Contoh soal program linear & penyelesaiannya + pembahasan

Postingan ini membahas contoh soal program linear dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Program linear merupakan pemecahan masalah dengan menggunakan pertidaksamaan linear. Program linear sebagai bagian dari matematika yang banyak digunakan dalam bidang ekonomi, pertanian dan perdagangan. Dengan menggunakan program linear, seseorang dapat menghitung keuntungan maksimum atau biaya minimum. Hal itu sangat bergantung pada pembatas atau kendala yaitu sumber daya yang tersedia.

Lalu bagaimana cara menyelesaikan soal program linear ?. Secara umum, langkah-langkah memecahkan masalah program linear sebagai berikut:

1. Ubah persoalan kedalam bentuk model matematika. Model matematika akan membuat persoalan menjadi lebih sederhana sehingga mudah dipahami.
2. Membuat sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan berdasarkan model matematika.
3. Membuat grafik dan menentukan titik-titik potong pada grafik
4. Hitung nilai fungsi tujuan berdasarkan titik-titik potong yang ditentukan.
5. Berdasarkan nilai fungsi tujuan ini maka program linear telah diselesaikan.

Contoh soal program linear

Contoh soal 1

Seorang petani akan menanam jagung dan singkong dengan lahan yang dibutuhkan tidak lebih dari 50 petak. Petani tersebut membutuhkan pupuk sebanyak 30 kg per petak untuk memupuk jagung dan 60 kg perpetak untuk memupuk singkong. Jumlah pupuk yang tersedia adalah 2.400 kg. Jika keuntungan dari lahan jagung Rp 4.000.000,00 per petak dan lahan singkong Rp 6.000.000,00 per petak dalam sekali tanam, keuntungan maksimum petani tersebut adalah …
A. Rp 460 juta
B. Rp 360 juta
C. Rp 325 juta
D. Rp 260 juta
E. Rp 160 juta

Penyelesaian soal + pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita ubah terlebih dahulu persoalan petani menjadi model matematika dibawah ini.

Jadi model matematika soal diatas sebagai berikut:

1. x + y ≤ 50
2. 30x + 60y ≤ 2400 atau x + 2y ≤ 80
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Yang ditanyakan adalah keuntungan maksimum petani dengan rumus f(x,y) = 4.000.000x + 6.000.000 y.

Selanjutnya kita tentukan grafik pertidaksamaan diatas.

x + y ≤ 50 diperoleh:

• x = 0 maka y = 50 atau (0 , 50)
• y = 0 maka x = 50 atau (50 , 0)

x + 2y ≤ 80 diperoleh:

• x = 0 maka y = 40 atau (0 , 40)
• y = 0 maka x = 80 atau (80 , 0)

Untuk menentukan keuntungan petani kita subtitusikan titik (0 , 50), (40 , 0) dan A(20 , 30) ke persamaan f(x,y) = 4.000.000x + 6.000.000 seperti tabel dibawah ini:

Dari ketiga hasil diatas yang terbesar adalah 260.000.000. Jadi keuntungan maksimum petani adalah Rp 260.000.000 atau 260 juta rupiah. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 2

Seorang penjahit mempunyai persediaan 4 m kain wol dan 5 m kain satin. Dari kain tersebut akan dibuat 2 model baju. Baju pesta 1 memerlukan 2 m kain wol dan 1 kain satin, sedangkan baju pesta II memerlukan 1 m kain wol dan 2 m kain satin. Baju pesta I dijual dengan harga Rp. 600.000,00 dan baju pesta II dijual dengan harga Rp 500.000,00. Jika baju pesta tersebut terjual, hasil penjualan maksimum penjahit tersebut adalah…
A. Rp 1.800.000,00
B. Rp 1.700.000,00
C. Rp 1.600.000,00
D. Rp 1.250.000,00
E. Rp 1.200.000,00

Penyelesaian soal + pembahasan

Kita ubah persoalan diatas menjadi model matematika seperti dibawah ini.

Jadi model matematika soal diatas sebagai berikut:

• 2x + y ≤ 4
• x + 2y ≤ 5
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Yang ditanya adalah hasil penjualan maksimum dengan rumus f(x,y) = 600.000x + 500.000y.

2x + y = 4 diperoleh:

• x = 0 maka y = 4 atau (0,4)
• y = 0 maka x = 2 atau (2,0)

x + 2y = 5 diperoleh:

• x = 0 maka y = 2,5 (0,2,5)
• y = 0 maka x = 5 atau (5,0)

Selanjutnya kita subtitusikan titik (2,0), (0 , 2,5) dan (1 , 2) ke rumus penjualan maksimum 600.000x + 500.000y dan diperoleh:

Nilai yang terbesar adalah 1.600.000. Jadi hasil penjualan maksimum penjahit adalah Rp 1.600.000. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 3

Seorang petani memiliki lahan pertanian seluas 8 hektar. Ia akan menanam lahan tersebut dengan tanaman padi dan jagung. Dari satu hektar tanaman padi dapat dipanen 3 ton padi, sedangkan dari satu hektar jagung dapat dipanen 4 ton jagung. Petani itu ingin memperoleh hasil panen tidak kurang dari 30 ton. Jika biaya menanam 1 hektar tanaman padi adalah Rp 500.000,00 dan biaya menanam satu hektar tanaman jagung Rp 600.000,00 maka biaya minimum yang harus dikeluarkan petani adalah…
A. Rp 4.800.000,00
B. Rp 4.700.000,00
C. Rp 4.600.000,00
D. Rp 4.500.000,00
E. Rp 4.400.000,00

Penyelesaian soal + pembahasan

Model matematika soal nomor 3 adalah x + y ≤ 8 ; 3x + 4y ≥ 30 ; x, y ≥ 0 dengan fungsi sasaran f(x, y) = 500.000x + 600.000y. Selanjutnya menentukan himpunan penyelesaian dengan cara seperti gambar dibawah ini.

Titik himpunan penyelesaian adalah (0 ; 7,5), (0 ; 8) dan (2 ; 6). Kemudian subtitusi ke fungsi sasaran f(x,y) = 500.000x + 600.000y sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

• f(0 ; 7,5) = 500.000 . 0 + 600.000 . 7,5 = 4.500.000
• f(0 , 8) = 500.000 . 0 + 600.000 . 8 = 4.800.000
• f(2 , 6) = 500.000 . 2 + 600.000 . 6 = 1.000.000 + 3.600.000 = 4.600.000

Karena yang ditanya biaya minimum berarti nilai terkecil yaitu Rp 4.500.000,00. Jawaban D.

Contoh soal 4

Untuk membuat satu bungkus kue kering A, Ani memerlukan 2 kg tepung terigu dan 1 kg mentega. Sedangkan untuk membuat 1 bungkus kue kering B diperlukan 1 kg tepung terigu dan 2 kg mentega. Ani hanya membeli 12 kg tepung terigu dan 18 kg mentega. Jika harga 1 bungkus kue kering A Rp 60.000,00 dan harga 1 bungkus kue kering B Rp 90.000,00, pendapatan maksimum yang diperoleh Ani adalah…
A. Rp 360.000,00
B. Rp 480.000,00
C. Rp 540.000,00
D. Rp 620.000,00
E. Rp 840.000,00

Penyelesaian soal + pembahasan

Model matematika soal nomor 4 adalah 2x + y ≤ 12 ; x + 2y ≤ 18 ; x,y ≥ 0 dengan fungsi sasaran f(x,y) = 60.000x + 90.000y. Selanjutnya tentukan himpunan penyelesaian seperti ditunjukkan gambar dibawah ini.

Titik HP adalah (0, 9) ; (6, 0) dan (2, 8) disubtitusi ke f(x,y) = 60.000x + 90.000y sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

• f(0, 9) = 60.000 . 0 + 90.000 . 9 = 810.000
• f(6, 0) = 60.000 . 6 + 90.000 . 0 = 360.000
• f(2, 8) = 60.000 . 2 + 90.000 . 8 = 120.000 + 720.000 = Rp 840.000,00

Jadi soal ini jawabannya E.

Contoh soal 5

Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian permasalahan program linear.

Nilai maksimum dari z = 40x + 30y adalah…
A. 15.000
B. 16.000
C. 18.000
D. 20.000
E. 25.000

Penyelesaian soal / pembahasan

Subtitusi titik (0, 500) ; (400, 0) dan (300, 200) ke fungsi sasaran z = 40x + 30 y sehingga hasilnya sebagai berikut:

• z(0, 500) = 40 . 0 + 30 . 500 = 15.000
• z(400, 0) = 40 . 400 + 30 . 0 = 16.000
• z(300, 200) = 40 . 300 + 30 . 200 = 18.000

Nilai yang terbesar adalah 18.000 sehingga nilai maksimumnya 18.000. Jawaban C.

Contoh soal 6

Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian permasalahan program linear.

Hitunglah nilai minimum dari fungsi z = 2x + 5y adalah …
A. 6
B. 7
C. 10
D. 15
E. 29

Penyelesaian soal / pembahasan

Masukkan titik HP yaitu A(0,2) ; B(1, 1), C(3, 0) ; D(5, 1) dan E(2, 5) ke fungsi sasaran z = 2x + 5y seperti tabel dibawah ini.

• z(0, 2) = 2 . 0 + 5 . 2 = 10
• z(1, 1) = 2 . 1 + 5 . 1 = 7
• z(3, 0) = 2 . 3 + 5 . 0 = 6
• z(5 , 1) = 2 . 5 + 5 . 1 = 15
• z(2, 5) = 2 . 2 + 5 . 5 = 29

Nilai yang terkecil adalah 6 sehingga nilai minimum sebesar 6. Jawaban A.

Contoh soal 7

Seorang pedagang kue mempunyai persediaan 9 kg tepung dan 6 kg mentega. Pedagang memproduksi kue jenis isi pisang dan isi keju. Untuk membuat kue jenis isi pisang memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan jenis isi keju memerlukan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Apabila harga sebuah kue jenis pisang Rp 6.000,00 dan isi keju Rp 4.000,00, keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah…
A. Rp 120.000,00
B. Rp 240.000,00
C. Rp 420.000,00
D Rp 480.000,00
E. Rp 500.000,00

Pembahasan

9 kg = 9.000 gram dan 6 kg = 6.000 gram.

Model matematika:

• 150 x + 75y ≤ 9000 atau 2x + y ≤ 120
• 50x + 75y ≤ 6000 atau 2x + 3y ≤ 240
• x ≥ 0
• y ≥ 0
• Fungsi sasaran 6000x + 4000y

Dari persamaan 2x + y = 120 diperoleh:

• x = 0 maka y = 120 atau (0, 120)
• y = 0 maka x = 60 atau (60, 0)

Dari persamaan 2x + 3y = 240 diperoleh:

• x = 0 maka y = 80 atau (0, 80)
• y = 0 maka x = 120 atau (120, 0)

Subtitusi titik (0, 60), (80, 0) dan (30, 60) ke fungsi sasaran 6.000x + 4.000y dan hasilnya sebagai berikut.

• f(0, 60) = 6.000 . 0 + 4.000 . 60 = 240.000
• f(80, 0) = 6.000 . 80 + 4.000 . 0 = 480.000
• f(30, 60) = 6.000 . 30 + 4.000 . 60 = 180.000 + 240.000 = 420.000

Jadi keuntungan maksimum pedagang sebesar Rp 480.000,00. Jawaban D.

Selanjutnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal program linear lainnya tapi tanpa pembahasan atau sebagai latihan soal.

Soal 1 – Luas area parkir adalah 176 m². Luas rata-rata mobil sedan dan bus masing-masing 4 m² dan 20 m². Area parkir tersebut hanya mampu menampung 20 kendaraan, dengan biaya parkir untuk mobil dan bus masing-masing Rp 1.000,00 per jam dan Rp 2.000,00 per jam. Jika dalam waktu 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi atau datang, hasil maksimum area parkir tersebut adalah…
A. Rp 20.000,00
B. Rp 26.000,00
C. Rp 30.000,00
D. Rp 34.000,00
E. Rp 44.000,00

Soal 2 – Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu jenis A sekurang-kurangnya 100 pasang dan jenis sepatu B sekurang-kurangnya 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan yang diperoleh per sepasang sepatu A adalah Rp 10.000,00 dan Rp 5.000,00 untuk jenis A. Jika banyak sepatu jenis A tidak boleh melebihi 150 pasang, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh toko tersebut adalah…
A. Rp 2.750.000,00
B. Rp 3.000.000,00
C. Rp 3.250.000,00
D. Rp 3.500.000,00
E. Rp 3.750.000,00

Soal 3 – Seorang pedagang arloji membeli arloji merek A seharga Rp 60.000,00 dan merek B seharga Rp 240.000,00. Tas pedagang tersebut hanya mampu memuat tidak lebih dari 30 arloji. Modal pedagang tersebut Rp 3.600.000,00. Jika keuntungan arloji merek A Rp 25.000,00 dan keuntungan merek B Rp 75.000,00, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang itu adalah…
A. Rp 750.000,00
B. Rp 1.125.000,00
C. Rp 1.250.000,00
D. Rp 2.250.000,00
E. Rp 2.275.000,00

Soal 4 – seorang anak diharuskan mengonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp 400,00 per biji dan tablet kedua Rp 800,00 per biji, pengeluaran minimum untuk membeli tablet perhari adalah…
A. Rp 1.200,00
B. Rp 1.400,00
C. Rp 1.600,00
D. Rp 1.800,00
E. Rp 2.000,00