Contoh soal dilatasi waktu dan pembahasan

Postingan ini membahas contoh soal dilatasi waktu dan pembahasannya. Dilatasi waktu menjelaskan bahwa waktu pengamatan antara pengamat yang diam dengan pengamat yang bergerak relatif terhadap kejadian adalah tidak sama. Waktu yang diukur oleh pengamat yang bergerak relatif terhadap kejadian akan lebih besar dibanding waktu yang diukur oleh pengamat yang diam. Persamaan dilatasi waktu ditulis sebagai berikut:

$\Delta t = \frac {\Delta t_o}{\sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}}$

Keterangan:

Δt = waktu yang diukur menurut pengamat yang bergerak
Δto = waktu yang diukur menurut pengamat yang diam
v = kecepatan relatif pengamat terhadap kejadian
c = kecepatan cahaya

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal dan pembahasan dibawah ini.

Contoh soal 1 (UN 2013)

Suatu peristiwa terjadi selama 3 sekon menurut pengamat yang bergerak menjauhi peristiwa itu dengan kecepatan 0,8 c (c = kecepatan cahaya). Menurut pengamat yang diam, peristiwa tersebut terjadi selama selang waktu…
A. 5,0 2
B. 4,8 s
C. 3,0 s
D. 1,8 s
E. 1,2 s

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

Δt = 3 s
v = 0,8 c

Cara menentukan Δto sebagai berikut:

$\Delta t = \frac {\Delta t_o}{\sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}}$
$\Delta t_o = \Delta t \sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}$
$\Delta t_o = 3 s \sqrt{1 - \frac {(0,8 c)^2}{c^2}}$
$\Delta t_o = 3 s \sqrt{0,36}$ = 3 s . 0,6 = 1,8 s

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 2

Menurut orang yang tinggal dibumi jarak antara planet X dengan bumi adalah 20 tahun cahaya, tetapi jarak antara planet X dengan bumi menurut pengamat yang berada dalam pesawat angkasa yang bergerak dengan kecepatan 0,6 c adalah…
A. 10 tahun cahaya
B. 14 tahun cahaya
C. 16 tahun cahaya
D. 18 tahun cahaya
E. 25 tahun cahaya

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

Δto = 20 tahun cahaya
v = 0,6 c

$\Delta t = \frac {\Delta t_o}{\sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}}$
$\Delta t_o = \Delta t \sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}$
$\Delta t_o = 20 tahun cahaya \sqrt{1 - \frac {(0,6 c)^2}{c^2}}$
$\Delta t_o = 20 tahun cahaya \sqrt{0,64}$
∆t_o= 20 tahun cahaya . 0,8 = 16 tahun cahaya

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 3

P dan Q adalah sepasang anak kembar. P berkelana di antariksa dengan pesawat berkecepatan 0,8 c. Setelah 12 tahun berkelana, akhirnya P pulang ke bumi. Menurut Q perjalanan P telah berlangsung selama …
A. 20 tahun
B. 15 tahun
C. 12 tahun
D. 10 tahun
E. 8 tahun

Pembahasan / penyelesaian soal

$\Delta t = \frac {\Delta t_o}{\sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}}$
$\Delta t = \frac {12 tahun}{\sqrt{1 - \frac {(0,8 c)^2}{c^2}}}$
$\Delta t = \frac {12 tahun}{\sqrt{1 - \frac {0,64 c^2}{c^2}}}$
$\Delta t = \frac {12 tahun}{\sqrt{0,36}}$
= $\frac {12 tahun} {0,6}$ = 20 tahun

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 4

Sebuah jam memiliki periode ayunan 1 s. Tentukan kecepatan jam itu bergerak agar periode ayunannya menjadi 1,25 s!.

Pembahasan / penyelesaian soal

$\Delta t = \frac {\Delta t_o}{\sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}}$
$1,25 s = \frac {1 s}{\sqrt{1 - \frac {(0,8 c)^2}{c^2}}}$
$1 - \frac {v^2}{c^2} = \frac {16} {25}$
$\frac {v^2}{c^2} = 1 - \frac {16} {25} = \frac {9} {25}$
$\frac {v} {c} = \sqrt {\frac {9} {25}}$
$\frac {v} {c} = \frac {3} {5}$ = 0,6
v = 0,6 c

Jadi agar periode jam menjadi 1,25 s maka jam harus bergerak dengan kecepatan 0,6 c.

Contoh soal 5

A berada didalam roket dan B berada dibumi, keduanya mencocokkan jamnya (jam 12:00). Kemudian roket meninggalkan bumi dengan kecepatan 0,6 c. Jika A melihat jam diroket menunjukkan pukul 12.40, maka pukul berapakah saat itu menurut B?.

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

Δt_o = 12.40 – 12.00 = 40 menit
v = 0,6 c

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

$\Delta t = \frac {\Delta t_o}{\sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}}$
$\Delta t = \frac {40 menit}{\sqrt{1 - \frac {(0,6 c)^2}{c^2}}}$
$\Delta t = \frac {40 menit}{\sqrt{1 - \frac {0,36 c^2}{c^2}}}$
$\Delta t = \frac {40 menit}{\sqrt{0,64}}$
= $\frac {40 menit} {0,8}$ = 50 menit

Jadi menurut B jam saat ini menunjukkan pukul 12:50.