Selasa, April 16, 2024
Matematika

Contoh soal kedudukan dua lingkaran dan pembahasan

Artikel ini membahas contoh soal kedudukan dua lingkaran dan pembahasannya. Ada 3 jenis kedudukan dua lingkaran yaitu saling bersinggungan, saling berpotongan dan tidak berpotongan & tidak bersinggungan. Kedudukan dua lingkaran dapat diketahui dari nilai diskriminan (D), yaitu sebagai berikut.

  • Jika D = 0 maka kedua lingkaran saling bersinggungan.
  • Jika D > 0 maka kedua lingkaran saling berpotongan.
  • Jika D < 0 maka kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan.

Contoh soal kedudukan dua lingkaran

Contoh soal kedudukan dua lingkaran nomor 1

Tentukan titik potong dua lingkaran berikut.
a. L1 ≡ x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 2x – 8y + 9 = 0
b. L1 ≡ x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 2x – 4y + 4 = 0

Pembahasan

  • Jawaban a

Kurangkan L1 dengan L2.

L1 – L2 = x2 + y2 – 2x – 4y + 1 – (x2 + y2 – 2x – 8y + 9) = 0
4y – 8 = 0
y = 8 : 4
y = 2

Subtitusi y = 2 ke persamaan L1 dan hasilnya sebagai berikut.

L1 = x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0
= x2 + 22 – 2x – 4 . 2 + 1 = 0
= x2 + 4 – 2x – 8 + 1 = 0
= x2 – 2x – 3 = 0
(x + 1) (x – 3) = 0
x1 = -1 dan x2 = 3.

Jadi titik potong kedua lingkaran = (-1, 2) dan (3, 2).

  • Jawaban b

Kurangkan L1 dengan L2 dan hasilnya sebagai berikut.

L1 – L2 = x2 + y2 – 2x – 4y + 1 – ( x2 + y2 – 2x – 4y + 4) = 0
= -3 = 0

Karena hasilnya -3 = 0 maka lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan. Jadi titik potongnya tidak ada.


Contoh soal kedudukan dua lingkaran nomor 2

Tunjukkan bahwa dua lingkaran berikut saling bersinggungan. Kemudian tentukan titik singgungnya.
a. L1 ≡ x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 8x – 12y + 43 = 0
b. L1 ≡ x2 + y2 + 6x – 4y – 23 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 12x + 20y + 55 = 0

Pembahasan

  • Jawaban a

Kurangkan L1 dengan L2.

L1 – L2 = x2 + y2 – 2x – 4y + 1 – (x2 + y2 – 8x – 12y + 43) = 0
6x + 8y – 42 = 0 (: 2)
3x + 4y – 21 = 0
x = – 4/3 y + 7

Subtitusi x = – 4/3 y + 7 ke persamaan L1.

L1 = x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0
(- 4/3 y + 7)2 + y2 – 2 (- 4/3 y + 7) – 4y + 1 = 0
16/9 y2 – 56/3 y + 49 + y2 + 8/3 y – 14 – 4y + 1 = 0
25/9 y2 – 20y + 36 = 0 (x 9)
25y2 – 180y + 324 = 0
a = 25
b = -180
c = 324

Syarat dua lingkaran bersinggungan adalah D = 0.

D = b2 – 4ac
D = (-180)2 – 4 . 5 . 324
D = 32.400 – 32.400 = 0
Karena D = 0 maka L1 dan L2 bersinggungan.

Cara menentukan titik singgung sebagai berikut.

25y2 – 180y + 324 = 0
(5y – 18)(5y – 18)
y = 18/5 = 3,6

Subtitusi y = 3,6 ke persamaan L1.

L1 = x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0
x2 + (3,6)2 – 2x – 4 (3,6) + 1 = 0
x2 – 2x + 12,96 – 14,4 + 1 = 0
x2 – 2x – 0,44 = 0
(x – 2,2) (x + 0,2 ) = 0
x1 = 2,2 dan x2 = -0,2

Jadi titik singgungnya = (2,2 ; 3,6).

