Selasa, April 16, 2024
Matematika

8 soal cerita aplikasi matriks dalam kehidupan & pembahasan

Contoh soal aplikasi matriks nomor 1

Tata, Putri, dan Qaila menabung di bank bersama-sama. Matriks besarnya tabungan mereka (dalam rupiah) adalah:

\begin {bmatrix}2.000.000 \\ 3.500.000 \\ 4.000.000 \end {bmatrix} \begin{matrix}Tata\\Putri\\Qaila\end{matrix}

Apabila suku bunga tunggal 6% per tahun. Tentukan matriks besarnya bunga tabungan (dalam rupiah).

Pembahasan

6% × \begin {bmatrix}2.000.000 \\ 3.500.000 \\ 4.000.000 \end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}0,06 \times 2.000.000 \\ 0,06 \times 3.500.000 \\ 0,06 \times 4.000.000 \end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}120.000 \\ 210.000 \\ 240.000 \end {bmatrix}


Contoh soal aplikasi matriks nomor 2

Sebuah toko kue kering memiliki dua cabang yaitu di Yogyakarta dan di Jakarta. Berikut ini adalah matriks banyaknya kue (dalam toples) dengan kolom-kolom matriks berturut-turut menyatakan kue putri salju, kue nastar dan kue sagu.

\begin {bmatrix}23 & 22 & 17 \\ 27 & 20 & 16 \end {bmatrix} \begin{matrix}Yogyakarta \\ Jakarta \end{matrix}

Harga kue putri salju tiap toples adalah Rp40.000,00; kue nastar Rp30.000,00; dan harga kue salju Rp27.000,00. Dengan konsep perkalian matriks tentukan pendapatan di setiap cabang toko kue apabila semua kue terjual.

Pembahasan

\begin {bmatrix}23 & 22 & 17 \\ 27 & 20 & 16 \end {bmatrix} \times \begin {bmatrix}40.000 \\ 30.000 \\ 27.000 \end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}23 \times 40.000 \dotplus 22 \times 30.000 \dotplus 17 \times 27.000 \\ 27 \times 40.000 \dotplus 20 \times 30.000 \dotplus 16 \times 27.000 \end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}2.039.000 \\ 2.112.000 \end {bmatrix}

Jadi pendapatan di cabang Yogyakarta = Rp2.039.000,00 dan pendapatan di cabang Jakarta = Rp2.112.000,00.


Contoh soal aplikasi matriks nomor 3

Ahli biologi menempatkan tiga jenis bakteri ke dalam tabung reaksi yang di beri tanda Strain I, Strain II, dan Strain III. Ada tiga jenis makanan berbeda yang setiap hari disediakan yaitu 980 satuan makanan A, 740 satuan makanan B, dan 680 satuan makanan C. Setiap bakteri mengonsumsi sejumlah satuan makanan setiap harinya yang disajikan pada matriks berikut.

\begin {bmatrix}1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end {bmatrix} \begin{matrix}A \\ B \\ C \end{matrix}

Tentukan banyak bakteri dari Strain I, Strain II, dan Strain III dengan cara:
a). Determinan matriks
b). Invers matriks.

Pembahasan

Misalkan:

  • Banyak bakteri pada Strain I = x
  • Banyak bakteri pada Strain II = y
  • Banyak bakteri pada Strain III = z.

Diperoleh matriks sebagai berikut.

\begin {bmatrix}1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end {bmatrix} \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} = \begin {bmatrix}980 \\ 740 \\ 680 \end {bmatrix}

Nilai x, y, dan z dapat ditentukan sebagai berikut.

x =
Dx
D

y =
Dy
D

z =
Dx
D

Cari D, Dx, Dy, dan Dz dengan menggunakan metode Sarrus.

D = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 × 2 × 0 + 4 × 1 × 1 + 3 × 2 × 4 – (1 × 2 × 3 + 4 × 1 × 1 + 0 × 2 × 4)
D = 0 + 4 + 24 – (6 + 4 + 0) = 28 – 10 = 18.

Dx = \begin{vmatrix} 980 & 4 & 3 \\ 740 & 2 & 1 \\ 680 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 980 × 2 × 0 + 4 × 1 × 680 + 3 × 740 × 4 – (680 × 2 × 3 + 4 × 1 × 980 + 0 × 740 × 4)
Dx = 0 + 2.720 + 8.880 – (4.080 + 3.920 + 0) = 11.600 – 8.000 = 3.600.

Dy = \begin{vmatrix} 1 & 980 & 3 \\ 2 & 740 & 1 \\ 1 & 680 & 0 \end{vmatrix} = 2.160 (cara menghitung seperti di atas).
Dz = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 980 \\ 2 & 2 & 740 \\ 1 & 4 & 680 \end{vmatrix} = 1.800 (cara menghitung seperti di atas)

Maka diperoleh nilai x, y, dan z sebagai berikut.

x =
Dx
D
=
3.600
18
= 200
y =
Dy
D
=
2.160
18
= 180
z =
Dx
D
=
1.800
18
= 100

Jadi banyak bakteri Strain I = 200, Strain II = 120, Strain III = 100.


Contoh soal aplikasi matriks nomor 4

Perhatikan gambar berikut.

Soal cerita aplikasi matriks nomor 4

Gambar 3.4 adalah gambar jalan raya pada suatu daerah. Angka-angka yang terdapat pada gambar menyatakan jumlah kendaraan yang melintas. Prinsip yang digunakan yaitu banyak kendaraan yang masuk menuju titik persimpangan A, B, C, dan D harus sama dengan jumlah kendaraan yang keluar. Buatlah matriks dari permasalahan tersebut kemudian tentukan banyak kendaraan pada x1, x2 dan x3.

