Contoh soal aplikasi logaritma 1
Penduduk kota A pada tahun 2010 sebanyak 300.000 jiwa. Pertumbuhan penduduk kota A rata-rata per tahun adalah 6%. Jika diasumsikan pertumbuhan penduduk setiap tahun sama, dalam berapa tahun penduduk kota A menjadi 1 juta jiwa?
Pembahasan
- Pertumbuhan penduduk (%) = 100% + 6% = 106% = 1,06
- f(x) = 300.000 (1,06)x dimana x = 0, 1, 2, 3, …
- 1.000.000 = 300.000 (1,06)x
- = (1,06)x
- 3,33 =(1,06)x
- log 3,33 = log (1,06)x
- log 3,33 = x log 1,06
- x =
- x = = 20,88 = 21
Jadi penduduk kota A menjadi 1 juta jiwa membutuhkan waktu sekitar 21 tahun.
Contoh soal aplikasi logaritma 2
Berapa waktu yang dibutuhkan sehingga uang Dini yang tadinya Rp2.000.000,00 dapat menjadi Rp6.500.000,00 jika dia menabung di suatu bank yang memberinya bunga sebesar 12%?
Pembahasan
- Besar tabungan (%) = 100% + 12% = 112% = 1,12
- f(x) = 2.000.000 (1,12)x dimana x = 0, 1, 2, 3, …
- 6.500.000 = 2.000.000 (1,12)x
- = (1,12)x
- 3,25 =(1,12)x
- log 3,25 = log (1,12)x
- log 3,25 = x log 1,12
- x =
- x = = 10,22 = 10
Jadi tabungan Dini menjadi Rp6.500.000,00 dibutuhkan waktu sekitar 10 tahun.
Contoh soal aplikasi logaritma 3
Alma menabung di bank sebesar Rp500.000,00 pada awal tahun. Setiap tahun Alma mendapat bunga 8% setahun.
a. Buatlah tabel yang menunjukkan banyaknya tabungan Alma setiap tahun dalam 5 tahun terakhir.
b. Berapa jumlah uang yang dimiliki Alma setelah 10 tahun menabung?
c. Berapa tahun yang dibutuhkan Alma sehingga tabungannya dapat mencapai Rp5.000.000,00?
Pembahasan
Tahun ke | Banyak tabungan |
0 | 500.000 |
1 | 540.000 |
2 | 583.200 |
3 | 629.856 |
4 | 680.244,48 |
5 | 734.664,0384 |
Jumlah uang Alma dalam 10 tahun sebagai berikut.
- f(x) = 500.000 (1,08)x
- f(10) = 500.000 (1,08)10
- f(10) = 500.000 . 2,159 = 1.079.500
Waktu yang dibutuhkan agar tabungan Alma menjadi Rp5.000.000,00 sebagai berikut.
- 5.000.000 = 500.000 (1,08)x
- = (1,08)x
- 10 =(1,08)x
- log 10 = log (1,08)x
- log 10 = x log 1,08
- x =
- x = = 30,3 = 30
Jadi dibutuhkan waktu 30 tahun agar tabungan Alma menjadi Rp5.000.000,00
Contoh soal aplikasi logaritma 4
Dina menabung uang di bank sebesar Rp2.500.000,00 dan mendapatkan bunga sebesar 10% per tahun.
a. Berapa banyak tabungan Dina dalam 5 tahun pertama?
b. Berapa lama Dina harus menyimpan uang di bank agar tabungannya tersebut menjadi dua kali lipat dari tabungan awalnya?
Pembahasan
Banyak tabungan Dina dalam 5 tahun sebagai berikut.
- f(x) = 2.500.000 (1,1)x
- f(5) = 2.500.000 (1,1)5
- f(5) = 2.500.000 . 1,61 = 4.025.000
Waktu yang dibutuhkan agar uang Dina menjadi dua kali lipat sebagai berikut.
- 2 x 2.500.000 = 5.000.000
- f(x) = 2.500.000 (1,1)x
- 5.000.000 = 2.500.000 (1,1)x
- = (1,1)x
- 2 = 1,1x
- log 2 = log (1,1)x
- log 2 = x log 1,1
- x =
- x = = 7,5
Jadi uang Dina menjadi dua kali lipat dalam waktu 7,5 tahun.
