8 Contoh soal perkalian vektor dan pembahasannya

Cara perkalian skalar dengan vektor sebagai berikut.

  • c (xi + yj + zk) = cx i + cy j + cz k

Cara perkalian titik (dot product) sebagai berikut.

  • (x i + y j + z k) . (a i + b j + c k) = (x . a) + (y . b) + (z . c)

Pada perkalian titik berlaku:

  1. i . i = j . j = k . k = 1
  2. i . j = i . k = j . i = j . k = k . i = k . j = 0

Cara perkalian silang (cross product) sebagai berikut

  • (a i + b j + c k) x (d i + e j + f k) = (a i x d i) + (ai x e j) + (a i x f k) + (b j x d i ) + (b j x e j) + (b j x f k) + (c k x d i) + (c k x e j) x (c k x f k)

Pada perkalian silang berlaku:

  1. i x i = j x j = k x k = 0
  2. i x j = k, i x k = -j, j x i = -k, j x k = i, k x i = j, k x j = -i.

Contoh soal perkalian vektor

Contoh soal perkalian vektor nomor 1

Diketahui vektor A = 5i + 2j – k. Maka 2A adalah …
A. 10i + 2j – k
B. 10i + 4j – k
C. 10i + 4j – 2k
D. 5i + 4j – k
E. 5i + 2j – 2k

Pembahasan

Hitung 2A (2A adalah perkalian skalar dengan vektor).

  • 2A = 2 (5i + 2j – k)
  • = 2 . 5i + 2 . 2j – 2 . k
  • = 10i + 4j – 2k

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal perkalian vektor nomor 2

Diketahui A = 5i + 7j – k dan B = 2j – 4k. Hasil dari 2A + B adalah …
A. 12i + 16j – 6k
B. 10i – 16j – 6k
C. 10i + 16j – 6k
D. 5i + 16j – 6k
E. 5i + 9j – 5k

Pembahasan

Hitung nilai 2A (2A adalah perkalian skalar dengan vektor).

  • 2A = 2 (5i + 7j – k)
  • = 10i + 14j – 2k

Maka hasil 2A + B sebagai berikut.

  • 2A + B = (10i + 14j – 2k) + (2j – 4k)
  • = 10i + (14j + 2j) – (2k + 4k)
  • = 10i + 16j – 6k

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal perkalian vektor nomor 3

Diketahui A = i + 2j – 2k dan B = 2j – 4k. Hasil dari A . B dan A x B berturut-turut adalah …
A. 12 dan -4i + 4j + 2k
B. 12 dan 4i + 4j – 2k
C. 12 dan -2i – 4j + 4k
D. 4 dan -4i – 4j + 2k
E. 4 dan 4i + 4j – 2k

Pembahasan

Hasil dari A . B sebagai berikut.

  • A . B = (i + 2j – 2k) . (2j – 4k)
  • = (1 . 0) + (2 . 2) + (-2 . -4)
  • = 0 + 4 + 8 = 12

Hasil dari A x B sebagai berikut.

  • A x B = (i + 2j – 2k) x (2j – 4k)
  • = (i x 2j) + (i x -4k) + (2j x 2j) + (2j x -4k) + (-2k x 2j) + (-2k x -4k)
  • = 2k + 4j + 0 – 8i + 4i + 0
  • = -4i + 4j + 2k

Jadi hasil A . B dan A x B berturut-turut adalah 12 dan -4i + 4j + 2k. Soal ini jawabanny A.


Contoh soal perkalian vektor nomor 4

Momentum merupakan hasil kali massa dengan kecepatan. Sebuah kelereng mempunyai massa 10 gram bergerak dengan persamaan kecepatan v = (3i + 3j) m. Besar momentum yang dimiliki kelereng tersebut adalah … kg.m/s.
A. 3
B. 3\sqrt {2}
C. 3 x 10-2
D. 3\sqrt {2} x 10-2
E. 3\sqrt {2} x 10-3

Pembahasan

Ini adalah perkalian skalar dengan vektor.

