Postingan ini membahas contoh soal limit fungsi yang disertai pembahasannya atau penyelesaiannya. Apa itu limit fungsi ?. Limit selalu dikaitkan dengan fungsi. Dengan konsep limit dapat ditentukan nilai yang didekati oleh fungsi apabila variabelnya diketahui mendekati atau menuju sebuah nilai. Dalam limit istilah mendekati atau menuju dilambangkan dengan “→”. Jadi limit fungsi adalah suatu nilai yang didekati oleh fungsi f(x) jika variabel x mendekati suatu nilai tertentu.
Apabila k menyatakan suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai limit x → a, a ∈ maka berlaku sifat-sifat limit fungsi yaitu sebagai berikut.
Dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi diatas kita dapat menyelesaikan berbagai macam soal limit fungsi. Secara ringkas, cara menyelesaikan soal limit fungsi sebagai berikut:
- Subtitusi langsung variabel x dengan nilai yang didekati. Kemudian hitung jumlahnya.
- Jika hasilnya 0/0 maka limit tersebut adalah limit tak tentu. Cara menyelesaikannya ubah bentuk f(x) dengan menggunakan metode pemfaktoran atau merasionalkan penyebut jika fungsi limit ada akarnya.
- Jika hasilnya ∞/∞ maka termasuk limit tak tentu tak hingga. Cara menyelesaikannya adalah dengan melakukan pembagian suku-suku pada pembilang dan penyebut dengan x berpangkat tertinggi. Kemudian tentukan nilainya.
Contoh soal limit fungsi
Contoh soal 1
lim
x → 2
2x = …
Pembahasan / penyelesaian soal
lim
x → 2
2x = 2 . 2 = 4
Contoh soal 2
lim
x → 4
(x2 – 2x + 4) = …
Pembahasan / penyelesaian soal
lim
x → 4
(x2 – 2x + 4) = 42 – 2 . 4 + 4 = 16 – 8 + 4 = 12
Contoh soal 3
lim
x → ∞
(2x – 20) = …
Pembahasan / penyelesaian soal
lim
x → ∞
(2x – 20) = 2 . ∞ – 20 = ∞
Contoh soal 4
lim
x → 5
√
x2 – 9
Pembahasan / penyelesaian soal
lim
x → 5
√
x2 – 9
52 – 9
16
Contoh soal 5
lim
x → 2
4x – 2
2x – 1
Pembahasan / penyelesaian soal
lim
x → 2
4x – 2
2x – 1
=
4 . 2 – 2
2 . 2 – 1
=
6
3
= 2
Contoh soal 6 (UN 2018 IPS)
lim
x → 3
2x2 – 18
x + 3
= …A. 4
B. 2
C. 0
D. -2
E. -4
Pembahasan / penyelesaian soal
lim
x → 3
2x2 – 18
x + 3
=
2 . 32 – 18
3 + 3
=
nol
6
= 0 (nol)
Soal ini jawabannya C.
Contoh soal 7 (UN 2018 IPS)
lim
x → 3
x2 – x – 6
x2 – x – 20
= …A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. ∞
Pembahasan / penyelesaian soal
32 – 3 – 6
32 – 3 – 20
=
nol
– 14
= 0 (nol)
Soal ini jawabannya C.
Contoh soal 8 (UN 2018 IPS)
lim
x → 3
x2 – 9
x2 – 2x – 3
= …A. -3/2
B. -2/3
C. 0
D. 2/3
E. 3/2
Pembahasan / penyelesaian soal
32 – 9
32 – 2 . 3 – 3
=
nol
nol
Karena hasilnya 0/0 maka termasuk limit bentuk tak tentu, cara menyelesaikannya adalah dengan melakukan pemfaktoran sebagai berikut:
lim
x → 3
x2 – 9
x2 – 2x – 3
=
lim
x → 3
(x – 3) (x + 3)
(x – 3) (x + 1)
lim
x → 3
x + 3
x + 1
=
3 + 3
3 + 1
=
6
4
=
3
2
Soal ini jawabannya E.
Contoh soal 9 (UN 2018 IPS)
lim
x → 4
x2 – 16
x2 – x – 12
= …A. 4
B. 2
C. 1
D. 5/7
E. 8/7
Pembahasan / penyelesaian soal
42 – 16
42 – 4 – 12
=
nol
nol
Karena hasilnya 0/0 maka termasuk limit bentuk tak tentu sehingga cara menyelesaikannya dengan melakukan pemfaktoran sebagai berikut:
lim
x → 4
(x + 4) (x – 4)
(x – 4) (x + 3)
lim
x → 4
(x + 4)
(x + 3)
=
4 + 4
4 + 3
=
8
7
Soal ini jawabannya E.
Contoh soal 10 (UN 2017 IPA)
Nilai darilim
x → 4
x2 – 16
1 –
√ x – 3
= …A. -16
B. -4
C. 4
D. 16
E. 32
Pembahasan / penyelesaian soal
42 – 16
1 –
√ 4 – 3
=
nol
nol
Karena hasilnya 0/0 maka termasuk limit bentuk tak tentu sehingga diselesaikan dengan cara dibawah ini:
lim
x → 4
x2 – 16
1 –
√ x – 3
x
1 +
√ x – 3
1 +
√ x – 3
lim
x → 4
(x – 4) (x + 4) (1 +
√ x – 3
)
1 – (x – 3)
lim
x → 4
(x – 4) (x + 4) (1 +
√ x – 3
)
– (x – 4)
lim
x → 4
– (x + 4) (1 +
√ x – 3
) = – (4 + 4) (1 +
√ 4 – 3
) = – 16
Soal ini jawabannya A.