Contoh soal aplikasi logaritma 5
Sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian 5 meter. Bola tersebut menyentuh tanah dan kemudian melambung kembali setinggi dari tinggi sebelumnya. Bola tersebut terpantul dan melambung kembali dengan ketinggian yang sama sampai akhirnya bola benar-benar berhenti melambung dan jatuh ke tanah.
a. Berapa ketinggian bola tersebut pada lambungan ke-5?
b. Pada lambungan ke berapa, bola akhirnya berhenti melambung?
Pembahasan
Ketinggian bola pada lambungan ke-5 sebagai berikut.
- f(x) = 5 m
- f(5) = 5 m
- f(5) = 5 m . = 1,18 m
Katakan bola berhenti ketika ketinggian pantulannya dibawah 5 cm = 0,05 m maka
- f(x) = 5 m
- 0,05 m = 5 m .
- =
- 0,1 =
- log 0,1 = log
- log 0,1 = x log (0,75)
- x =
- x = = 8,33
Jadi bola basket berhenti memantul pada sekitar lambungan ke-8.
Contoh soal aplikasi logaritma 6
Sebuah koloni bakteri terdiri atas 500 bakteri yang akan membelah diri menjadi dua setiap 1 jam
a. Tentukan fungsi yang menyatakan hubungan antara banyak bakteri setelah jam tertentu.
b. Berapa lama waktu yang dibutuhkan sehingga koloni bakteri tersebut berjumlah 5.000 bakteri?
c. Berapa lama waktu yang dibutuhkan sehingga koloni bakteri tersebut mencapai 100.000 bakteri?
Pembahasan
Fungsi yang menyatakan hubungan antara banyak bakteri setelah jam tertentu: f(x) = 500 . (2)x.
Lama waktu yang dibutuhkan sehingga bakteri menjadi 5.000 sebagai berikut.
- f(x) = 500 (2)x
- 5.000 = 500 (2)x
- = 2x
- 10 = 2x
- log 10 = log 2x
- log 10 = x log 2
- x = = = 3,33 jam
Lama waktu yang dibutuhkan sehingga bakteri menjadi 100.000 sebagai berikut.
- f(x) = 500 (2)x
- 100.000 = 500 (2)x
- = 2x
- 200 = 2x
- log 200 = log 2x
- log 200 = x log 2
- x = = = 7,66 jam
Contoh soal aplikasi logaritma 7
Rini mengamati bahwa penjualan tas kulit yang diproduksinya mendapatkan hasil penjualan terbesar pada bulan pertama produk tersebut diperjualbelikan. Setelah Rini amati, penjualan tas miliknya pada bulan kedua sebesar dari penjualan tas pada bulan pertama. Demikian pula pada bulan ketiga, penjualan tas hanya dari bulan kedua. Hal tersebut berlangsung beberapa bulan kemudian.
a. Jika Rini menjual 500 buah tas kulit pada bulan pertama, berapa banyak tas yang terjual pada bulan kedua dan ketiga?
b. Berapa prediksi penjualan pada bulan ke-10?
c. Pada bulan ke berapakah prediksi penjualan akan kurang dari 10 tas saja?
Pembahasan
Jawaban a.
- f(x) = 500
- f(1) = 500 = 375 (penjualan bulan ke-2)
- f(2) = 500 = 281 (penjualan bulan ke-3).
Jawaban b.
- f(x) = 500
- f(9) = 500
- f(9) = 500 = 37,5 = 37 atau 38
Jawaban c.
- f(x) = 500
- 10 = 500
- =
- 0,02 = 0,75x
- log 0,02 = x log 0,75
- x = = = 13,6 = 14
Jadi penjualan tas kurang 10 tas pada saat bulan ke 14 + 1 = 15.
Contoh soal aplikasi logaritma 8
Sebuah bangun berbentuk seperti di bawah ini. Bangun tersebut kemudian dibagi menjadi 4 bangun yang kongruen.
a. Buatlah tabel yang merepresentasikan banyaknya bangun yang kongruen di setiap tahap.
b. Bagaimana model matematika yang tepat untuk menggambarkan permasalahan di atas?
c. Pada tahap ke-12, berapa banyak bangun kongruen yang dapat dibuat?
Pembahasan
Tahap ke | Banyaknya bangun |
0 | 1 |
1 | 4 |
2 | 16 |
3 | 64 |
4 | 256 |
Model matematika: f(x) = 4x
Banyak bangun pada tahap ke-12 = f(12) = 412 = 16.777.216