Pembahasan

\begin {bmatrix}310 \dotplus 250 \\ x_{1} \dotplus 260 \\ x_{2} \dotplus 400 \\ x_{3} \dotplus 360 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}330 \dotplus x_{1} \\ x_{2} \dotplus 190 \\ x_{3} \dotplus 290 \\ 520 \dotplus 250 \end {bmatrix}

Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks diperoleh:

  • 310 + 250 = 330 + x1 maka x1 = 560 – 330 = 230.
  • x1 + 260 = x2 + 190 maka x2 = 230 + 260 – 190 = 300.
  • x2 + 400 = x3 + 290 maka x3 = 300 + 400 – 290 = 410.

Contoh soal aplikasi matriks nomor 5

Sebuah pabrik yang sedang dibangun berencana untuk memasang atap baja ringan pada tiap bangunan di pabrik tersebut. Pemilik pabrik mengundang dua kontraktor agar menyerahkan tawaran terpisah untuk pemasangan atap baja ringan pada setiap bangunan. Berikut ini adalah tabel tawaran-tawaran yang diterima pabrik (dalam juta rupiah).

Soal cerita aplikasi matriks nomor 5

Dengan konsep matriks tentukan jumlah tawaran setiap kontraktor. Kontraktor mana yang akan dipilih untuk pemasangan baja ringan agar pengeluaran minimum?.

Pembahasan

Jumlah tawaran = \begin {bmatrix}16 \\ 14 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}15 \\ 13 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}19 \\ 24 \end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}16 \dotplus 15 \dotplus 19 \\ 14 \dotplus 13 \dotplus 24 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}50 \\ 51 \end {bmatrix}

Jadi kontraktor dengan pengeluaran minimum adalah kontraktor A dengan total biaya Rp50.000.000,00.


Contoh soal aplikasi matriks nomor 7

Perhatikan persamaan reaksi fotosintesis berikut.
(x1) CO2 + (x2) H2O → (x3) C6H12O6 + (x4) H2O
Jika disajikan ke dalam bentuk matriks setiap molekul dengan baris matriks berturut-turut menunjukkan unsur C, H, dan O.
CO2 = \begin {bmatrix}1 \\ 0 \\ 2 \end {bmatrix}
H2O = \begin {bmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end {bmatrix}
C6H12O6 = \begin {bmatrix}6 \\ 12 \\ 6 \end {bmatrix}
O2 = \begin {bmatrix}0 \\ 0 \\ 2 \end {bmatrix}

Jika x1 = 6 maka tentukan x1, x2, dan x3 agar persamaan kimia setimbang. Dengan menggunakan konsep matriks, tentukan persamaan reaksi kesetimbangannya.

Pembahasan

x_{1} \begin {bmatrix}1 \\ 0 \\ 2 \end {bmatrix} + x_{2} \begin {bmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end {bmatrix} = x_{3} \begin {bmatrix}6 \\ 12 \\ 6 \end {bmatrix} + 6 \begin {bmatrix}0 \\ 0 \\ 2 \end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}x_{1} \\ 2x_{2} \\ 2x_{1} + x_{2} \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}6x_{3} \\ 12x_{3} \\ 6x_{3} + 12 \end {bmatrix}

Berdasarkan matriks di atas diperoleh:

  • x1 = 6
  • x1 = 6x3 atau 6 = 6x3 maka x3 = 6 : 6 = 1
  • 2x2 = 12x3 atau 2x2 = 12 . 13 maka x2 = 12 : 2 = 6

Contoh soal aplikasi matriks nomor 8

Hitunglah keluaran total setiap sektor jika ditargetkan permintaan akhir sektor P adalah 200 dan sektor Q adalah 300, dengan matriks teknologi sebagai berikut.

\begin {bmatrix}0,10 & 0,14 \\ 0,02 & 0,20 \end {bmatrix} \begin{matrix}Sektor P \\ Sektor Q \end{matrix}

Catatan: rumus permintaan akhir U = (I – A) X, dengan:
U = matriks permintaan akhir berordo m x 1
I = matriks identitas berordo m x m.
A = matriks teknologi berordo m x m.
X = matriks keluaran total berordo m x 1.

Pembahasan

\begin {bmatrix}200 \\ 300 \end {bmatrix} = (\begin {bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix}0,1 & 0,14 \\ 0,02 & 0,20 \end {bmatrix}) \begin {bmatrix}P \\ Q \end {bmatrix}
\begin {bmatrix}200 \\ 300 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}0,9 & -0,14 \\ -0,02 & 0,8 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}P \\ Q \end {bmatrix}
\begin {bmatrix}P \\ Q \end {bmatrix} = (I – A)-1 \begin {bmatrix}P \\ Q \end {bmatrix}

Cari invers matriks (I – A).
|I – A| = 0,72 – 0,0028 = 0,7172
(I – A)-1 = \frac {1} {0,7172} \begin {bmatrix}0,8 & 0,14 \\ 0,02 & 0,9 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}1,112 & 0,1946 \\ 0,0278 & 1,251 \end {bmatrix}

\begin {bmatrix}P \\ Q \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}1,112 & 0,1946 \\ 0,0278 & 1,251 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}200 \\ 300 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}280,78 \\ 380,86 \end {bmatrix}

Jadi keluaran sektor P sekitar 280,78 dan Q sekitar 380,86.

You cannot copy content of this page