Contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya

Postingan ini membahas contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Persamaan lingkaran merupakan salah satu pelajaran matematika SMA kelas 11 semester pertama. Rumus persamaan lingkaran sebagai berikut:

Bentuk umum persamaan lingkaran:
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
Persamaan lingkaran berpusat di O(0,0):
x2 + y2 = r2
Persamaan lingkaran berpusat di (a,b):
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
jari-jari r = √

a2 + b2 – c

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaian dibawah ini.

Contoh soal 1

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 6x – 2y – 65 = 0.

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

• 2a = 6 atau a = 6/2 = 3
• 2b = -2 atau b = -2/2 = -1
• c = – 65

Pusat lingkaran = (-a , -b) = (-3 , – (-1)) = (-3 , 1)
Jari-jari r = √

a2 + b2 – c

Jari-jari = √

32 + (-1)2 – (-65)

jari-jari r = √ 75   = 5 √ 3  

---

Contoh soal 2

Tentukan persamaan lingkaran dititik pusat (4 , 3) dan melalui titik (0 , 0).

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

• a = 4
• b = 3
• x = 0
• y = 0

Tentukan terlebih dahulu r2 lingkaran dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:
(x – a)2 + (x – b)2 = r2
(0 – 4)2 + (0 – 3)2 = r2
16 + 9 = r2
r2 = 25
Jadi persamaan lingkaran sebagai berikut:
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 25

---

Contoh soal 3

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-6 , 3) dan menyinggung sumbu x.

Penyelesaian soal / pembahasan

Lingkaran yang menyinggung sumbu x berarti jari-jarinya sepanjang titik pusat y atau r = 3. Jadi persamaan lingkaran (x – (-6))2 + (y – 3)2 = 32 atau (x + 6)2 + (y – 3)2 = 9.

---

Contoh soal 4

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2 , 5) dan menyinggung sumbu y.

Penyelesaian soal / pembahasan

Lingkaran yang menyinggung sumbu y berarti jari-jarinya sepanjang titik pusat x atau r = 2. Jadi persamaan lingkaran (x + 2)2 + (y – 5)2 = 22 atau (x + 2)2 + (y – 5)2 = 4.

---

Contoh soal 5

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-4 , 3) dan menyinggung garis 3x – 2y – 2 = 0.

Penyelesaian soal / pembahasan

Hitung jari-jari lingkaran dengan rumus sebagai berikut:
r =

persamaan garis

√

a2 + b2

r =

3 . (-4) – 2 . 3 – 2

√

(-4)2 + (3)2

=

-20

5

= |-4| = 4
Jadi persamaan lingkaran sebagai berikut:
(x + 4)2 + (y – 3)2 = 42 atau (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16

---

Contoh soal 6 (UN 2017)

Persamaan lingkaran dengan pusat dititik (2 , -3) dan menyinggung garis x = 5 adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0
B. x2 + y2 -4x + 6y + 9 = 0
C. x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
D. x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Jari -jari lingkaran pada soal ini r = 5 – 2 = 3
Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 32
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9
x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0

Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 7 (UN 2018)

Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (-2 , 5) dan melalui titik (3 , -7) adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 10y – 140 = 0
B. x2 + y2 – 4x – 10y – 140 = 0
C. x2 + y2 + 4x – 10y – 198 = 0
D. x2 + y2 + 10x – 4y – 140 = 0
E. x2 + y2 + 10x – 4y – 198 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

Hitung r2 dengan rumus dibawah ini:
r2 = (3 – (-2))2 + (-7 – 5)2 = 25 + 144 = 169
Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-2)2 + (x – 5)2 = 169
(x + 2)2 + (y – 5)2 = 169
x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25 – 169 = 0
x2 + y2 + 4x + 10y – 140 = 0

Soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 9 (UN 2018)

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(3 , 2) dan melalui titik (7 , 5) adalah…
A. x2 + y2 – 4y – 54 = 0
B. x2 + y2 – 6x – 32 = 0
C. x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
D. x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
E. x2 + y2 + 6x – 4y – 54 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

r2 = (7 – 3)2 + (5 – 2)2 = 16 + 9 = 25
Persamaan lingkaran:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0
x2 + y2 -6x – 4y – 12 = 0

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 10 (UN 2016)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y – 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x -y + 4 = 0 adalah …
A. 2x – y = 14
B. 2x – y = 10
C. 2x – y = 5
D. 2x – y = -5
E. 2x – y = -6

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

• 2a = -2 atau a = -1
• 2b = 6 atau b = 3
• c = – 10

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

Gradien garis 2x – y = 4 adalah m = 2. Karena sejajar maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan m = 2 dengan persamaan sebagai berikut:
y + b = m (x + a) ± √

(1 + m2) (a2 + b2 – c)

y + 3 = 2 (x – 1) ± √

(1 + 22) (-12 + 32 – (-10))

y + 3 = 2x – 2 ± √

100

y + 3 = 2x -2 + 10 = 2x + 8 atau 2x – y = -5
y + 3 = 2x -2 – 10 = 2x – 12 atau 2x – y = 15

Jadi salah satu persamaan garis singgung lingkaran adalah 2x – y = -5. Jawaban soal ini adalah D.

---

Contoh soal 11 (UN 2018)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 10x + 2y + 1 = 0 yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y – 8 = 0 adalah…
A. 5y – 12x – 130 = 0
B. 5y – 12x + 130 = 0
C. 5y + 12x + 130 = 0
D. 5x – 12y + 130 = 0
E. 5x + 12y + 130 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

• 2a = – 10 atau a = -5
• 2b = 2 atau b = 1
• c = 1

Gradien dari garis 5x + 12y – 8 = 0 adalah m2 = –

5

12

. Karena tegak lurus maka berlaku persamaan m1 . m2 = – 1 atau m1 = –

1

m2

= –

1

– 5/12

=

12

5

y + b = m (x + a) ± √

(1 + m2) (a2 + b2 – c)

y + 1 = 12/5 (x – 5) ± √

(1 + (12/5)2) (-52 + 12 – 1

y + 1 = 12/5 x – 12 ± 13
y + 1 = 12/5x – 12 + 13 = 12/5x + 1 (x 5)
5y + 5 = 12x + 5 atau 5y – 12x = 0
y + 1 = 12/5 x – 12 – 13 = 12/5 x – 25 (x 5)
5y + 5 = 12x – 125 atau 5y – 12x + 130 = 0

Soal ini jawabannya D.