 – Misalkan n ≥ 2 bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli a, b dengan a + b = n berlaku a2 + b2 merupakan bilangan prima. Hasil penjumlahan semua bilangan asli n semacam itu adalah…
Pembahasan
| a | b | a + b | a2 + b2 |
| 1 | 1 | 1 + 1 = 2 | 2 (bil. prima) |
| 1 | 2 | 1 + 2 = 3 | 5 (bil. prima) |
| 1 | 4 | 1 + 4 = 5 | 17 (bil. prima) |
Jadi jumlah semua bilangan asli semacam itu = 2 + 3 + 5 = 10.
Soal 10 – Suatu komite terdiri dari beberapa anggota hendak menghadiri 40 rapat. Diketahui bahwa setiap rapat dihadiri tepat 10 anggota komite dan setiap dua anggota menghadiri rapat bersama paling banyak satu kali. Banyaknya anggota komite terkecil yang mungkin adalah…
Pembahasan
Soal ini jawabannya 61.