);

Contoh soal perkalian matriks dan penyelesaiannya + jawaban

Postingan ini membahas contoh soal perkalian matriks dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Dua matriks dapat dilakukan perkalian jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua. Perkalian matriks terdiri dari 2 macam yaitu perkalian skalar dan perkalian antar matriks. Kedua macam perkalian tersebut mempunyai sifat masing-masing.

Jika A dan B adalah matriks berordo m x n sedangkan k1 dan k2 adalah skalar, maka berlaku sifat perkalian skalar sebagai berikut:

  1. k1 (A + B) = k1A + k1B
  2. (k1 + k2) A = k1A + k2A
  3. k1(k2A) = (k1k2) A

Jika A, B dan C adalah matriks berordo m x n dan k adalah skalar maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut:

  1. A x B ≠ B x A
  2. k x (A x B) = (k x A) x B
  3. A x (B x C) = (A x B) x C
  4. A x (B + C) = (A x B) + (A x C)
  5. (A + B) x C = (A x C) + (B x C)
  6. Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas yaitu I sehingga AI = IA = A
  7. Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O

Secara umum cara perkalian matriks sebagai berikut:

cara perkalian matriks
Cara perkalian matriks

Untuk lebih jelasnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal perkalian matriks dan penyelesaiannya.

Contoh soal 1

Diketahui A = \begin {bmatrix}3 & 1 \\ 2 & 0 \end {bmatrix}, B = \begin {bmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \end {bmatrix} dan C = \begin {bmatrix}-1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end {bmatrix}. Tentukan hasil perkalian berikut:

  1. A x B
  2. B x C

Penyelesaian soal / pembahasan

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

Perkalian matriks A x B
Hasil perkalian matriks A x B

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

Perkalian matriks B x C
Hasil perkaliang matriks B x C

Contoh soal 2

Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut:

  1. \begin {bmatrix}2 & a \\ b & 1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}4 \\ -1\end {bmatrix} = \begin {bmatrix}6 \\ -5 \end {bmatrix}
  2. \begin {bmatrix}a & b \\ 2 & 3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}4 & 6 \\ 11 & 16 \end {bmatrix}

Penyelesaian soal / pembahasan

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

Hasil perkalian matriks soal 1

Berdasarkan gambar diatas diperoleh:

  • 8 – a = 6 atau a = 8 – 6 = 2
  • 4b – 1 = -5 atau 4b = -5 + 1 = -4 sehingga b = -4/4 = -1

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

Jawaban perkalian matriks
Jawaban soal 2

a = 4 – 3b = 4 – 3 . 1 = 1. Jadi a = b = 1.

Contoh soal 3 (UN SMK 2015)

Diketahui matriks A = \begin {bmatrix}3 & 1 \\ -2 & -5 \end {bmatrix} dan B = \begin {bmatrix}4 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & 3 \end {bmatrix}. Hasil dari A x B adalah …
A. \begin {bmatrix}14 & -2 & -3 \\ -18 & 2 & -11 \end {bmatrix}
B. \begin {bmatrix}14 & 2 & -11 \\ -18 & -3 & -3 \end {bmatrix}
C. \begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ 18 & 2 & -11 \end {bmatrix}
D. \begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ -18 & 2 & -11 \end {bmatrix}
E. \begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ -18 & 2 & -4 \end {bmatrix}

Penyelesaian soal / pembahasan

Hasil perkalian matriks contoh soal 1 sebagai berikut:

  • A x B = \begin {bmatrix}3 . 4 + 1 . 2 & 3 . (- 1) + 1 . 0 & 3 . (-2) + 1 . 3 \\ (-2) . 4 + (-5) . 2 & (-2) . (-1) + -5 . 0 & (-2) . (-2) + -5 . 3 \end {bmatrix}
  • A x B = \begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ -18 & 2 & -4 \end {bmatrix}

Jawaban soal ini E.


Contoh soal 4 (UN 2015 SMK)

Diketahui matriks M = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & -2 \end {bmatrix} dan N = \begin {bmatrix}-1 & 2 & 3 \\ -6 & 1 & -4 \end {bmatrix}. Hasil dari M x N adalah…
A. \begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ 7 & 8 & 23 \end {bmatrix}
B. \begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ -17 & 8 & 23 \end {bmatrix}
C. \begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ -17 & 8 & -7 \end {bmatrix}
D. \begin {bmatrix}7 & 3 \\ 14 & 8 \end {bmatrix}
E. \begin {bmatrix}7 & 14 \\ 3 & 8 \end {bmatrix}

Penyelesaian soal / pembahasan

Hasil perkalian matriks contoh soal 2 sebagai berikut:

  • M x N = \begin {bmatrix}1 . (-1) + 2 . (-6) & 1 . 2 + 2 . 1 & 1 . 3 + 2 . (-4) \\ 3 . (-1) + 4 . (-6) & 3 . 2 + 4 . 1 & 3 . 3 + 4 . (-4) \\ 5 . (-1) + (-2) . (-6) & 5 . 2 + (-2) . 1 & 5 . 3 + (-2) . (-4) \end {bmatrix}
  • M x N = \begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ 7 & 8 & 23 \end {bmatrix}

Soal ini jawabannya A.


