Senin, Maret 4, 2024
Matematika

5 Soal cerita aplikasi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari

Soal aplikasi limit fungsi nomor 1

Sebuah mobil bergerak dapat dinyatakan dengan suatu fungsi S(t) = t2 + 5t (s dalam meter dan t dalam detik). Tentukan kecepatan mobil pada t = 2 detik.

Pembahasan

v =
lim
h → 0
f(t + h) – f(t)
h

t = 2 maka,
v =
lim
h → 0
(2 + h)2 + 5(2 + h) – (22 + 5 . 2)
h

v =
lim
h → 0
4 + 4h + h2 + 10 + 5h – 4 – 10
h

v =
lim
h → 0
h2 + 9h
h

v =
lim
h → 0
h(h + 9)
h

v =
lim
h → 0
(h + 9) = 0 + 9 = 9

Jadi kecepatan mobil pada t = 2 detik adalah 9 m/s.


Soal aplikasi limit fungsi nomor 2

Suatu lembaga sensus diminta memprediksi kepadatan penduduk maksimal di sebuah kota dengan luas 100 km2. Lembaga menyatakan jumlah penduduk di kota tersebut dalam bentuk fungsi estimasi f(x) = 35.000 + x sin 40.000/x dengan x mewakili tahun. Berapakah kepadatan penduduk maksimal kota tersebut? Apakah kota tersebut layak dihuni hingga jangka panjang? Berikan alasannya.

Pembahasan

Karena waktu yang sangat lama maka x → ∞. Misalnya y = 1/x maka x = 1/y. Pada saat x → ∞ maka y = 1/∞ = 0 atau y → 0, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

lim
x → ∞
(35.000 + x sin
40.000
x
)
lim
x → ∞
35.000 +
lim
x → ∞
x sin
40.000
x

35.000 +
lim
1
x
→ 0
1
1
x
sin
40.000
x

35.000 +
lim
y → 0
1
y
sin
40.000
1
y

35.000 +
lim
y → 0
sin
40.000y
y

35.000 + 40.000 = 75.000

Jadi kepadatan penduduk = 75.000 : 100 = 750 penduduk per km2, sehingga kota tersebut tidak layak huni.


Soal aplikasi limit fungsi nomor 3

Sejenis penyakit menular disebabkan oleh bakteri yang memiliki spesifikasi kerja menyerang paru-paru. Bakteri tersebut biasanya menyebabkan batuk hebat pada orang yang terinfeksi saat jumlah bakteri mencapai 4.000. Misalkan jumlah bakteri dinyatakan sebagai fungsi N(t) = 12.000t/(15 + 2t) dalam puluhan, dengan t menyatakan waktu membelah diri dalam jam.
a. Berapakah jumlah maksimum bakteri tersebut selama ia hidup?
b. Kapankah orang yang terinfeksi dapat berpotensi menularkan kepada orang lain?.

Pembahasan

  • Jawaban a
lim
t → ∞
12.000t
15 + 2t

lim
t → ∞
12.000t
t
15
t
+
2t
t

lim
t → ∞
12.000
15
t
+ 2

12.000
15
+ 2
=
12.000
0 + 2
= 6.000

Jadi jumlah maksimum bakteri hidup adalah 6.000 x 10 = 60.000 (karena N(t) dalam puluhan).

  • Jawaban b
lim
t → a
12.000t
15 + 2t
= 4.000
12.000a
15 + 2a
= 4.000
12.000a = 4.000(15 + 2a)
12.000a = 60.000 + 8.000a
12.000a – 8.000a = 60.000
4.000a = 60.000 a =
60.000
4.000
= 15

Jadi, orang yang terinfeksi bakteri akan berpotensi menularkan kepada orang lain saat terinfeksi selama 15 jam.


Soal aplikasi limit fungsi nomor 4

Jumlah penduduk kota A untuk t tahun dari sekarang ditaksir dan dinyatakan oleh fungsi berikut f(t) = 50.000 + 10.000 (t + 2)2. Berapa perkiraan jumlah penduduk kota A dalam waktu yang sangat lama di masa yang akan datang?

Pembahasan

lim
t → ∞
(50.000 + 10.000(t + 2)2)
50.000 + 10.000
lim
t → ∞
(t2 + 4t + 4)
50.000 + 10.000
lim
t → ∞
t2
t2
+
4t
t2
+
4
t2

50.000 + 10.000
lim
t → ∞
(1 +
4
t
+
4
t2
)
50.000 + 10.000 (1 +
4
+
4
2
)
50.000 + 10.000 (1 + 0 + 0) = 60.000

Jadi jumlah penduduk di masa yang akan datang adalah 60.000 jiwa.


Soal aplikasi limit fungsi nomor 5

Posisi suatu benda di udara yang jatuh dari ketinggian h0 (dalam meter) dapat dinyatakan dengan persamaan h(t) = h0 – gt2 dengan g = 10 m/s2 merupakan percepatan gravitasi di tempat benda jatuh dan t (dalam detik) menyatakan lama benda telah berada di udara. Apabila suatu benda dijatuhkan dari ketinggian 250 meter dari permukaan tanah, tentukan setelah t detik benda ini berada pada ketinggian h(t) = 250 – 10t2.

Pembahasan

v =
lim
h → 0
f(t + h) – f(t)
h

v =
lim
h → 0
250 – 10(t + h)2 – (250 – 10t2)
h

v =
lim
h → 0
250 – 10t2 – 10h2 – 20th + 250 + 10t2
h

v =
lim
h → 0
– 10h2 – 20th
h

v =
lim
h → 0
h(- 10h – 20t)
h

v =
lim
h → 0
(-10h – 20t) = -10 . 0 – 20t = -20t

Dengan mensubtitusikan t = 1 maka v = -20t = -20 . 1 = -20 m/s

You cannot copy content of this page