  • P = mv
  • P = 0,01 (3i + 3j)
  • P = 0,03i + 0,03j
  • |P| = \sqrt {0,03^{2} + 0,03^2}
  • |P| = 0,03\sqrt {2} = 3\sqrt {2} x 10-2

Soal ini jawabannya D.


Contoh soal perkalian vektor nomor 5

Usaha dirumuskan sebagai perkalian titik antara gaya dengan perpindahan. Seseorang memindahkan sebuah benda dengan gaya F = (i + 2j + 3k) N, sehingga mengalami perpindahan s = (3i + 3j) m. Usaha yang dilakukan orang tersebut adalah …
A. 9 Nm
B. 10 Nm
C. 15 Nm
D. 18 Nm
E. 20 Nm

Pembahasan

  • W = F . s
  • W = (i + 2j + 3k) N . (3i + 3j) m
  • W = (1 . 3) + (2 . 3) + (3 . 0)
  • W = 3 + 6 + 0 = 9

Soal ini jawabannya A.


Contoh soal perkalian vektor nomor 6

Momen gaya dirumuskan sebagai perkalian silang antara gaya dengan vektor posisi. Vektor posisi sebuah titik dinyatakan dengan r = 4i + 3k dikenai gaya dengan persamaan F = 2i + 3j + 6k. Momen gaya di titik tersebut dinyatakan dengan persamaan …
A. τ = 8i + 18j
B. τ = 9i – 18j + 12k
C. τ = 15i + 18j – 9k
D. τ = -9i – 18j + 12k
E. τ = 9i + 18j – 12k

Pembahasan

  • τ = F x r
  • τ = (2i + 3j + 6k) x (4i + 3k)
  • τ = (2i x 4i) + (2i x 3k) + (3j x 4i) + (3j x 3k) + (6k x 4i) + (6k x 3k)
  • τ = 0 + (-6j) + (-12k) + 9i + 24j + 0
  • τ = 9i + 18j – 12k

Soal ini jawabannya E.


Contoh soal perkalian vektor nomor 7

Pada gerak melingkar, momentum sudut (L) dirumuskan sebagai perkalian silang antara vektor posisi (r) dengan momentum linear (P). Jika diketahui r = (2i – 4k) dan P = 2k, momentum sudutnya adalah …
A. 2j
B. -4i
C. 4i + 4k
D. -4j
E. 4i + 8k

Pembahasan

  • L = r x P
  • L = (2i – 4k) x 2k
  • L = (2i x 2k) + (-4k x 2k)
  • L = -4j + 0 = -4j

Soal ini jawabannya D


Contoh soal perkalian vektor nomor 8

Diketahui A = 2i + 3j + 6k dan B = 6i + 2j + 3k. Tentukan:
a. besar vektor A dan B
b. A . B
c. A x B
d. |A x B|

Pembahasan

Jawaban (a).

  • |A| = \sqrt {2^{2} + 3^{2} + 6^2}
  • |A| = \sqrt {4 + 9 + 36} = 7
  • |B| = \sqrt {6^{2} + 2^{2} + 3^2}
  • |B| = \sqrt {36 + 4 + 9} = 7

Jawaban (b).

  • A . B = (2i + 3j + 6k) . (6i + 2j + 3k)
  • A . B = (2 . 6) + (3 . 2) + (6 . 3)
  • A . B = 12 + 6 + 18 = 36

Jawaban (c).

  • A x B = (2i + 3j + 6k) . (6i + 2j + 3k)
  • A x B = (2i x 6i) + (2i x 2j) + (2i x 3k) + (3j x 6i) + (3j x 2j) + (3j x 3k) + (6k x 6i) + (6k x 2j) + (6k x 3k)
  • A x B = 0 + 4k + (-6j) + (-18k) + 0 + 9i + 36j + (-12i) + 0
  • A x B = -3i + 30j – 14k

Jawaban (d).

  • |A x B| = \sqrt {(-3)^{2} + 30^{2} + (-14)^2}
  • |A x B| = \sqrt {9 + 900 + 196}
  • |A x B| = \sqrt {1.105} = 33,24

You cannot copy content of this page