Postingan ini membahas contoh soal FPB (Faktor persekutuan terbesar), KPK (Kelipatan persekutuan kecil) dan pembahasannya atau penyelesaiannya. FPB adalah hasil kali dari faktor-faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil dari bilangan-bilangan yang akan dicari FPB-nya. Sedangkan KPK adalah hasil kali dari faktor-faktor prima yang sama dengan pangkat terbesar dan semua faktor prima yang berbeda dari bilangan-bilangan yang akan dicari KPK-nya.
Secara umum, terdapat dua cara menentukan FPB dan KPK yaitu cara himpunan faktor dan cara faktor prima. Lalu bagaimana cara menentukan FPB dan KPK dengan menggunakan kedua cara tersebut ?. Berikut adalah penjelasan singkatnya.
Cara Menentukan FPB
Cara himpunan faktor
Misalkan terdapat dua angka 16 dan 24, maka kita peroleh:
- Himpunan faktor 16 = {1, 2, 4, 8, 16}
- Himpunan faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Dari hasil ini kita dapatkan himpunan persekutuan 16 dan 24 yaitu {1, 2, 4, 8}. Karena 8 adalah persekutuan yang terbesar maka FPB dari 16 dan 24 adalah 8.
Cara faktor prima
Selain itu, FPB bisa ditentukan dengan menggunakan faktor prima yaitu mengalikan semua faktor prima persekutuan dari kedua bilangan yang memiliki pangkat terendah:
- Faktor prima 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
- Faktor prima 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
Pangkat terendah 23 sehingga FPB dari 16 dan 24 adalah 23 = 8.
Cara menentukan KPK
Misalkan terdapat himpunan bilangan kelipatan 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …} dan bilangan kelipatan 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, …}. Pada himpunan kelipatan tersebut diperoleh angka yang sama yaitu 15. Dengan demikian KPK dan 3 dan 5 adalah 15.
Cara lain menentukan KPK adalah dengan menggunakan faktor prima yaitu mengalikan semua faktor prima dari kedua bilangan. Apabila ada faktor prima yang sama dan pangkatnya sama maka gunakan salah satunya saja sedangkan jika faktor prima sama tetapi pangkat berbeda maka gunakan angka yang memiliki pangkat terbesar.
Untuk lebih jelasnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal FPB dan KPK yang disertai pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukan FPB dari 12 dan 20 ?.
Pembahasan
Cara himpunan faktor:
- Himpunan faktor 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- Himpunan faktor 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
- Himpunan persekutuan = {1, 2, 4}
Karena himpunan persekutuan yang terbesar adalah 4 maka FPB dari 12 dan 20 adalah 4.
Cara faktor prima:
- Faktor prima 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
- Faktor prima 20 = 2 x 2 x 5 = 22 x 5
Pangkat terkecil adalah 22 jadi FPB dari 12 dan 20 = 4.
Contoh soal 2
Tentukan FPB dari 36 dan 54.
Pembahasan
Cara himpunan faktor:
- Himpunan faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
- Himpunan faktor 54 = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}
- Himpunan persekutuan = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Himpunan persekutuan yang terbesar adalh 18 jadi FPB 36 dan 54 adalah 18.
Cara faktor prima:
- Faktor prima 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
- Faktor prima 54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33
Pangkat terkecil adalah 2 dan 32 sehingga FPB dari 36 dan 54 adalah 2 x 32 = 2 x 9 = 18.
Contoh soal 3
Tentukan FPB dari 27, 30 dan 33.
Pembahasan
Cara himpunan faktor:
- Himpunan faktor 27 = {1, 3, 9, 27}
- Himpunan faktor 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
- Himpunan faktor 33 = {1, 3, 11, 33}
- Himpunan persekutuan = {1, 3}
Jadi FPB 27, 30, 33 adalah 3 karen himpunan persekutuan terbesar adalah 3.
Cara faktor prima:
- Faktor prima 27 = 3 x 3 x 3 = 33
- Faktor prima 30 = 2 x 3 x 5
- Faktor prima 33 = 3 x 11
Pangkat terkecil = 3 jadi FPB dari 27, 30, 33 adalah 3.
Contoh soal 4
Tentukan FPB dari 35, 45 dan 55.