Contoh soal 11 (UN 2017 IPS)
Nilai darilim
x → ∞
8x2 – 5x + 2
(2x – 3) (2x + 1)
= …A. -4
B. -2
C. 2
D. 4
E. 8
Pembahasan / penyelesaian soal
8 ∞2 – 5 ∞ + 2
(2 ∞ – 3) (2 ∞ + 1)
=
∞
∞
Karena hasilnya ∞ / ∞ maka termasuk bentuk limit tak tentu sehingga cara menyelesaikannya dengan kali silang penyebut sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
lim
x → ∞
8x2 – 5x + 2
(2x – 3) (2x + 1)
=
lim
x → ∞
8x2 – 5x + 2
4x2 – 4x – 3
Bagi setiap variabel dengan pangkat x terbesar yaitu x2:
lim
x → ∞
8x2/x2 – 5x/x2 + 2/x2
4x2/x2 – 4x/x2 – 3/x2
lim
x → ∞
8 – 5/x + 2/x2
4 – 4/x – 3/x2
8 – 5/∞ + 2/∞2
4 – 4/∞ – 3/∞2
=
8 – 0 – 0
4 – 0 – 0
=
8
4
= 2
Jadi soal ini jawabannya C.
Contoh soal 12 (UN 2018 IPA)
Nilai darilim
x → ∞
√
16x2 + 10x – 3
A. – 9/4
B. – 1/4
C. 1/4
D. 5/4
E. 9/4
Pembahasan / penyelesaian soal
√
16 ∞2 + 10 ∞ – 3
Ini adalah limit bentuk tak tentu (∞ – ∞) sehingga cara menyelesaikannya sebagai berikut:
lim
x → ∞
√
16x2 + 10x – 3
√
+ (4x – 1)
16x2 + 10x – 3
√
+ (4x – 1)
16x2 + 10x – 3
lim
x → ∞
16x2 + 10x – 3 – (4x – 1)2
√
+ (4x – 1)
16x2 + 10x – 3
lim
x → ∞
16x2 + 10x – 3 – (16x – 8x + 1)
√
+ (4x – 1)
16x2 + 10x – 3
lim
x → ∞
18x – 4
√
+ (4x – 1)
16x2 + 10x – 3
Semua variabel dibagi x sehingga didapat hasil sebagai berikut:
lim
x → ∞
18 – 4/x
√
+ (4 – 1/x)
16 + 10/x – 3/x2
18 – 4/∞
√
+ (4 – 1/∞)
16 + 10/∞ – 3/∞2
18 – 0
√
+ (4 – 0)
=
16 + 0 – 0
18
8
=
9
4
Soal ini jawabannya E.
Contoh soal 13 (UN 2017 IPA)
Nilai darilim
x → ∞
(2x – √
4x2 + x + 3
A. – 1/2
B. – 1/4
C. 0
D. 1/4
E. 1/2
Ini adalah limit bentuk tak tentu (∞ – ∞) sehingga cara menyelesaikannya sebagai berikut:
lim
x → ∞
(2x – √
4x2 + x + 3
2x + √
)
4x2 + x + 3
2x + √
)
4x2 + x + 3
lim
x → ∞
4x2 – (4x2 + x + 3)
2x + √
4x2 + x + 3
lim
x → ∞
– (x + 3)
2x + √
4x2 + x + 3
Bagi semua variabel dengan x sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
lim
x → ∞
– (1 + 3/x)
2 + √
4 + 1/x + 3/x2
Ganti x dengan ∞ sehingga diperoleh:
– (1 + 0)
2 +
√ 4 + 0 + 0
= –
1
4
Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 14
Nilai darilim
x → ∞
8x3 + 2x2 + 3
2x3 + x + 1
= …A. ∞
B. 4
C. 3
D. 1
E. 0
Pembahasan / penyelesaian soal
Ini adalah bentuk limit tak tentu ∞/∞ sehingga cara menyelesaikannya membagi semua variabel dengan x pangkat tertinggi yaitu x3:
lim
x → ∞
8x3/x3 + 2x2/x3 + 3/x3
2x3/x3 + x/x3 + 1/x3
lim
x → ∞
8 + 2/x + 3x3
2 + 1/x2 + 1/x3
8 + 2/∞ + 3 ∞3
2 + 1/∞2 + 1/∞3
=
8 + 0 + 0
2 + 0 + 0
= 4
Soal ini jawabannya B
Contoh soal 15
Nilai darilim
x → ∞
(
√ 3x – 2
–
√ 3x – 4
) = …A. ∞
B. 2
C. 1/3 √ 3
D. 0
E. – ∞
Pembahasan / penyelesaian soal
Ini adalah limit bentuk tak tentu (∞ – ∞) sehingga cara menyelesaikannya sebagai berikut:
lim
x → ∞
(
√ 3x – 2
–
√ 3x – 4
) x
(
√ 3x – 2
) + (
√ 3x – 4
)
(
√ 3x – 2
) + (
√ 3x – 4
)
lim
x → ∞
(3x – 2) – (3x – 4)
(
√ 3x – 2
) + (
√ 3x – 4
)
lim
x → ∞
2
(
√ 3x – 2
) + (
√ 3x – 4
)
Ganti x dengan ∞ sehingga didapat:
2
(
√ 3 ∞ – 2
) + (
√ 3 ∞ – 4
)
=
2
∞
= ∞
Soal ini jawabannya A.