);

Contoh soal eksponen ( persamaan & pertidaksamaan ) + penyelesaiannya

Pada postingan ini kita membahas contoh soal eksponen, persamaan eksponen, pertidaksamaan eksponen dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Lalu apa itu eksponen ?. Menurut wikipedia, Eksponen menyatakan berapa banyak salinan dari basis yang dilipatgandakan atau dikalikan bersama-sama. Misalnya 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16. Basis 2 muncul 4 kali dalam perkalian berulang, karena eksponennya 4. Disini, 2 adalah basis, 4 adalah eksponen dan 16 adalah hasil dari pangkat.

Jika a, b ∈ R, a ≠ 0, m dan n adalah bilangan rasional, maka sifat-sifat fungsi eksponen sebagai berikut.

Eksponen
Sifat-sifat fungsi eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. Ada beberapa bentuk persaman eksponen, diantaranya sebagai berikut.

  • Jika af(x) = am, a > 0 dan a ≠ 1 maka f(x) = m
  • Jika af(x) = ag(x), a > 0 dan a ≠ 1 maka f(x) = g(x)
  • Jika af(x) = bf(x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 dan a ≠ b maka f(x) = 0
  • JIka f(x)g(x) = f(x)h(x) maka penyelesaiannya sebagai berikut.
    ↔ g(x) = h(x)
    ↔ f(x) = 1
    ↔ f(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
    ↔ f(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  • A(af(x))2 + B . af(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, A, B, C ∈ R, A ≠ 0.
    Terlebih dahulu misalkan y = af(x). Dari pemisalan ini diperoleh Ay2 + By + C = 0. Nilai y yang diperoleh, subtitusi kembali pada pemisalan y = af(x) sehingga diperoleh nilai x.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat-sifat sebagai berikut.

  • Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi naik. Artinya untuk x1, x2 ∈ R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2)
  • Untuk 0 < x < a, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi turun. Artinya untuk x1, x2 ∈ R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2)

Contoh soal eksponen

Contoh soal 1

Sederhanakanlah :

  1. 2x3 . x-5
  2. (a5 . b3)1/5

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan sifat fungsi eksponen diperoleh hasil sebagai berikut.

  1. 2x3 . x-5 = 2x3 + (-5) = 2x-2 = \frac {2} {x^2}
  2. (a5 . b3)1/5 = a(5 . 1/5) . b(3 . 1/5) = a1/3 . b3/5 = \sqrt[3]{a} .  \sqrt[5]{b^3}

Contoh soal 2

Sederhanakanlah :

1.
4a5
2a-3

2. (
3k2
5l3
)1/6

Penyelesaian soal / pembahasan

1.
4a5
2a-3
= 2a5 . a3 = 2a5 + 3 = 2a8
2. (
3k2
5l3
)1/6 =
3
5
k(2 . 1/6) . l(-3 . 1/6) =
3
5
k1/3 . l– 1/2 =
3 k1/3
5 l1/2

Contoh soal 3

Bentuk sederhana dari (4x3 y-2) (3x2 y-10) adalah …

Penyelesaian soal / pembahasan

  • (4x3 y-2) (3x2 y-10) = (4 . 3) . (x3 . x2) . (y-2 . y-10)
  • = 12 . x(3 + 2) . y(-2 + -10)
  • = 12 x5 . y-12

Contoh soal 4

Bentuk sederhana dari ( 4x   )5 adalah …

Penyelesaian soal / pembahasan

  • ( 4x )5 = {(4x)1/2}5 = (41/2 . x1/2)5
  • = (2 . x1/2)5 = 25 . x(1/2 . 5) = 32 x5/2 = 32\sqrt {x^5}

Contoh soal 5

Bentuk sederhana dari \sqrt[4]{\sqrt[3]{x^2 y^6}}

Penyelesaian soal / pembahasan

  • \sqrt[4]{\sqrt[3]{x^2 y^6}} = \sqrt[4 . 3]{x^2 y^6} = \sqrt[12]{x^2 y^6}
  • = x2/12 . y6/12 = x1/6 . y1/2 = x1/6 .  y  

Contoh soal 6

Diketahui x ≠ 0 dan y ≠ 0, bentuk sederhana dari (
2x-5 y3
8x3 y-2
)2 adalah …
A.
y10
4 x16

B.
y2
4 x4

C.
y10
16 x16

D.
y2
16 x4

E.
16 y10
x16

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita satukan setiap variabel x atau y menjadi satu pembilang atau penyebut dengan cara berikut ini.

