Selasa, April 16, 2024
Matematika

4 Contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran & pembahasan

Artikel ini membahas tentang contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasannya. Kedudukan garis tersebut adalah (a) garis memotong lingkaran, (b) garis menyinggung lingkaran, (c) garis tidak memotong dan menyinggung lingkaran. Cara mengetahui kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu sebagai berikut.

  • Jika nilai diskriminan bernilai positif (D > 0) maka kedudukan garis memotong lingkaran.
  • Jika nilai diskriminan bernilai nol (D = 0) maka garis menyinggung lingkaran.
  • Jika nilai diskriminan bernilai negatif (D < 0) maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran

Contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran nomor 1

Diketahui persamaan lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0. Tentukan kedudukan garis di bawah ini dengan lingkaran L.
a. g: x + y = 2.
b. k: x = 0

Pembahasan

  • Jawaban a

x + y = 2 atau y = 2 – x. Kemudian, subtitusi y = 2 – x ke persamaan lingkaran L sebagai berikut.

L ≡ x2 + y2 – 4x – y + 1 = 0
x2 + (2 – x)2 – 4x – (2 – x) + 1 = 0
x2 + 4 – 4x + x2 – 4x – 2 + 2x + 1 = 0
2x2 – 6x + 3 = 0
a = 2
b = -6
c = 3

Cari diskriminan (D) dengan cara di bawah ini.

D = b2 – 4ac
D = (-6)2 – 4 . 2 . 3
D = 36 – 24 = 12

D = 12 atau D > 0 sehingga kedudukan garis g adalah memotong lingkaran L.

  • Jawaban b

Subtitusi x = 0 ke persamaan lingkaran L dan hasilnya sebagai berikut.

L ≡ x2 + y2 – 4x – y + 1 = 0
02 + y2 – 4 (0) – y + 1 = 0
y2 – y + 1 = 0
a = 1
b = -1
c = 1

Cari diskriminan (D) dengan cara di bawah ini.

D = b2 – 4ac
D = (-1)2 – 4 . 1 . 1
D = 1 – 4 = -3

D = -3 atau D < 0 sehingga kedudukan garis k adalah tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran L.

Contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran nomor 2

Diketahui garis y = kx + 1 dan lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 1)2 = 4. Tentukan syarat k agar garis y tidak memotong lingkaran.

Pembahasan

Subtitusi y = kx + 1 ke persamaan lingkaran L dan hasilnya sebagai berikut.

L ≡ (x – 1)2 + (y + 1)2 = 4
(x – 1)2 + (kx + 1 + 1)2 – 4
= x2 – 2x + 1 + k2x2 + 4kx + 4 – 4
= (1 + k2)x2 + (4k – 2)x + 1
a = 1 + k2
b = 4k – 2
c = 1

Gunakan syarat garis tidak memotong lingkaran yaitu D < 0.

D < 0
b2 – 4ac < 0
(4k – 2)2 – 4 (1 + k2) 1 < 0
16k2 – 16k + 4 – 4 – 4k2 < 0
12k2 – 16k < 0
4k (3k – 4) = 0
4k = 0 atau 3k – 4 = 0
k1 = 0 atau k2 = 4/3

Pembahasan soal kedudukan garis terhadap lingkaran nomor 2

Jadi syarat k agar garis y tidak memotong lingkaran adalah 0 < k < 4/3.

Contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran nomor 3

Tunjukkan bahwa persamaan garis g: px + qy – r2 yang memotong lingkaran L ≡ x2 + y2 – r2 = 0 di dua titik berlainan, apabila titik N(p, q) berada di luar lingkaran.

Pembahasan

Garis g: px + qy – r2 maka y = (r2 – px) / q, kemudian subtitusikan ke lingkaran L dan hasilnya sebagai berikut.

Pembahsans soal kedudukan garis terhadap lingkaran nomor 3

Kemudian hitung nilai diskriminan (D) dengan cara di bawah ini.

Nilai diskriminan

Karena titik N(p,q) berada di luar lingkaran maka p2 > r2, sehingga a2 – r2 > 0. Akibatnya 4r2 + 4r2/q2 (a2 – r2) > 0 atau D > 0. Karena nilai D > 0 maka garis g: px + qy – r2 memotong lingkaran L di dua titik.

Contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran nomor 4

Tentukan nilai p, agar garis y = -x + p terletak di luar lingkaran L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0.

Pembahasan

Subtitusi y = -x + p ke persamaan lingkaran L dan hasilnya sebagai berikut.

x2 + y2 – 2x – 4y + 3
= x2 + (-x + p)2 – 2x – 4(-x + p) + 3
= x2 + x2 – 2px + p2 – 2x + 4x – 4p + 3
= 2x2 + (2 – 2p)x + p2 – 4p + 3
a = 2
b = (2 – 2p)
c = p2 – 4p + 3

Gunakan syarat garis tidak memotong lingkaran yaitu D < 0.

D < 0
b2 – 4ac < 0
(2 – 2p)2 – 4 . 2 . (p2 – 4p + 3) < 0
4p2 – 8p + 4 – 8p2 + 32p – 24< 0
-4p2 + 24p – 20 < 0
-p2 + 6p – 5 < 0
p2 – 6p + 5 > 0
(p – 5) (p – 1) > 0
p1 = 5 atau p2 = 1

Pembahasan soal kedudukan garis terhadap lingkaran nomor 4

Jadi agar nilai p di luar lingkaran = p < 0 atau p > 0.

You cannot copy content of this page