Pembahasan
Cara himpunan faktor:
- himpunan faktor 35 = {1, 5, 7}
- Himpunan faktor 45 = {1, 3, 5, 45}
- Himpunan faktor 55 = {1, 5, 11, 55}
- Himpunan persekutuan = {1, 5}
Jadi FPB 35, 45, 55 = 5.
Cara faktor prima:
- Faktor prima 35 = 5 x 7
- Faktor prima 45 = 3 x 3 x 5 = 32 x 5
- Faktor prima 55 = 5 x 11
Pangkat terkecil adalah 5 sehingga FPB dari 35, 45 dan 55 adalah 5.
Contoh soal 5
Tentukan KPK dari 2, 4, 10.
Pembahasan
Cara kelipatan bilangan:
- Kelipatan 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}
- Kelipatan 4 = {4, 8, 12, 16, 20, …}
- Kelipatan 5 = {10, 20, 30, …}
Kelipatan ketiga bilangan diatas yang sama adalah 20 sehingga KPK dari 2, 4, 10 dalah 20.
Cara faktor prima:
- Faktor prima 2 = 2
- Faktor prima 4 = 22
- Faktor prima 10 = 2 x 5
Jadi KPK dari 2, 4, 10 adalah 22 x 5 = 4 x 5 = 20.
Contoh soal 6
Tentukan KPK dari 4, 6, 12
Pembahasan
Cara kelipatan bilangan:
- Kelipatan 4 = {4, 8, 12, 16, …}
- Kelipatan 6 = {6, 12, 18, …}
- Kelipatan 12 = {12, 24, 36, …}
Kelipatan yang sama adalah 12 jadi KPK dari 4, 6, 12 adalah 12.
Cara faktor prima:
- Faktor prima 4 = 22
- Faktor prima 6 = 2 x 3
- Faktor prima 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
Jadi KPK dari 4, 6, 12 adalah 22 x 3 = 4 x 3 = 12.
Contoh soal 7
Tentukan KPK dari 5, 7, 25.
Pembahasan
Agar cepat dalam penyelesaian, sebaiknya kita gunakan faktor prima sebagai berikut:
- Faktor prima 5 = 5
- Faktor prima 7 = 7
- Faktor prima 25 = 52
Jadi KPK dari 5, 7, 25 adalah 52 x 7 = 25 x 7 = 175.
Contoh soal 8
Wawan dan Andi menabung di bank yang sama. Wawan menabung tiap 3 hari sekali dan Andi menabung 4 hari sekali. Jika mereka menabung bersama-sama pada tanggal 1 Desember maka mereka akan menabung bersama-sama lagi pada tanggal…
Pembahasan
Untuk menjawab soal ini kita tentukan KPK dari 3 dan 4 yaitu:
- Faktor prima 3 = 3
- Faktor prima 4 = 22
Jadi KPK 3 dan 4 = 22 x 3 = 12. Jadi Wawan dan Andi menabung bersama-sama lagi setelah 12 hari yaitu tanggal 13 Desember.
Contoh soal 9
Amir pergi latihan berenang setiap 3 hari, Badu setiap 4 hari dan Coki setiap 5 hari. Jika tanggal 25 Februari mereka latihan bersama-sama, tanggal berapa mereka latihan bersama lagi?.
Pembahasan
- Faktor prima 3 = 3
- Faktor prima 4 = 22
- Faktor prima 5 = 5
KPK dari 3, 4 dan 5 = 3 x 22 x 5 = 60. Jadi Amir, Badu dan Coki latihan bersama lagi 60 hari kemudian atau tanggal 26 April.
Contoh soal 10
Dari terminal yang sama, bus PPD dan bus Damri berangkat bersama untuk pertama kali pukul 05:20. Jika bus PPD berangkat setiap 6 menit dan bus Damri setiap 8 menit, maka pukul berapa kedua bus tersebut berangkat bersama untuk ketiga kalinya.
Pembahasan
- Faktor prima 6 = 2 x 3
- Faktor prima 8 = 23
Jadi KPK 6 dan 8 adalah 3 x 23 = 24. Kedua bus berangkat bersama untuk kedua kalinya setelah 24 menit dan berangkat bersama untuk ketiga kalinya setelah 48 menit. Jadi kedua bus berangkat bersama lagi untuk ketiga kalinya pada pukul 05:20 + 48 menit = 06:08.