Contoh soal kecepatan relativitas dan pembahasannya

Postingan ini membahas contoh soal kecepatan relativitas / relativistik dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Misalkan terdapat pesawat luar angkasa bergerak dengan kecepatan v₁ terhadap bumi (kerangka acuan diam). Kemudian pesawat tersebut menembakkan sebuah peluru kendali searah gerak pesawat dengan kecepatan v₂₁ relatif terhadap pesawat (kerangka acuan bergerak). Seseorang yang diam di bumi mengukur kecepatan peluru kendali relatif terhadap tanah sebesar v₂. Menurut Einstein, kecepatan yang terukur oleh orang tadi memenuhi persamaan sebagai berikut.

v2 =

v1 + v21

1 +

v1 . v21

c2

Jika pesawat menembakkan peluru kendali dengan arah berlawanan dengan gerak pesawat, rumusnya menjadi sebagai berikut.

v21 =

v2 – v1

1 –

v1 . v2

c2

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya dibawah ini.

Contoh soal 1

Seorang pengamat di stasiun ruang angkasa mengamati adanya dua pesawat antariksa A dan B yang datang menuju stasiun tersebut dari arah yang berlawanan dengan laju vA = vB = 3/4 c (c adalah cepat rambat cahaya). Kelajuan pesawat A menurut pilot pesawat B adalah…
A. 9/16 c
B. 8/9 c
C. 24/25 c
D. 4/3 c
E. 3/2 c

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menjawab soal ini dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

→ vAB =

vA + vB

1 +

vA . vB

c2

→ vAB =

3/4 c + 3/4 c

1 +

3/4 c . 3/4 c

c2

→ vAB =

6/4 c

1 +

9/16 c2

c2

→ vAB =

6/4 c

1 + 9/16

=

6/4 c

15/16

→ vAB =

6 . 16 c

25 . 4

=

24

25

c

Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 2

Seorang pengamat di stasiun ruang angkasa mengamati adanya dua pesawat antariksa A dan B yang datang menuju stasiun tersebut dari arah yang berlawanan dengan laju vA = 4/5 c dan vB = 5/6 c (c adalah cepat rambat cahaya. Kelajuan pesawat B menurut pilot A adalah…
A. 11/9 c
B. 49/50 c
C. 24/25 c
D. 9/11 c
E. 2/3 c

Penyelesaian soal / pembahasan

→ vBA =

vB + vA

1 +

vB . vA

c2

→ vBA =

5/6 c + 4/5 c

1 +

5/6 c . 4/5 c

c2

→ vBA =

49/30 c

1 +

4/6 c2

c2

→ vBA =

49/30 c

1 + 4/6

=

49/30 c

10/6

→ vBA =

6 . 49 c

10 . 30

=

49

50

c

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 3

Dua benda bergerak dengan kecepatan masing-masing 1/2 c dan 1/4 c arah berlawanan. Bila c = kecepatan cahaya, maka kecepatan benda pertama terhadap benda kedua sebesar …
A. 0,125 c
B. 0,250 c
C. 0,500 c
D. 0,666 c
E. 0,750 c

Penyelesaian soal / pembahasan

→ v12 =

v1 + v2

1 +

v1 . v2

c2

→ v12 =

1/2 c + 1/4 c

1 +

1/2 c . 1/4 c

c2

→ v12 =

3/4 c

1 +

1/8 c2

c2

→ v12 =

3/4 c

1 + 1/8

=

3/4 c

9/8

→ v12 =

3 . 8 c

9 . 4

=

2

3

c = 0,666 c

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 4

Sebuah partikel yang bergerak dengan kelajuan 0,3 c terhadap kerangka acuan laboratorium memancarkan sebuah elektron searah dengan kecepatan 0,3 c relatif terhadap partikel. Laju elektron tadi menurut kerangka acuan laboratorium paling dekat nilainya dengan …
A. 0,32 c
B. 0,55 c
C. 0,66 c
D. 0,76 c
E. 0,90 c

Penyelesaian soal / pembahasan

→ vel =

vEP + vPP

1 +

vEP . vPP

c2

→ vel =

0,3 c + 0,3 c

1 +

0,3 c . 0,3 c

c2

→ vel =

0,6 c

1 +

0,09 c2

c2

→ vel =

0,6 c

1 + 0,09

=

0,6 c

1,09

→ vel = 0,55

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 5

Dua roket saling mendekat dengan kelajuan sama relatif terhadap bumi. Jika kelajuan roket 1 terhadap roket lainnya adalah 0,8 c, maka kelajuan roket adalah…
A. 0,40 c
B, 0,50 c
C. 0,60 c
D. 0,70 c
E. 0,75 c

Penyelesaian soal / pembahasan

→ v12 =

v1 + v2

1 +

v1 . v2

c2

→ v12 =

v + v

1 +

v . v

c2

→ 0,8 c (1 +

v2

c2

) = 2v
→ 0,8 c +

0,8 v2

c

= 2v
→

0,8 v2

c

= 2v – 0,8 c
→ 0,8 v2 = 2v c – 0,8 c2
→ 0,8 v2 – 2v c + 0,8 c2 = 0
→ a = 0,8, b = -2 dan c = 0,8
v1,2 =

-b ± √ b2– 4 . a . c 

2 . a

v1,2 =

-(-2) ± √ (-2)2– 4 . 0,8 . 0,8 

2 . 0,8

v1,2 =

2 ± √ 4–2,56 

1,6

=

2 ± √ 1,44 

1,6

v1,2 =

2 ± 1,2

1,6

v1 =

2 + 1,2

1,6

= 2 (Tidak Mungkin)
v2 =

2 – 1,2

1,6

= 0,5

Jadi kelajuan roket adalah 0,50 c. Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 6

Menurut pengamat disebuah planet, ada dua pesawat antariksa yang mendekatinya dari dua arah yang berlawanan, masing-masing adalah pesawat A yang kecepatannya 0,5 c dan pesawat B yang kecepatannya 0,4 c. Menurut pilot pesawat A, besar kecepatan pesawat B adalah …
A. 0,1 c
B. 0,25 c
C. 0,4 c
D. 0,75 c
E. 0,9 c

Penyelesaian soal / pembahasan

→ vAB =

vA + vB

1 +

vA . vB

c2

→ vAB =

0,5 c + 0,4 c

1 +

0,5 c . 0,4 c

c2

→ vAB =

0,9 c

1 +

0,2 c2

c2

→ vAB =

0,9 c

1 + 0,2

=

0,9 c

1,2

= 0,75 c

Soal ini jawabannya D.