Contoh soal invers matriks dan pembahasannya

Postingan ini membahas tentang contoh soal invers matriks dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Matriks A disebut invers matriks B, jika berlaku AB = BA = I, dengan I menyatakan matriks identitas. Invers dari matriks B ditulis dengan B^-1 sedangkan invers dari matriks A ditulis dengan A^-1. Lalu bagaimana cara menentukan invers sebuah matriks ?. Jawabannya ada di paragraf dibawah ini.

Jika matriks $A = \begin {bmatrix}a & b \\ c & d \end {bmatrix}$ dan a . d – b . c ≠ 0 maka invers matriks $A^{-1} = \frac {1}{a.d - bc} \begin {bmatrix}d & -b \\ -c & a \end {bmatrix}$ .

Kita perhatikan, a tukar posisi dengan d sedangkan posisi b dan c tetap tetapi tanda positif atau negatifnya berubah. Jadi misalkan b = -2 dan c = 3 maka ketika di invers hasilnya b = 2 dan c = -3. Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal invers matriks dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan invers matriks $B = \begin {bmatrix}-8 & -6 \\ 7 & 5 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui a = -8, b = -6, c = 7 dan d = 5. Dengan menggunakan rumus invers matriks diperoleh:

$B^{-1} = \frac {1}{a.d - b.c} \begin {bmatrix}d & -b \\ -c & a \end {bmatrix}$
$B^{-1} = \frac {1}{-8 . 5 - (-6 . 7)} \begin {bmatrix}5 & -(-6) \\ -7 & -8 \end {bmatrix}$
$B^{-1} = \frac {1}{-40 +42} \begin {bmatrix}5 & 6 \\-7 & -8 \end {bmatrix}$
$B^{-1} = \frac {1}{2} \begin {bmatrix}5 & 6 \\ -7 & -8 \end {bmatrix}$

Contoh soal 2

Tentukan invers matriks $P = \begin {bmatrix}-3 & -4 \\ 4 & 5 \end {bmatrix}$

Diketahui a = -3 , b = -4, c = 4 dan d = 5, maka invers matriks P sebagai berikut:

$P^{-1} = \frac {1}{-3 . 5 - (-4).4} \begin {bmatrix}5 & -(-4) \\-4 & -3 \end {bmatrix}$
$P^{-1} = \begin {bmatrix}5 & 4 \\ -4 & -3 \end {bmatrix}$

Contoh soal 3 (UN 2019 IPS)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}2 & 5 \\ 1 & 3 \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 1 \end {bmatrix}$ , $C = \begin {bmatrix}0 & 1 \\ 3 & 2 \end {bmatrix}$ dan D = 2A – B + C. Invers matriks D adalah …

Pembahasan / Penyelesaian soal

Hitung terlebih dahulu 2A:

$2A = 2 \begin {bmatrix}2 & 5 \\ 1 & 3 \end {bmatrix}$
$2A = \begin {bmatrix}4 & 10 \\ 2 & 6 \end {bmatrix}$

Selanjutnya tentukan 2A – B dengan cara dibawah ini:

$2A - B = \begin {bmatrix}4 & 10 \\ 2 & 6\end {bmatrix} - \begin {bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 1 \end {bmatrix}$
$2A - B = \begin {bmatrix}4-1 & 10-3 \\ 2-2 & 6-1 \end {bmatrix}$
$2A - B = \begin {bmatrix}3 & 7 \\ 0 & 5 \end {bmatrix}$

Hitung hasil dari D = (2A – B) + C:

$D = \begin {bmatrix}3 & 7 \\ 0 & 5 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}0 & 1 \\ 3 & 2 \end {bmatrix}$
$D = \begin {bmatrix}3+0 & 7+1 \\ 0+3 & 5+2 \end {bmatrix}$
$D = \begin {bmatrix}3 & 8 \\ 3 & 7 \end {bmatrix}$

Dari hasil D ini kita peroleh a = 3, b = 8, c = 3 dan d = 7, maka invers matriks D sebagai berikut:

$D^{-1} = \frac {1}{3.7 -8.3} \begin {bmatrix}7 & -8 \\-3 & 3 \end {bmatrix}$
$D^{-1} = \frac {1}{-3} \begin {bmatrix}7 & -8 \\ -3 & 3 \end {bmatrix}$
$D^{-1} = \frac {1}{3} \begin {bmatrix}-7 & 8 \\ 3 & -3 \end {bmatrix}$

Contoh soal 4 (UN 2018)

Diketahui dua matriks $M = \begin {bmatrix}2 & 0 \\ -1 & 3 \end {bmatrix}$ dan $S = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ 0 & -3 \end {bmatrix}$ . Invers dari MS adalah (MS)^-1 = …

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini hitung dahulu matriks MS dengan cara dibawah ini:

$MS = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ 0 & -3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}2 & 0 \\ -1 & 3 \end {bmatrix}$
$MS = \begin {bmatrix}1.2 + 2.-1 & 1.0 + 2.3 \\ 0.2 + -3.-1 & 0.0 + -3.3 \end {bmatrix}$
$MS = \begin {bmatrix}0 & 6 \\ 3 & -9 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hasil diatas kita peroleh a = 0, b = 6, c = 3 dan d = -9 maka invers dari MS:

$MS^{-1} = \frac {1}{0.-9 - 6.3} \begin {bmatrix}-9 & -6 \\ -3 & 0 \end {bmatrix}$
$MS^{-1} = \frac {1}{-18} \begin {bmatrix}-9 & -6 \\ -3 & 0 \end {bmatrix}$
$MS^{-1} = \begin {bmatrix}1/2 & 1/3 \\ 1/6 & 0 \end {bmatrix}$

Contoh soal 5 (UN 2018 IPS)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 5 \end {bmatrix}$ dan $B = \begin {bmatrix}2 & 3 \\ 3 & 5 \end {bmatrix}$ . Invers dari matriks AB adalah…

Pembahasan \ penyelesaian soal

Untuk menjawab soal 4 hitung terlebih dahulu matriks AB seperti nomor 3 diatas:

$AB = \begin {bmatrix}1.2 + 2.3 & 1.3 + 2.5 \\ 3.2 + 5.3 & 3.3 + 5.5 \end {bmatrix}$
$AB = \begin {bmatrix}8 & 13 \\ 21 & 34 \end {bmatrix}$

Dari hasil AB kita peroleh a = 8, b = 13, c = 21 dan d = 34 maka invers AB sebagai berikut:

$AB^{-1} = \frac {1}{8.34 - 13.21} \begin {bmatrix}34 & -13 \\ -21 & 8 \end {bmatrix}$
$AB^{-1} = \begin {bmatrix}-34 & 13 \\ 21 & -8 \end {bmatrix}$

Contoh soal 6 (Un 2018 IPS)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3 \end {bmatrix}$ dan $B = \begin {bmatrix}2 & 1 \\ -1 & -1 \end {bmatrix}$ . Invers dari matriks AB adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

$AB = \begin {bmatrix}1.2 + -2.-1 & 1.1 + -2.-1 \\ -1.2+3.-1 & -1.1+3.-1 \end {bmatrix}$
$AB = \begin {bmatrix}4 & 3 \\ -5 & -4 \end {bmatrix}$

Selanjutnya diperoleh a = 4, b = 3, c = -5 dan d = -4, maka invers AB sebagai berikut:

$AB^{-1} = \frac {1}{4.-4 - 3.-5} \begin {bmatrix}-4 & -3 \\ 5 & 4 \end {bmatrix}$
$AB^{-1} = \begin {bmatrix}-4 & -3 \\ 5 & 4 \end {bmatrix}$

Contoh soal 7 (UN 2018 IPA)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end {bmatrix}$ dan $B = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1 \end {bmatrix}$ . Matriks (AB)^-1 adalah…

Pembahasan \ penyelesaian soal

Hitung terlebih dahulu matriks AB seperti nomor 6 dan hasilnya sebagai berikut:

$AB = \begin {bmatrix}2.1+3.-1 & 2.2+3.1 \\ 1.1 + 2.-1 & 1.2 + 2.1 \end {bmatrix}$
$AB = \begin {bmatrix}-1 & 7 \\ -1 & 4 \end {bmatrix}$

Maka invers dari matriks AB adalah:

$AB^{-1} = \frac {1}{-1.4 - 7.-1} \begin {bmatrix}4 & -7 \\ 1 & -1 \end {bmatrix}$
$AB^{-1} = \frac {1}{3} \begin {bmatrix}4 & -7 \\ 1 & -1 \end {bmatrix}$

Contoh soal 8 (UN IPA 2018)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end {bmatrix}$ dan $B = \begin {bmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end {bmatrix}$ . Jika matriks C = AB, invers C adalah C^-1 = …

Pembahasan / penyelesaian soal

Matriks C = AB sebagai berikut:

$AB = \begin {bmatrix}-1.2 + 1.1 + 0.1 & -1.1 + 1.-1 + 0.1 \\ 1.2 + -1.1 + 1.1 & 1.1 + -1.-1 + 1.1 \end {bmatrix}$
$AB = \begin {bmatrix}-1 & -2 \\ 2 & 3 \end {bmatrix}$

Maka invers C sebagai berikut:

$C^{-1} = \frac {1}{-1.3 - -2.2} \begin {bmatrix}3 & 2 \\ -2 & -1 \end {bmatrix}$
$C^{-1} = \begin {bmatrix}3 & 2 \\ -2 & -1 \end {bmatrix}$

Contoh soal invers matriks dan pembahasannya

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan