8 Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva & pembahasan

Contoh soal luas daerah nomor 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ – 6x² + 8x dan sumbu X adalah …
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
E. 12

Pembahasan

x³ – 6x² + 8x = 0
x (x² – 6x + 8) = 0
x (x – 4) (x – 2) = 0
x = 0 dan x = 4 dan x = 2

Grafik y = x^3 - 6x^2 + 8x — Grafik y = x³ – 6x² + 8x

Luas daerah = U1 + U2
= $\int_{0}^{2} (x^{3} - 6x^{2} + 8x) dx$ + (- $\int_{2}^{4} (x^{3} - 6x^{2} + 8x) dx$
= $\left [ \frac {1} {4} x^{4} - 2x^{3} + 4x^2 \right ]_{0}^{2}$ – $\left [ \frac {1} {4} x^{4} - 2x^{3} + 4x^2 \right ]_{2}^{4}$
= ( $\frac {1} {4}$ 2⁴ – 2 . 2³ + 4 . 2²) – (( $\frac {1} {4}$ 4⁴ – 2 . 4³ + 4 . 4²) – $\frac {1} {4}$ 2⁴ – 2 . 2³ + 4 . 2²))
= ((4 – 16 + 16) – 0) – ((64 – 128 + 64) – (4 – 16 + 16))
= 4 – (-4) = 4 + 4 = 8

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal luas daerah nomor 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x² dan y = – x adalah …
A. $\frac {9} {2}$
B. $\frac {7} {2}$
C. 3
D. $\frac {5} {2}$
E. $\frac {3} {2}$

Pembahasan

-x = 2 – x²
x² – x – 2 = 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 dan x = -1

Jadi luas daerah sebagai berikut.

= – $\int_{-1}^{2} (x^{2} - x - 2) dx$
= – ( $\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} - 2x \right ]_{-1}^{2}$ )
= – ( $\frac {1} {3}$ 2³ – $\frac {1} {2}$ 2² – 2 . 2) – ( $\frac {1} {3}$ (-1)³ – $\frac {1} {2}$ (-1)² – 2 . -1)
= – ( $\frac {8} {3}$ – 2 – 4) – (- $\frac {1} {3}$ – $\frac {1} {2}$ ) + 2)
= – ( $\frac {8} {3}$ – $\frac {18} {3}$ ) – ( $\frac {-2 - 3 + 12} {6}$ ))
= – (- $\frac {10} {3}$ – $\frac {7} {6}$ )
= $\frac {20 + 7} {6}$ = $\frac {27} {6}$ = $\frac {9} {2}$

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal luas daerah nomor 3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 2x, sumbu X, dan garis X = 3 adalah …
A. 0
B. 1 $\frac {1} {3}$
C. 2 $\frac {2} {3}$
D. 8
E. 4

Pembahasan

Grafik y = -x^2 + 2x dan x = 3 — Grafik y = -x² + 2x dan garis x = 3

Luas daerah sebagai berikut.

= $\int_{0}^{2} (-x^{2} + 2x) dx$ + (- $\int_{2}^{3} (-x^{2} + 2x) dx$ )
= ( $\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x^2 \right ]_{0}^{2}$ ) – ( $\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x^2 \right ]_{2}^{3}$ )
= (( $- \frac {1} {3}$ 2³ + 2²) – 0)) – (( $- \frac {1} {3}$ 3³ + 3²) – ( $- \frac {1} {3}$ 2³ + 2²))
= ( $- \frac {8} {3}$ + 4) – ((-9 + 9) – ( $- \frac {8} {3}$ + 4))
= ( $- \frac {8} {3}$ + 4) + (- $\frac {8} {3}$ + 4)
= -2 ( $\frac {8} {3}$ ) + 4 + 4 = 8 – $\frac {16} {3}$
= $\frac {24} {3}$ – $\frac {16} {3}$ = $\frac {8} {3}$

Jawaban: –

Contoh soal luas daerah nomor 4

Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva nomor 3

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah …
A. $\frac {1} {6}$
B. $\frac {5} {6}$
C. $\frac {2} {3}$
D. $\frac {3} {2}$
E. 1

Pembahasan

x² – 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x = 2 dan x = 1

Jadi luas daerah yang diarsir sebagai berikut

= $\int_{0}^{1} (x^{2} - 3x + 2) dx$ + (- $\int_{1}^{2} (x^{2} - 3x + 2) dx$ )
= ( $\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {3} {2} x^{2} + 2x \right ]_{0}^{1}$ ) – ( $\left [x^{3} - \frac {3} {2} x^{2} + 2x \right ]_{1}^{2}$ )
= (( $\frac {1} {3}$ 1³ – $\frac {3} {2}$ 1² + 2 . 1) – 0) – (( $\frac {1} {3}$ 2³ – $\frac {3} {2}$ 2² + 2 . 2) – ( $\frac {1} {3}$ 1³ – $\frac {3} {2}$ 1² + 2 . 1))
= ( $\frac {1} {3}$ – $\frac {3} {2}$ + 2) – (( $\frac {8} {3}$ – 6 + 4) – ( $\frac {1} {3}$ – $\frac {3} {2}$ + 2))
= ( $- \frac {7} {6}$ + 2) – ( $\frac {8} {3}$ – 2) – ( $- \frac {7} {6}$ + 2))
= ( $\frac {5} {6}$ ) – ( $\frac {2} {3}$ – $\frac {5} {6}$ )
= $\frac {5} {6}$ + $\frac {1} {6}$ = $\frac {6} {6}$ = 1

Soal ini jawabannya E.

Contoh soal luas daerah nomor 5

Luas daerah yang dibatasi kurva y = x² dan y = x + 2 adalah …
A. 9
B. $\frac {27} {8}$
C. $\frac {27} {6}$
D. $\frac {9} {6}$
E. $\frac {9} {7}$

Pembahasan

x² = x + 2
x² – x – 2 = 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 dan x = -1

Luas daerah sebagai berikut.

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal luas daerah nomor 6

Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4x dan y = 3 dari x = 1 sampai x = 2 adalah … satuan luas.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
E. 6 $\frac {2} {3}$

Pembahasan

Grafik y = 4x dibatasi oleh y = 3 dan x = 1 x = 2 — Grafik y = 4x (merah)

Luas daerah yang diarsir sebagai berikut.

= $\int_{1}^{2} (4x - 3) dx$
= $\left [2x^{2} - 3x \right ]_{1}^{2}$
= (2 . 2² – 3 . 2) – (2 . 1² – 3 . 1)
= (8 – 6) – (-1) = 2 + 1 = 3

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal luas daerah nomor 7

Luas bidang yang dibatasi oleh grafik y = 6x² – x dan sumbu-x adalah …
A. $\frac {1} {36}$ satuan luas
B. $\frac {1} {72}$ satuan luas
C. $\frac {1} {108}$ satuan luas
D. $\frac {1} {216}$ satuan luas
E. $\frac {1} {432}$ satuan luas

Pembahasan

6x² – x = 0
6x (x – 1) = 0
x = 0 dan x = 1

Luas daerah sebagai berikut.

= $\int_{0}^{1} (6x^{2} - x) dx$
= $\left [2x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} \right ]_{0}^{1}$
= (2 . 1³ – $\frac {1} {2}$ . 1²) – (0)
= 2 – $\frac {1} {2}$ = $\frac {3} {2}$

Jawaban: –

Contoh soal luas daerah nomor 8

Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva nomor 8

Luas daerah terbatas di bawah ini adalah …
A. $\frac {4} {3}$
B. $\frac {10} {3}$
C. $\frac {8} {3}$
D. 2
E. 1

Pembahasan

= $\int_{-1}^{1} (-x^{2} + 1) dx$ + (- $\int_{1}^{2} (-x^{2} + 1) dx$ )
= $\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x \right ]_{-1}^{1}$ – ( $\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x \right ]_{1}^{2}$ )
= (((- $\frac {1} {3}$ . (1)³ + (1)) – (- $\frac {1} {3}$ . (-1)³ + (-1))) – (((- $\frac {1} {3}$ . (2)³ + 2) – (- $\frac {1} {3}$ . (1)³ + (1)))
= (- $\frac {1} {3}$ + 1 + $\frac {2} {3}$ ) – ((- $\frac {8} {3}$ + 2) – $\frac {2} {3}$ )
= $\frac {4} {3}$ + $\frac {4} {3}$ = $\frac {8} {3}$

Soal ini jawabannya C.

8 Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva & pembahasan

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan