Contoh soal cosinus, sinus, tangen jumlah dan selisih dua sudut

Postingan ini membahas contoh soal cosinus, sinus, tangen jumlah dan selisih dua sudut yang disertai pembahasannya atau penyelesaiannya. Rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut sebagai berikut:

• cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut sebagai berikut:

• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

Rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut sebagai berikut:

tan (A + B) =

tan A + tan B

1 – tan A tan B

tan (A – B) =

tan A – tan B

1 + tan A tan B

Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal cosinus, sinus, tangen jumlah dan selisih dua sudut.

Contoh soal 1

Hitunglah dengan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut berikut:

1. cos 195°
2. cos 58° cos 13° + sin 58° sin 13°

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

cos 195° dipecah menjadi cos (150° + 45°) sehingga diketahui:

• A = 150°
• B = 45°

Sehingga didapat hasil:

cos 195° = cos (150° + 45°) = cos A cos B + sin A sin B
cos (150° + 45°) = cos 150° . cos 45° + sin 150° . sin 45°
cos (150° + 45°) = -1/2 √ 3   . 1/2 √ 2   + 1/2 . 1/2 √ 2  
cos (150° + 45°) = – 1/4 √ 6   + 1/4 √ 2  
cos 195° = 1/4 ( √ 2   – √ 6   )

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

cos (A – B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (58° – 13°) = cos 58° cos 13° – sin 58° sin 13°
cos 58° cos 13° – sin 58° sin 13° = cos 45° = 1/2 √ 2  

---

Contoh soal 2

Hitunglah dengan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut berikut.

• sin 105°
• sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

sin 105° = sin (150° – 45°)
sin (150° – 45°) = sin A cos B – cos A sin B
sin (150° – 45°) = sin 150° cos 45° – cos 150° sin 45°
sin (150° – 45°) = 1/2 . 1/2 √ 2   – (-1/2 √ 3   ) . 1/2 √ 2  
sin 105° = 1/4 √ 2   + 1/4 √ 6  
sin 105° = 1/4 ( √ 2   + √ 6   )

Cara lain menjawab soal ini sebagai berikut:

sin 105° = sin (60° + 45°)
sin (60° + 45°) = sin A cos B + cos A sin B
sin (60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
sin (60° + 45°) = 1/2 √ 3   . 1/2 √ 2   + 1/2 . 1/2 √ 2  
sin 105° = 1/4 √ 6   + 1/4 √ 2  
sin 105° = 1/4 ( √ 2   + √ 6   )

Jawaban soal 2 sebagai berikut

sin (75° – 15°) = sin A cos B – cos A sin B
sin (75° – 15°) = sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°
sin (60°) = 1/2 √ 3  

---

Contoh soal 3

Diketahui sin A = 3/5, cos B = 5/13, dan A dan B merupakan sudut lancip. Tentukan:

• tan (A + B)
• tan (A – B)

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini hitung terlebih dahulu tan A dan tan dengan cara dibawah ini.

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

tan (A + B) =

tan A + tan B

1 – tan A tan B

tan (A + B) =

3/4 + 12/5

1 – 3/4 . 12/5

tan (A + B) =

15 + 48

20

1 –

36

20

tan (A + B) = –

63

16

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

tan (A – B) =

tan A – tan B

1 + tan A tan B

tan (A – B) =

3/4 – 12/5

1 + 3/4 . 12/5

tan (A – B) =

15 – 48

20

1 +

36

20

tan (A – B) = –

33

56

---

Contoh soal 4

Diketahui ∠ A dan ∠ B adalah sudut lancip. Jika cos A = 4/5 dan cos B = 24/25, tentukan:

1. cos (A + B)
2. sin (A – B)

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu sin A dan sin B dengan cara berikut ini.

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A + B) = 4/5 . 24/25 – 3/5 . 7/25
cos (A + B) = 96/125 – 21/125 = 75/125 = 3/5

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
sin (A – B) = 3/5 . 24/25 – 4/5 . 7/25
sin (A – B) = 72/125 – 28/125 = 44/125

---

Contoh soal 5

Sederhanakanlah: tan (x + 45°) . tan (x – 45°).

Pembahasan / penyelesaian soal

tan (x + 45°) . tan (x – 45°) =

tan x + tan 45°

1 – tan x tan 45°

.

tan x – tan 45°

1 + tan x . tan 45°

=

tan x + 1

1 – tan x

.

tan x – 1

1 + tan x

=

– (1 – tan x)

1 – tan x

= – 1

---

Sumber soal:

Soedyarto, Nugroho. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Jakarta. 2009.