Contoh soal 5 (UN 2016 IPA)

Diketahui persamaan matriks:
3 \begin {bmatrix}-4 & 2 \\ 10 & 3 \end {bmatrix} + 2 \begin {bmatrix}1 & -4 \\ -3 & -1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}1 & x \\ 2 & 5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}2 & y \\ 4 & 1 \end {bmatrix}
Nilai dari 2y – 3x = …
A. -9
B. -7
C. -4
D. 8
E. 11

Penyelesaian soal / pembahasan

Hasil operasi matriks ruas kiri sebagai berikut:

  • 3 \begin {bmatrix}-4 & 2 \\ 10 & 3 \end {bmatrix} + 2 \begin {bmatrix}1 & -4 \\ -3 & -1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}-12 & 6 \\ 30 & 9 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}2 & -8 \\ -6 & -2 \end {bmatrix}
  • = \begin {bmatrix}-12 + 2 & 6 + -8 \\ 30 + (-6) & 9 + (-2) \end {bmatrix}
  • = \begin {bmatrix}-10 & -2 \\ 24 & 7 \end {bmatrix}

Hasil perkalian matriks yang berada diruas kanan sebagai berikut:

  • \begin {bmatrix}1 & x \\ 2 & 5 \end {bmatrix}   \begin {bmatrix}2 & y \\ 4 & 1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}1 . 2 + 4x & 1 . y + x \\ 2 . 2 + 5 . 4 & 2y + 5 . 1 \end {bmatrix}
  • = \begin {bmatrix}4x + 2 & y + x \\ 22 & 2y + 5 \end {bmatrix}

Digabung hasilnya

\begin {bmatrix}-10 & -2 \\ 24 & 7 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}4x + 2 & y + x \\ 22 & 2y + 5 \end {bmatrix}

Berdasarkan hasil diatas kita peroleh:

  • 4x + 2 = -10 atau 4x = -12 sehingga x = -12/4 = -3
  • 2y + 5 = 7 atau 2y = 2 sehingga y = 2/2 = 1

Dengan demikian nilai dari 2y – 2x = 2 . 1 – 2 (-3) = 2 + 6 = 8. Jadi jawaban soal nomor 3 adalah D.


Contoh soal 6 (UN 2019)

Diketahui matriks A = \begin {bmatrix}a & b \\ 4 & 7 \end {bmatrix}, B = \begin {bmatrix}3 & 7 \\ 1 & 6 \end {bmatrix} dan C = \begin {bmatrix}11 & 44 \\ 19 & 70 \end {bmatrix}. Jika AB = C, nilai a + b = …
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
E. 10

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita selesaikan dahulu perkalian matriks A x B yaitu:

  • A x B = \begin {bmatrix}a . 3 + b . 1 & a . 7 + b . 6 \\ 4 . 3 + 7 . 1 & 4 . 7 & 7 . 6 \end {bmatrix}
  • A x B = \begin {bmatrix}3a + b & 7a + 6b \\ 19 & 70 \end {bmatrix}

Jadi hubungan AB = C sebagai berikut:

\begin {bmatrix}3a + b & 7a + 6b \\ 19 & 70 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}11 & 44 \\ 19 & 70 \end {bmatrix}

Berdasarkan hubungan diatas kita peroleh:

  • 3a + b = 11 (persamaan 1)
  • 7a + 6b = 44 (persamaan 2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh:

Perkalian Matriks
Eliminasi persamaan 1 dan persamaan 2 perkalian matriks

Untuk menghitung nilai b caranya adalah kita subtitusi a = 2 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:

  • 3a + b = 11
  • 3 . 2 + b = 11
  • 6 + b = 11
  • b = 11 – 6 = 5

Jadi nilai a + b = 2 + 5 = 7. Jawaban soal 4 adalah D.


Contoh soal 7 (UN IPA 2017)

Nilai dari 2x – y dari persamaan matriks:
\begin {bmatrix}5 & 3x \\ y-1 & 2 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix}7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}0 & 3 \\ -1 & 1 \end {bmatrix}
adalah…
A. -7
B. -1
C. 1
D. 7
E. 8

Penyelesaian soal

Hasil operasi ruas kiri matriks:

  • \begin {bmatrix}5 & 3x \\ y-1 & 2 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix}7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}5-7 & 3x - (1-2y) \\ y-1-2x & 2-6 \end {bmatrix}
  • =\begin {bmatrix}-2 & 3x + 2y - 1 \\ -2x + y - 1 & -4 \end {bmatrix}

Hasil perkalian 2 matriks ruas kanan sebagai berikut:

  • \begin {bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}0 & 3 \\ -1 & 1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}6 . 0 + 2 . -1 & 6 . 3 + 2 . 1 \\ -4 . 0 + 8 . -1 & -4 . 3 & 8 . 1 \end {bmatrix}
  • =\begin {bmatrix}-2 & 20 \\ -8 & -4 \end {bmatrix}

Dengan demikian kita peroleh hubungan sebagai berikut:

\begin {bmatrix}-2 & 3x + 2y - 1 \\ -2x + y - 1 & -4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}-2 & 20 \\ -8 & -4 \end {bmatrix}

Berdasarkan hubungan tersebut kita peroleh:

  • 3x + 2y -1 = 20 atau 3x + 2y = 21 (persamaan 1)
  • -2x + y -1 = -8 atau -2x + y = -7 (persamaan 2)

Karena yang dicari adalah 2x – y maka persamaan 2 kita kali dengan (-) sehinga didapat:

  • -2x + y = -7 (x -)
  • 2x – y = 7

Jadi soal ini jawabannya D.

You cannot copy content of this page