Selasa, April 16, 2024
Matematika

4 contoh soal kedudukan suatu titik terhadap lingkaran & pembahasan

Artikel ini membahas tentang contoh soal kedudukan suatu titik terhadap lingkaran yang disertai pembahasannya. Ada tiga kemungkinan kedudukan titik A(x,y) terhadap lingkaran, yaitu: titik A(x,y) di dalam lingkaran, titik A(x,y) pada lingkaran, dan titik A(x,y) di luar lingkaran.

Untuk menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran dapat dilakukan dengan menentukan nilai kuasa titik (K). Nilai kuasa titik pada lingkaran merupakan sebuah penggambaran posisi dari sebuah titik pada lingkaran. Cara menentukannya sebagai berikut.

  • Titik A(x,y) di dalam lingkaran jika KA(x,y) < 0.
  • Titik A(x,y) pada lingkaran jika KA(x,y) = 0.
  • Titik A(x,y) di luar lingkaran jika KA(x,y) > 0

Contoh soal kedudukan titik pada lingkaran

Contoh soal 1

Diketahui titik A(2,3), B(2,8), C(8,5) dan D(5,3). Tentukan kedudukan titik tersebut terhadap lingkaran:
a. L ≡ x2 + y2 – 8x – 2y + 8 = 0
b. L ≡ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 9

Pembahasan

  • Jawaban a

KA(2,3) = 22 + 32 – 8 . 2 – 2 . 3 + 8
KA(2,3) = 4 + 9 – 16 – 6 + 8 = -1
KA(2,3) < 0
Titik A(2,3) di dalam lingkaran.

KB(2,8) = 22 + 82 – 8 . 2 – 2 . 8 + 8
KB(2,8) = 4 + 64 – 16 – 16 + 8 = 44
KB(2,8) > 0
Titik B(2,8) di luar lingkaran.

KC(8,5) = 82 + 52 – 8 . 8 – 2 . 5 + 8
KC(8,5) = 64 + 25 – 64 – 10 + 8 = 23
KC(8,5) > 0
Titik C(8,5) di luar lingkaran.

KD(5,3) = 52 + 32 – 8 . 5 – 2 . 3 + 8
KD(5,3) = 25 + 9 – 40 – 6 + 8 = -4
KD(5,3) < 0
Titik D(5,3) di dalam lingkaran.

  • Jawaban b

KA(2,3) = (2 + 2)2 + (3 – 3)2 – 9
KA(2,3) = 16 + 0 – 9 = 7
KA(2,3) > 0
Titik A(2,3) di luar lingkaran.

KB(2,8) = (2 + 2)2 + (3 – 8)2 – 9
KB(2,8) = 16 + 25 – 9 = 32
KB(2,8) > 0
Titik B(2,8) di luar lingkaran.

KC(8,5) = (2 + 8)2 + (3 – 5)2 – 9
KC(8,5) = 100 + 4 – 9 = 95
KC(8,5) > 0
Titik C(8,5) di luar lingkaran.

KD(5,3) = (2 + 5)2 + (3 – 3)2 – 9
KD(5,3) = 49 + 0 – 9 = 40
KD(5,3) > 0
Titik D(5,3) di luar lingkaran.


Contoh soal 2

Tentukan batasan nilai a apabila diketahui:
a. titik (a,-1) terletak didalam lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9
b. titik (a, 1) terletak di luar lingkaran L ≡ (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9

Pembahasan

  • Jawaban a

Gunakan syarat: titik berada di dalam lingkaran yaitu KA(x,y) < 0. Cara subtitusi x = a dan y = -1 ke lingkaran L.

(x – 1)2 + (y + 3)2 – 9 < 0
(a – 1)2 + (-1 + 3)2 – 9 < 0
a2 – 2a + 1 + 4 – 9 < 0
a2 – 2a – 4 < 0
(a – 3,23) (x + 1,23) < 0
a1 = 3,23 dan a2 = – 1,23

Pembahasan soal kedudukan suatu titik terhadap lingkaran nomor 2a

Jadi batasan nilai a didalam lingkaran adalah -1,23 < a < 3,23.

  • Jawaban b

Gunakan syarat titik di luar lingkaran yaitu KA(x,y) > 0.

(x + 3)2 + (y – 3)2 – 9 > 0
(a + 3)2 + (1 – 3)2 – 9 > 0
a2 + 6a + 9 + 4 – 9 > 0
a2 + 6a + 4 > 0
(a + 0,76) (a + 5,23) > 0
a1 = -0,76 dan a2 = -5,23

Pembahasan soal kedudukan titik terhadap lingkaran nomor 2b

Jadi batasan nilai a di luar lingkaran adalah a < -5,25 dan a > – 0,76.


Contoh soal 3

Tentukan nilai t yang memenuhi kedudukan titik A(2t,-t) terletak pada lingkaran L ≡ x2 + y2 + 2x + 8y – 2 = 0.

Pembahasan

Subtitusi x = 2t dan y = -t ke lingkaran L.

x2 + y2 + 2x + 8y – 2 = 0
(2t)2 + (-t)2 + 2 (2t) + 8 (-t) – 2 = 0
4t2 + t2 + 4t – 8t – 2 = 0
5t2 – 4t – 2 = 0

Pembahasan soal kedudukan titik terhadap lingkaran nomor 3

Contoh soal 4

Diketahui titik B(b,-1) dan lingkaran L ≡ x2 + y2 + 20x – 12y – 32 = 0. Tentukan batasan nilai b yang memenuhi titik B(b,-1) berada di luar lingkaran.

Pembahasan

Gunakan syarat titik di luar lingkaran yaitu KA(x,y) > 0.

b2 + (-1)2 + 20b – 12 (-1) – 32 > 0
b2 + 20b + 1 + 12 – 32 > 0
b2 + 20b – 19 > 0
(b – 0,9) (b + 20,9) > 0
b = 0,9 dan b = – 20,9

Pembahasan soal kedudukan titik terhadap lingkaran nomor 4

Jadi batasan nilai b = b < -20,9 dan b > 0,9.

You cannot copy content of this page