Contoh soal jenis transformasi geometri dan pembahasannya

Postingan ini membahas contoh soal jenis transformasi geometri yaitu translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi yang disertai pembahasannya. Translasi adalah pemindahan objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Refleksi atau pencerminan adalah memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin.

Jika titik P(x, y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan arah berlawanan jarum jam maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’):
x’ = x cos α – y sin α
y’ = x sin α + y cos α
Jika titik P(x, y) dirotasi terhadap titik pusat A(a,b) dengan arah berlawanan jarum jam maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’):
x’ – a = (x – a) cos α – (y – b) sin α
y’ – b = (x – a) sin α + (y – b) cos α
α menyatakan sudut rotasi.Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0,0) maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’):
x’ = k . x
y’ = k . y
Jika titik P(x, y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a, b) maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’):
x’ = a + k (x – a)
y’ = b + k (y – b)
k = faktor dilatasi

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal jenis transformasi geometri dan pembahasannya dibawah ini.

Contoh soal translasi

Contoh soal 1

Koordinat bayangan titik P(5 , -4) oleh translasi [

3

-1

] adalah P'(x’ , y’). Nilai x’ + y’ adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu x’ dan y’ dengan cara dibawah ini:

[

3

-1

] : P(5 , -4) → P'(3 + 5 ; -1 + -4) = P'(8 ; -5)

Berdasarkan hasil translasi diatas kita peroleh x’ = 8 dan y’ = -5. Jadi hasil dari x’ + y’ = 8 + (-5) = 3. Soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 2

Translasi [

m

n

] memetakan titik P(-6,7) ke titik P'(-3,11). Bayangan ΔABC dengan A(1,2), B(4,3), dan C(2,6) oleh translasi T memiliki luas…

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu nilai translasi m dan n dengan cara dibawah ini:

m = -3 – (-6) = 3
n = 11 – 7 = 4
Jadi translasinya adalah [

3

4

]

Selanjutnya kita translasikan titik A, B dan C dengan cara dibawah ini:

→ [

3

4

] : A(1,2) → A'(3 + 1 , 4 + 2) → A'(4 , 6)
→ [

3

4

] : B(4,3) → B'(3 + 4 , 4 + 3) → B'(7 , 7)
→ [

3

4

] : C(2,6) → C'(3 + 2 , 4 + 6) → C'(5 , 10)

Segitiga ΔA’B’C’ jika digambar sebagai berikut:

Maka luas segitiga A’B’C’ dihitung dengan cara dibawah ini:

• L ΔA’B’C’ = LA’XYZ – ΔA’XB’ – ΔB’YC’ – ΔA’ZC’
• L ΔA’B’C’ = (3 . 4) – (1/2 . 1 . 3) – (1/2 . 3 . 2) – 1/2 (1 . 4)
• L ΔA’B’C’ = 12 – 1,5 – 3 – 2 = 5,5.

Jadi soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal refleksi

Contoh soal 1

Titik P'(4 , 6) adalah bayangan dari P(6 , 4) yang dicerminkan terhadap …
A. titik O
B. garis y = -x
C. garis y = x
D. sumbu y
E. sumbu x

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini perhatikan gambar dibawah.

Berdasarkan gambar diatas terlihat titik P'(4,6) diperoleh jika titik P(6,4) dicerminkan terhadap garis y = x. Jadi soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 2

Titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis x = 2 menghasilkan bayangan A'(0 , 2) maka (a , b) adalah…
A. (0,-6)
B. (4,2)
C. (2,4)
D. (0,-4)
E. (2,-4)

Pembahasan/penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini perhatikan hasil refleksi titik A terhadap garis x = 2 dibawah ini.

Berdasarkan gambar diatas terlihat hasil refleksi titik A(0,2) adalah A'(4,2). Jadi nilai a = 4 dan b = 2. Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal rotasi

Contoh soal 1

Diketahui ΔABC dengan A(4,6), B(8,0), C(0,9) diputar sejauh π radian berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0), maka bayangannya adalah ΔA’B’C’. Koordinat titik berat ΔA’B’C’ adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu hasil rotasi titik A, B, dan C (π = 180°):

Hasil rotasi titik A (4,6):

• x’ = x cos 180 – y sin 180 = 4 . -1 – 6 . 0 = -4 – 0 = – 4.
• y’ = x sin 180 + y cos 180 = 4 . 0 + 6 . – 1 = – 6

Hasil rotasi titik B (8,0):

• x’ = x cos 180 – y sin 180 = 8 . -1 – 0 . 0 = – 8
• y’ = x sin 180 + y cos 180 = 8 . 0 + 0 . 1 = 0

Hasil rotasi titik C (0,9):

• x’ = x cos 180 – y sin 180 = 0 . – 1 – 9 . 0 = 0
• y’ = x sin 180 + y cos 180 = 0 . 0 + 9 . – 1 = – 9

Jadi hasil rotasi ΔABC adalah A'(-4 , -6) ; B'(-8 , 0); C'(0 , -9). Koordinat titik berat segitiga A’B’C’ dihitung dengan rumus sebagai berikut:

→ X =

x1 + x2 + x3

3

→ X =

-4 + (-8) + 0

3

=

-12

3

= -4
→ X =

x1 + x2 + x3

3

→ Y =

y1 + y2 + y3

3

→ Y =

-6 + 0 + (-9)

3

=

-15

3

= -5

Jadi titik berat segitiga A’B’C’ adalah (-4 ; -5) atau jawaban C.

---

Contoh soal dilatasi

Contoh soal 1

Diketahui titik P(12 , -5) dan A(-2 , 1). Bayangan titik P oleh dilatasi [A , 1/2] adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

• x = 12
• y = -5
• a = -2
• b = 1
• k = 1/2

Maka bayangan titik P oleh dilatasi [A, 1/2] sebagai berikut:

• x’ = a + k (x – a)
• x’ = -2 + 1/2 (12 – (-2)) = -2 + 7 = 5
• y’ = b + k(y – b)
• y’ = 1 + 1/2 (-5 – 1) = 1 + (-3) = -2

Jadi P'(5, -2) atau jawaban C.

---

Contoh soal 2

Diketahui titik P(6, -8) dan A(a , b). Bayangan titik P oleh dilatasi [A , 2] adalah P'(8, -6). Nilai a – b adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

• x = 6
• y = -8
• x’ = 8
• y’ = -6
• k = 2

Selanjutnya kita tentukan nilai a dan b dengan cara sebagai berikut:

• x’ = a + k (x – a)
• 8 = a + 2 (6 – a)
• 8 = a + 12 – 2a
• a = 12 – 8 = 4
• y’ = b + k (y – b)
• -6 = b + 2(-8 – b)
• -6 = b – 16 – 2b
• b = -16 + 6 = – 10

Jadi nilai a – b = 4 – (- 10) = 4 + 10 = 14. Soal ini jawabannya D.