Postingan ini membahas contoh soal nilai optimum fungsi objektif dan pembahasannya. Nilai optimum adalah nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi yang diberikan dalam suatu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Untuk memahami bagaimana cara menentukan nilai optimum fungsi objektif, perhatikan daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) sistem pertidaksamaan linear x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 dibawah ini.
Misalkan fungsi objektif f (x,y) = 3x + 4y, maka untuk menentukan nilai optimum subtitusikan titik-titik O (0,0); A (8,0); B (6,2) dan C (0,5) ke fungsi f(x,y) = 3x + 4y dan diperoleh data sebagai berikut:
| x | y | f(x,y) = 3x + 4y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 . 0 + 4 . 0 = 0 |
| 8 | 0 | 3 . 8 + 4 . 0 = 24 |
| 6 | 2 | 3 . 6 + 4 . 2 = 26 |
| 0 | 5 | 3 . 0 + 4 . 5 = 20 |
Berdasarkan tabel diatas diperoleh nilai minimum f(x,y) = 0 dan nilai maksimum f(x,y) = 26. Jadi nilai optimum fungsi objektif tersebut adalah 0 dan 26. Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal nilai optimum dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.
Nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y untuk daerah yang diarsir diatas adalah…
A. 0
B. 18
C. 8
D. 9
E. 8
Pembahasan
Berdasarkan grafik diatas diperoleh persamaan garis sebagai berikut:
- 4x + 3y ≤ 12 … (persamaan 1)
- 2x + 6y ≤ 12 atau x + 3y ≤ 6 (persamaan 2)
Cara menentukan persamaan garis diatas sebagai berikut:
Kemudian tentukan titik potong kedua garis dengan cara subtitusi persamaan 2 ke persamaan 1:
- x + 3y = 6 atau x = 6 – 3y
- 4x + 3y = 12
- 4 (6 – 3y) + 3y = 12
- 24 – 12y + 3y = 12
- -9y = 12 – 24 = -12
- y =
=
- x = 6 – 3y = 6 – 3 .
= 6 – 4 = 2
Titik potong daerah yang diarsir sebagai berikut (0,0) ; (0,2) ; (3,0) dan (2,
| x | y | f(x,y) = 3x + 2y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 . 0 + 2 . 0 = 0 |
| 0 | 2 | 3 . 0 + 2 . 2 = 4 |
| 3 | 0 | 3 . 3 + 2 . 0 = 9 |
| 2 | 4/3 | 3 . 2 + 2 . = 6 + 8/3 =  = 8 |
Nilai terbesar data diatas adalah 9. Jadi nilai maksimumnya 9. Soal ini jawabannya C.
Contoh soal 2
Nilai minimum fungsi f(x,y) = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≥ 30, x + 2y ≥ 24, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…
A. 192
B. 180
C. 142
D. 132
E. 72
Pembahasan
Buat titik koordinat persamaan 2x + y = 30 dan x + 2y = 24 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0.
| f(x,y) | 2x + y = 30 | x + 2y = 24 |
|---|---|---|
| x = 0 | 2 . 0 + y = 30 maka y = 30 | 0 + 2y = 24 maka y = 12 |
| y = 0 | 2x + 0 = 30 maka x = 15 | x + 2 . 0 = 24 maka x = 24 |
| Titik koordinat | (0 , 30) dan (15 , 0) | (0 , 12) dan (24 , 0) |
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan diatas ditunjukkan gambar dibawah ini:
Berdasarkan gambar tersebut, HP diliputi 3 titik yaitu (12, 6), (0, 30) dan (24, 0). Titik-titik tersebut disubtitusi ke fungsi objektif f(x,y) = 8x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:
| x | y | f(x,y) = 8x + 6y |
|---|---|---|
| 12 | 6 | 8 . 12 + 6 . 6 = 132 |
| 0 | 30 | 8 . 0 + 6 . 30 = 180 |
| 24 | 0 | 8 . 24 + 6 . 0 = 192 |
Nilai minimumnya = 180 karena nilai terkecil. Jadi soal ini jawabannya B.
Contoh soal 3
Nilai maksimum fungsi objektif z = 4x + 5y dengan syarat x, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 7 adalah…
A. 34
B. 33
C. 32
D. 31
E. 30
Pembahasan
Tentukan titik koordinat persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 7 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh data sebagai berikut:
- x + 2y = 10 titik koordinatnya (0, 5) dan (10, 0)
- x + y = 7 titik koordinatnya (0, 7) dan (7 , 0)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
Titik koordinat himpunan penyelesaian adalah (0, 0) ; (0 , 5) ; (7 , 0) dan (4 , 3) lalu subtitusikan ke z = 4x + 5y sehingga diperoleh data sebagai berikut:
| x | y | z = 4x + 5y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 5 | 25 |
| 7 | 0 | 28 |
| 4 | 3 | 16 + 15 = 31 |
Jadi nilai maksimumnya = 31 karena yang terbesar. Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 4
Nilai maksimum z = 3x + 6y yang memenuhi 4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…
A. 180
B. 150
C. 120
D. 60
E. 50
Pembahasan
Buat titik koordinat ketiga persamaan diatas dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh hasil:
- 4x + y = 20 titik koordinatnya (0, 20) dan (5, 0)
- x + y = 20 titik koordinatnya (0, 20) dan (20, 0)
- x + y = 10 titik koordinatnya (0, 10) dan (10, 0)
Himpunan penyelesaian ketiga pertidaksamaan sebagai berikut.
Titik koordinat himpunan penyelesaian yaitu (0 , 20) ; (10 , 0) ; (20 , 0) dan (10/3 ; 20/3). Subtitusikan titik titik tersebut ke fungsi objektif z = 3x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:
| x | y | z = 3x + 6y |
|---|---|---|
| 0 | 20 | 120 |
| 10 | 0 | 30 |
| 20 | 0 | 60 |
| 10/3 | 20/3 | 50 |
Nilai maksimum berdasarkan data diatas = 120. Soal ini jawabannya C.
Selanjutnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal nilai optimum lainnya tetapi tanpa pembahasan, sebagai latihan soal.
Soal 1 – Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 20.000x + 10.000y yang memenuhi x + 2y ≥ 10, 3x + y ≥ 15, x,y ≥ 0 adalah …
A. 0
B. 30.000
C. 140.000
D. 110.000
E. 150.000
Soal 2 – Nilai maksimum fungsi objektif z = 8x + 6y, dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48. x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…
A. 132
B. 134
C. 136
D. 144
E. 164
Soal 3 – Nilai maksimum fungsi tujuan z = 8x + y dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48, x ≤ 0, y ≥ 0 adalah…
A. 120
B. 108
C. 102
D. 64
E. 12
Soal 4 – Nilai maksimum fungsi z = 400x + 300y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x + 2y ≤ 30, 2x + 4y ≤ 28, y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…
A. 3.000
B. 3.100
C. 3.200
D. 3.300
E. 3.400
Soal 5 – Jika A = x + y dan B = 5x + y, nilai maksimum A dan B yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 2y ≤ 12, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 berturut-turut adalah…
A. 8 dan 30
B. 6 dan 6
C. 6 dan 24
D. 30 dan 6
E. 8 dan 24