Contoh soal penjumlahan vektor dan penyelesaiannya

Pada postingan ini kita membahas contoh soal penjumlahan vektor dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Vektor adalah besaran fisika yang mempunyai besar dan arah. Contoh besaran vektor adalah kecepatan, gaya, momentum dan masih banyak lagi.

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan 3 metode yaitu metode poligon, metode jajaran genjang dan metode analisis. Rumus yang digunakan dalam menjumlahkan vektor dengan metode poligon dan jajarangenjang sebagai berikut:

R = √

A2 + B2 + 2 . A . B. cos θ

θ pada rumus diatas menyatakan sudut apit antara vektor A dan B. Selanjutnya jika kita melakukan penjumlahan dengan metode analisis maka langkah-langkah yang harus dilakukan sebagai berikut:

Uraikan setiap vektor ke sumbu koordinat x dan y.
Resultankan vektor yang mengarah ke sumbu x.
Resultankan vektor yang mengarah ke sumbu y.
Jumlahkan seluruh vektor dengan menggunakan rumus R = √ x2 + y2

Pada saat kita meresultankan vektor yang mengarah ke sumbu x dan y maka perlu diperhatikan tanda dari vektor tersebut. Jika vektor arahnya ke kanan atau ke atas maka tanda vektor positif. Sedangkan jika vektor arahnya ke kiri atau kebawah maka tanda vektor negatif.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal penjumlahan vektor dan penyelesaiannya dibawah ini.

Contoh soal 1

Diketahui dua buah vektor A = 8 satuan dan B = 4 satuan saling mengapit sudut 60°. Hitunglah besar resultan kedua vektor.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menghitung resultan vektor kita gunakan rumus dibawah ini:

R = √

A2 + B2 + 2 . A . B. cos θ

R = √

82 + 42 + 2 . 8 . 4. cos 60°

R = √

64 + 16 + 32

= √

R = √

16 x 5

R = 4√

Jadi resultan kedua vektor A dan B adalah 4 √ 5 m/s.

Contoh soal 2

Dua vektor kecepatan besarnya 5 m/s. Jika resultan kedua vektor = 5 m/s maka hitunglah sudut apit kedua vektor.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menghitung sudut apit kedua vektor kita menggunakan rumus seperti nomor 1 tapi langsung dikuadratkan sehingga diperoleh:

52 = 52 + 52 + 2 . 5 . 5 . cos θ
25 = 25 + 25 + 50 cos θ
25 = 50 + 50 cos θ
50 cos θ = 25 – 50 = -25
cos θ = ^-25/₅₀ = -1/2.

Jadi besar sudut apit dua vektor kecepatan θ = 120°.

Contoh soal 3

Dua buah vektor A dan B membentuk sudut apit 60° dan mempunyai resultan sebesar 6 satuan. Jika besar vektor A = 6 satuan maka hitunglah besar vektor B.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menghitung besar vektor B kita gunakan rumus resultan vektor metode poligon atau jajarangenjang tapi langsung dikuadratkan sehingga diperoleh:

R2 = A2 + B2 + 2 AB cos θ
62 = 62 + B2 + 2 . 6. B cos 60°
36 = 36 + B2 + 6B
B2 + 6B = 0
B (B + 6) = 0
B = 0 dan B = -6

Diantara kedua nilai B diatas maka nilai yang mungkin adalah B = – 6 satuan. Jadi jawaban yang tepat adalah B = – 6 satuan.

Contoh soal 4

Dua vektor gaya masing-masing besarnya 40 N dan 20 N membentuk sudut 60°. Hitunglah selisih kedua vektor gaya tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menghitung selisih vektor kita menggunakan rumus penjumlahan vektor metode poligon dan jajarangenjang tapi tanda positif diganti menjadi negatif sehingga didapat:

R = √

402 + 202 – 2 . 40 . 20. cos 60°

R = √

1600 + 400 – 800

R = √

1200

= √

400 x 3

R = 20 √

Jadi selisih kedua vektor adalah 20 √ 3 N.

Contoh soal 5

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal penjumlahan vektor metode analisis — Contoh soal penjumlahan vektor nomor 5

Tiga buah vektor gaya masing-masing F1 = F3 = 12 N dan F2 = 6 N tersusun seperti gambar diatas. Hitunglah resultan ketiga vektor tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

Vektor F3 sudah mengarah ke sumbu x sehingga tidak perlu diuraikan lagi. Sedangkan vektor F1 dan F2 kita uraikan ke sumbu x dan sumbu y dan hasilnya seperti gambar dibawah ini.

Penguraian vektor gaya — 3 vektor gaya diuraikan ke sumbu x dan y

Berdasarkan gambar diatas kita peroleh:

Fx = F1x + F2x – F3
Fx = F1 cos 60° + F2 cos 60° – F3
Fx = 12 . 1/2 + 6 . 1/2 – 12
Fx = 6 + 3 – 12 = -3
Fy = F1y – F2y
Fy = F1 sin 60° – F2 sin 60°
Fy = 12 1/2 √ 3 – 6 . 1/2 √ 3 = 3 √ 3

Pada jawaban diatas kita menggunakan sudut 60° ini diperoleh dari 180° – 120° = 60°. Jadi resultan ketiga vektor gaya:

R = √

Fx2 + Fy2

R = √

(-3)2 + (3 √ 3 )2

R = √

9 + 27

= √

= 6

Besar resultan ketiga gaya = 6 N.

Contoh soal 6

Tiga buah vektor gaya setitik tangkap seperti gambar dibawah ini.

3 vektor gaya setitik tangkap — Contoh soal penjumlahan vektor nomor 6

Jika F1 = 10 N, F2 = 2 N dan F3 = 14 N maka hitunglah resultan ketiga gaya tersebut (sin 37° = 0,6 dan cos 37° = 0,8).

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada gambar soal nomor 6 gaya F2 dan F3 sudah mengarah ke sumbu x dan y sedangkan F1 belum mengarah ke salah satu sumbu. Dengan demikian kita uraikan terlebih dahulu vektor F1 ke sumbu x dan sumbu y dan hasilnya sebagai berikut:

Berdasarkan uraian vektor gaya diatas maka kita dapat:

Fx = F1x – F2
Fx = F1 cos 37° – F2
Fx = 10 . 0,8 – 2 = 6
Fy = F1y – F3 = F1 sin 37° – 14
Fy = 10 . 0,6 – 14 = 6 – 14 = – 8

Karena Fx = 6 dan Fy = -8 maka sudah bisa kita tentukan hasil resultan vektor yaitu 10. Ini diperoleh dari formasi 6 , 8, 10 pada segitiga siku-siku.

Contoh soal 7

Apabila tiap skala pada gambar dibawah ini = 1 N maka hitunglah hitunglah resultan vektor kedua gaya.

Penjumlahan vektor dalam bentuk skala — Contoh soal penjumlahan vektor nomor 7

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita uraikan vektor F2 ke sumbu x (horizontal) dan ke sumbu y (keatas). Disini uraian vektor F2 ke sumbu x akan sama dengan vektor F1 sebanyak 4 kotak atau skala. Jadi F1 + F2x = 4 skala + 4 skala = 8 skala.

Sedangkan uraian vektor F2 ke sumbu y menghasilkan 6 kotak atau 6 skala. Kita lihat hasilnya adalah 8 dan 6 berarti resultannya 10. Perhitungan ini sama seperti nomor 6.

Contoh soal 8

Perhatikan gambar dibawah ini.