);

Contoh soal integral tak tentu dan penyelesaiannya + pembahasan

Pada postingan ini kita membahas contoh soal integral tak tentu dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Integral tak tentu tidak memiliki batas atas maupun batas bawah. Lalu apa itu integral tak tentu ?. Integral tak tentu suatu fungsi f(x) ditulis dengan ∫ f(x) dx, yaitu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi F sedemikian sehingga dipenuhi \frac {dF(x)} {dx} = f(x), untuk setiap x pada domainnya. Secara umum rumus integral tak tentu sebagai berikut.

Integral tak tentu
Rumus integral tak tentu

Keterangan:

  • ∫ f(x) dx = notasi integral tak tentu
  • f(x) = fungsi integran
  • c = konstanta

Teorema yang berlaku pada integral tak tentu sebagai berikut.

  1. JIka n bilangan rasional dan n ≠ 0 maka ∫ xn dx = \frac {1} {n + 1} xn + 1 + c, dimana c adalah konstanta.
  2. Jika f fungsi yang diintegralkan dan k suatu konstanta maka ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx.
  3. Jika f dan g fungsi-fungsi yang diintegralkan maka ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.
  4. Jika f dan g fungsi-fungsi yang diintegralkan maka ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx.

Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan 10 contoh soal integral tak tentu dan penyelesaiannya + pembahasan.

Contoh soal integral tak tentu

Contoh soal 1

Hasil integral tak tentu ∫ 5 dx = …

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui a = 5 dan n = 0 maka hasil integralnya sebagai berikut:

∫ 5 dx =
5
0+1
x0+1 + c
∫ 5 dx = 5x + c

Contoh soal 2

Hasil integral tak tentu ∫ 6x dx = …

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui a = 6 dan n = 1 maka hasil integral tak tentu sebagai berikut.

∫ 6x dx = ∫ 6x1
=
6
1 + 1
x1 + 1 + c = 3x2 + c

Contoh soal 3

Hasil integral tak tentu ∫ x2 dx =…

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal nomor 3 diketahui a = 1 dan n = 2 sehingga diperoleh hasil integralnya sebagai berikut.

∫ x2 dx =
1
2 + 1
x2 + 1 + c
∫ x2 =
1
3
x3 + c

Contoh soal 4

Hasil integral tak tentu ∫ 123 – 6x2 + x) dx = …

Penyelesaian soal / pembahasan

Bentuk integral tak tentu soal nomor 4 diuraikan menjadi seperti dibawah ini.

∫ (12x3 – 6x2 + x) dx = ∫ 12x3 dx – ∫ 6x2 dx + ∫ x dx
=
12
3 + 1
x3 + 1
6
2 + 1
x2 + 1 +
1
1 + 1
x1 + 1 + c
= 3x4 – 2x3 + 1/2 x2 + c

Contoh soal 5

Tentukan hasil integral tak tentu dibawah ini.

2
3x  x  
dx

Penyelesaian soal / pembahasan

Ubah terlebih dahulu penyebut menjadi bentuk pangkat:

  • 3x  x   = 3x x1/2 = 3x1 + 1/2 = 3x3/2.
  • Jadi integral soal diatas menjadi ∫ 2
    3
    x-3/2 dx.

Dengan demikian diperoleh a = 2/3 dan n = -3/2 maka hasil integral:

2
3
x-3/2 dx =
2/3
-2/3 + 1
x-2/3 + 1 + c
=
2/3
-1/2
x-1/2 + c
= –
4
3 x  
+ c

Contoh soal 6

Carilah hasil integral tak tentu ∫ 4x3 – x2  x   – 8) dx.

Penyelesaian soal / pembahasan

∫ (4x3 – x2  x   – 8) dx = ∫ 4x3 dx – ∫ x2  x   dx – ∫ 8 dx
∫ 4x3 dx =
4
3 + 1
x3 + 1 + c = x4 + c
∫ x2  x   dx = ∫ x2 x1/2
= ∫ x5/2 dx =
1
5/2 + 1
x5/2 + 1 + c =
2
7
x7/2 + c
∫ 8 dx = 8x + c
Jadi ∫ (4x3 – x2  x   – 8)dx = x4
2
7
x7/2 – 8x + c

Contoh soal 7

Diketahui \frac {f(x)} {dx} = x2 + 2. Tentukan fungsi f(x) jika f(3) = 10.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menentukan fungsi f(x), gunakan rumus integral tak tentu sehingga diperoleh:

  • f(x) = ∫ (x2 + 2) dx = 1/3 x3 + 2x + c.

Selanjutnya kita menentukan nilai c jika f(3) = 10, dengan cara subtitusi 3 ke hasil integral diatas:

  • f(3) = 1/3 x3 + 2x + c.
  • f(3) = 1/3 33 + 2.3 + c = 10.
  • 9 + 6 + c = 10
  • c = 10 – 9 – 6 = – 5.
  • Jadi f(x) = 1/3 x3 + 2x – 5.

Contoh soal 8

Diketahui \frac {f(x)} {dx} = 3x. Jika f(4) = 30, maka f(2) = …..

Penyelesaian / pembahasan

Kita tentukan terlebih dahulu f(x) yaitu f(x) = ∫ 3x dx = 3/2 x2 + c.

Kemudian tentukan nilai c dengan cara:

  • f(4) = 3/2 x2 + c = 30.
  • f(4) = 3/2 42 + c = 30.
  • c = 30 – 24 = 6.

Dengan demikian f(2) = 3/2 . 22 + 6 = 12.


Contoh soal 9

Sebuah mobil bergerak pada lintasan lurus dengan percepatan a, kecepatan awal mobil v0 dan jarak yang ditempuh S0. Jika diketahui a = 4t + 1, v0 = 12 dan S0 = 5 maka tentukan nilai t pada saat v = 0.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, tentukan terlebih dahulu persaman v yaitu v = ∫ a dt = ∫ (2t – 8) dt = t2 – 8t + c.

Pada saat t = 0 maka v = v0 = 12 sehingga 12 = 2 . 02 + 8 . 0 + c atau c = 12. Dengan demikian persamaan v menjadi v = t2 – 8t + 12.

Nilai t pada saat v = 0 adalah 0 = t2 – 8t + 12. Persamaan ini kita faktorkan menghasilkan (t – 2) (t – 6). Jadi nilai t saat v = 0 adalah t = 2 dan t = 6.


Contoh soal 10

Jika f(x) = ∫ (x2 – 2x + 5) dx dan f(0) = 5 maka f(x) = …

Penyelesaian soal / pembahasan

Hasil integral f(x) = ∫ (x2 – 2x + 5) dx = \frac {1} {3} x3 – x2 + 5x + c. Kemudian tentukan nilai c dengan cara subtitusi f(0) = 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

  • \frac {1} {3} x3 – x2 + 5x + c
  • \frac {1} {3} 03 – 02 + 5 . 0 + c = 5
  • c = 5

Jadi f(x) \frac {1} {3} x3 – x2 + 5x + 5.

You cannot copy content of this page