  • Jawaban b

L1 – L2 = x2 + y2 + 6x – 4y – 23 – (x2 + y2 – 12x + 20y + 55) = 0
= 18x – 24y – 78 = 0 (: 6)
= 3x – 4y – 13 = 0
x = 4/3 y + 13/3

Subtitusi x = 4/3 y + 13/3 ke persamaan L1.

L1 = x2 + y2 + 6x – 4y – 23 = 0
= (4/3 y + 13/3)2 + y2 + 6 (4/3 y + 13/3) – 4y – 23 = 0
= 16/9 y2 + 104/9 y + 169/9 + y2 + 8y + 26 – 4y – 23 = 0
= 25/9 y2 + 140/9 y + 196/9 = 0
25y2 + 140y + 196 = 0
a = 25
b = 140
c = 196

Syarat dua lingkaran bersinggungan adalah D = 0.

D = b2 – 4ac
D = (140)2 – 4 . 25 . 196
D = 19.600 – 19.600 = 0
Karena D = 0 maka L1 dan L2 bersinggungan.

Cara cari titik singgung sebagai berikut

25y2 + 140y + 196 = 0
(5y + 14)(5y + 14) = 0
y = – 14/5 = – 2,8.

Subtitusi y = -2,8 ke L1.

L1 = x2 + y2 + 6x – 4y – 23 = 0
x2 + (-2,8)2 + 6x – 4 (-2,8) – 23 = 0
x2 + 7,84 + 6x + 11,2 – 23 = 0
x2 + 6x – 3,96 = 0
(x + 6,6) (x – 0,6)
x = -6,6 dan x = 0,6

Jadi titik singgungnya = (0,6 ; -2,8).


Contoh soal kedudukan dua lingkaran nomor 3

Tunjukkan bahwa dua lingkaran berikut ini tidak berpotongan dan tidak bersinggungan.
a. L1 ≡ x2 + y2 + 4y + 3 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0
b. L1 ≡ x2 + y2 – 6x + 4y + 12 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0

Pembahasan

  • Jawaban a

L1 – L2 = x2 + y2 + 4y + 3 – (x2 + y2 – 4x – 2y + 1) = 0
4x + 6y + 2 = 0
x = – 6/4 y – 2/4
x = – 1,5 y – 0,5

Subtitusi x = -1,5y – 0,5 ke L1.

(-1,5y – 0,5)2 + y2 + 4y + 3 = 0
2,25y2 + 1,5y + 0,25 + y2 + 4y + 3 = 0
3,25y2 + 5,5y + 3,25 = 0
a = 3,25
b = 5,5
c = 3,25

Hitung diskriminan D sebagai berikut.

D = b2 – 4ac
D = 5,52 – 4 . 3,25 . 3,25
D = 30,25 – 42,25 = -12 < 0

Karena D < 0 maka lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan.

  • Jawaban b

L1 – L2 = x2 + y2 – 6x + 4y + 12 – (x2 + y2 + 2x + 8y – 8) = 0
= -8x – 4y + 20 = 0
x = – 4/8 y + 20/8
x = – 0,5y + 2,5

Subtitusi x = -0,5y + 2,5 ke L1.

L1 = x2 + y2 – 6x + 4y + 12 = 0
(-0,5y + 2,5)2 + y2 – 6 (-0,5y + 2,5) + 4y + 12 = 0
0,25y2 – 2,5y + 6,25 + y2 + 3y – 15 + 4y + 12 = 0
1,25y2 + 4,5y + 3,25 = 0
a = 1,25
b = 4,5
c = 3,25

Hitung diskriminan.

D = b2 – 4ac
D = 4,52 – 4 . 1,25 . 3,25
D = 20,25 – 16,25 = 4

D = 4 > 0 artinya kedua lingkaran berpotongan.

You cannot copy content of this page