→ (
2y3 y2
8x3 x5
)2
→ (
y3 + 2
4x3 + 5
)2
→ (
y5
4x8
)2
y5 . 2
42 x(8 . 2)

y10
16x16

Soal ini jawabannya C. Pada jawaban diatas, kita memindahkan ruas variabel dengan pangkat negatif. Ini bertujuan agar hasil yang diperoleh pangkatnya positif.


Contoh soal 7

Bentuk sederhana dari (
5p-2 q2
25p3 q4
)-1 adalah …
A. 25p5 q2
B. 5 p5 q2
C. p5 q2
D. 1/5 p5 q2
E. 1/25 p5 q2

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita satu ruaskan p dengan p dan q dengan q sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

→ (
p-2 p-3
5q4 q-2
)-1
→ (
p-2 – 3
5q4 – 2
)-1
→ (
p-5
5q2
)-1
p5
5q-2

1
5
p5 q2

Soal ini jawabannya D. Pada jawaban soal diatas, pangkat -1 kita hilangkan dengan cara mengganti tanda pangkat pada p dan q negatif menjadi positif dan sebaliknya. Jadi bentuk sederhana soal diataa adalah 1/5 p5q2.


Contoh soal 8

Bentuk sederhana dari (
a-2 b1/2
b-1/2 (a b)
)2 adalah ..
A.
a2
b2

B.
a
b2

C.
b
a6

D.
1
a6

E.
1
a6 b

Penyelesaian soal / pembahasan

Langkah-langkah menjawab soal ini sebagai berikut:

→ (
a-2
ab
)2
a(-2 . 2) b2
(ab)2

a-4 b2
a2 b2

1
a2 a4

1
a6

Soal ini jawabannnya D.


Contoh soal 9

Tentukan bentuk lain dari
m-1
(m-1 – 1)

Penyelesaian soal / pembahasan

Langkah-langkah menjawab soal ini sebagai berikut:

1/m
1/m – 1

1
m (1/m – 1)

1
1 – m

Contoh soal 10

Tentukan bentuk sederhana dari (
a1/2 b-3
a-1 b-3/2
)2/3

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita kalikan semua pangkat dengan 2/3 sehingga didapat:

a1/3 b-2
a-2/3 b-1

→ a1/3 a2/3 b-2 b1 = a . b-1 =
a
b

Contoh soal pertidaksamaan eksponen

Contoh soal 1

Penyelesaian dari 5-2x + 2 + 74 . 5-x – 3 ≥ 0 adalah…
A. x ≤ 3 atau x ≥ 1/25
B. -3 ≤ x ≤ 1/25
C. x ≤ 2
D. x ≥ 2
E. x ≥ -2

Penyelesaian soal / pembahasan

Pertidaksamaan eksponen diatas diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini:
5-2x . 52 + 74 . 5-x – 3 ≥ 0
25 . 5-2x + 74 . 5-x – 3 ≥ 0
Misalkan p = 5-x maka pertidaksamaan menjadi:
25p2 + 74p – 3 ≥ 0
(25p – 1) (p + 3) ≥ 0
p1 = 1/25 atau p2 = -3
p = -3 tidak mungkin jadi nilai p yang tepat adalah p = 1/25.
5-x ≥ 1/25 atau 5-x ≥ 5-2
-x ≥ -2 atau x ≤ 2

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal 2

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 . 4x – 7 . 2x + 2 > 0 adalah…
A. x < -1 atau x > 2log 3
B. x < 2log 1/3 atau x > 1
C. 2log 3 < x < 1
D. x < 1 atau x > 2log 1/3
E. 1 < x < 2log 1/3

Penyelesaian soal / pembahasan

Pertidaksamaan eksponen diatas diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini:
3 . 22x – 7 . 2x + 2 > 0
Misalkan p = 2x maka pertidaksamaan menjadi:
3p2 – 7p + 2 >0
(3p – 1) (p – 2) > 0
p = 1/3 atau p = 2
2x = 1/3 maka x = 2log 1/3
2x = 2 maka x = 1
Karena notasi pertidaksamaan lebih dari (>) maka penyelesaian yang tepat adalah x < 2log 1/3 atau x > 1. Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 3

Nilai x yang memenuhi b2x + 10 < 7 . bx dengan b > 1 adalah…
A. x < blog 2
B. x > blog 5
C. x < b log 2 atau x > blog 5
D. blog 2 < x < blog 5
E. x > blog 2

Penyelesaian soal / pembahasan

Pertidaksamaan diata diubah bentuknya menjadi: b2x – 7 . bx + 10 < 0
Misalkan p = bx maka pertidaksamaan menjadi:
p2 – 7p + 10 < 0
(p – 2) (p – 5) < 0
p = 2 atau p = 5
bx = 2 maka x = blog 2
bx = 5 maka x = blog 5
Karena notasi pertidaksamaan kurang dari (<) maka nilai x yang memenuhi blog 2 < x < blog 5
Soal ini jawabannya D.

Contoh soal persamaan eksponen

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 5x + 1 = 253x – 4.

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:
5x + 1 = 253x – 4
5x + 1 = 52 (3x – 4)
5x + 1 = 56x – 8
x + 1 = 6x – 8 atau 6x – x = 1 + 9
5x = 10
x = 10/5 = 2


Contoh soal 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 42x + 3 = 1/64.

Penyelesaian soal / pembahasan

42x + 3 =
1
64
=
1
43

42x + 3 = 4-3
2x + 3 = -3 atau 2x = 3 + 3 = 6
x =
6
2
= 3

Contoh soal 3

Tentukan penyelesaian dari persamaan
32x + 1
= 9x – 2

Penyelesaian soal / pembahasan

(32x + 1)1/2 = 32 (x – 2)
3x + 1/2 = 32x – 4
x +
1
2
= 2x – 4
2x – x =
1
2
+ 4
x =
9
2
= 4
1
2

Contoh soal 4

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 4x = 2x + 1 + 3

Penyelesaian / pembahasan

Soal diatas diubah bentuknya menjadi (2x)2 = 2x . 2 + 3 atau (2x)2 – 2x . 2 – 3 = 0.
Misal p = 2x maka persamaan menjadi:
p2 – 2p – 3 = 0
(p + 1) (p – 3) = 0
p = – 1 atau p = 3
p = -1 (tidak mungkin) jadi p = 3.
3 = 2x
log 3 = log 2x = x log 2
Jadi nilai yang memenuhi adalah x = 2log 3.


Contoh soal 5

Jika 2 . 4x + 23 – 2x = 17 maka tentukan nilai dari 22x

Penyelesaian soal / pembahasan

Ubah terlebih dahulu bentuk persamaan menjadi seperti dibawah ini:
2 . 22x + 23 . 2-2x – 17 = 0 (dikali 22x)
2 . 22x . 22x + 8 . 2-2x . 22x – 17 . 22x = 0 atau 2 . 2(2x)2 – 17 . 22x + 8 = 0
Misalkan p = 22x maka persamaan menjadi:
2p2 – 17p + 8 = 0
(2p – 1) (p – 8) = 0
p = 1/2 atau p = 8
Jadi nilai 22x yang memenuhi adalah 1/2 atau 8.


Contoh soal 6

Tentukan jumlah akar-akar dari persamaan 5x + 1 + 51 – x = 11.

Penyelesaian / pembahasan

Persamaan diatas diubah bentuknya menjadi:
5 . 5x + 5 . 5-x – 11 = 0 (dikali 5x)
5 . 5x . 5x + 5 . 5-x . 5x – 11 . 5x = 0
5 . 52x – 11 . 5x + 5 = 0
Misalkan p = 5x maka persamaan menjadi:
5p2 – 11p + 5 = 0
a = 5, b = – 11 dan c = 5
p1 . p2 = c/a = 5/5 = 1
5x1 . 5x2 = 1
5x1 + x2 = 50
x1 + x2 = 0.
Jadi jumlah akar-akar persamaan diatas = 0.


Contoh soal 7

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 2 . 92x – 1 – 5 . 32x + 18 = 0 maka hitunglah x1 + x2

Penyelesaian soal / pembahasan

Persamaan diatas diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini:
2 . 32 (2x -1) – 5 . 32x + 18 = 0
2 . 3(2x)2 . 3-2 – 5 . 32x + 18 = 0 (dikali 32 atau 9)
2 . 3(2x)2 – 45 . 32x + 162 = 0
Misalkan p = 32x maka persamaan menjadi:
2p2 – 45p + 162 = 0
a = 2, b = -45 dan c = 162
p1 . p2 = c/a = 162/2 = 81
32x1 . 32x2 = 81
32 (x1 + x2) = 34
2 (x1 + x2) = 4 atau x1 + x2 = 4/2 = 2.

You cannot copy content of this page