);

10 Soal aplikasi barisan & deret dan penyelesaiannya

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan barisan maupun deret, misalnya perhitungan bunga bank, perhitungan kenaikan produksi, dan laba usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, terlebih dahulu kita tentukan apakah masalah tersebut adalah barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika atau deret geometri. Kemudian kita selesaikan dengan rumus-rumus yang berlaku untuk memperoleh jawaban dari persoalan yang dimaksud.

Aplikasi barisan dan deret
10 soal aplikasi barisan dan deret

Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan 10 soal aplikasi barisan dan deret yang disertai penyelesaiannya atau pembahasannya.

Soal 1

Setiap awal bulan, Susi menabung sejumlah uang di bank dengan besar selalu naik. Bulan pertama menabung Rp 10.000,00, bulan kedua Rp 12.000,00 dan bulan ketiga Rp 14.000,00, dan seterusnya. Jumlah tabungan Susi setelah 10 bulan tanpa bunga adalah…

Penyelesaian / Pembahasan

Diketahui:

  • a = Rp 10.000,00
  • b = Rp 12.000,00 – Rp 10.000,00 = Rp 2.000,00
  • n = 10

Dengan menggunakan rumus deret aritmetika diperoleh:

  • Sn = 1/2 n (2a + (n – 1) b)
  • U10 = 1/2 . 10 (2 . Rp 10.000,00 + (10 – 1) Rp 2.000,00)
  • U10 = 5 (Rp 20.000,00 + Rp 18.000,00)
  • S10 = 5 (Rp 38.000,00) = Rp 180.000,00

Jadi jumlah tabungan Susi setelah 10 bulan adalah Rp 180.000,00.

Soal 2

Suatu perusahaan memproduksi 1.000 barang pada tahun pertama. Setiap tahun perusahaan tersebut menaikkan produksinya sebesar 200 satuan barang. Banyaknya produksi pada tahun ke 10 adalah…

Penyelesaian / Pembahasan

Diketahui:

  • a = 1.000
  • b = 200
  • n = 10

Dengan menggunakan rumus suku ke n barisan aritmetika didapat hasil:

  • Un = a + (n – 1) b
  • U10 = 1.000 + (10 – 1) 200
  • U10 = 1.000 + 1.800 = 2800

Jadi banyak produksi pada tahun ke 10 adalah 2.800 unit barang.

Soal 3

Disuatu gedung serba guna terdapat 20 baris kursi. Pada baris paling depan tersedia 20 kursi, baris belakangnya memuat 3 kursi lebih banyak dari baris depan.

  1. Tentukan jumlah kursi pada baris ke 15
  2. Tentukan jumlah kursi didalam gedung serba guna tersebut.

Penyelesaian / Pembahasan

  1. U15 = a + (n – 1) b = 20 + (15 – 1) 3 = 62 kursi
  2. S20 = \frac {1} {2} n (2a + (n – 1) b) = \frac {1} {2} . 20 (2 . 20 + (20 – 1) 3) = 970 kursi.

Soal 4

Dalam suatu rapat kooperasi dihadiri oleh 15 orang yang saling berjabat tangan satu sama lain. Tentukan jumlah jabat tangan yang terjadi dalam rapat tersebut.

Penyelesaian / Pembahasan

Orang pertama akan menyalami 14 orang, orang kedua akan menyalami 13 orang, orang ketiga akan menyalami 12 orang dan orang ke 14 akan menyalami 1 orang. Jadi terbentuk barisan bilangan 1 + 2 + 3 + … + 14. Diketahui:

  • a = 1
  • b = 1
  • n = 14

Cara menghitung jumlah jabat tangan gunakan rumus deret aritmetika dan hasilnya sebagai berikut:

  • Sn =\frac {1} {2} n (2a + (n – 1) b)
  • S14 = \frac {1} {2} 14 (2 . 1 + (14 – 1) 1)
  • S14 = 7 (15) = 105

Jadi banyak jabat tangan dalam rapat tersebut adalah 105 jabat tangan.

Soal 5

Gaji seorang pegawai pabrik mula-mula Rp 800.000,00. Setiap bulan gajinya bertambah 5% dari gaji sebelumnya. Tentukan:

  1. Jumlah kenaikan gaji selama satu tahun
  2. Besar gaji setelah 2 tahun

Penyelesaian / Pembahasan

Diketahui:

  • a = Rp 800.000,00
  • b = 5 % x Rp 800.000,00 = Rp 40.000,00

Jadi jawaban soal diatas sebagai berikut:

  • S12 = \frac {1} {2} . 12 (2 . Rp 800.000,00 + (12 – 1) Rp 40.000) = Rp 7.440.000,00
  • U24 = a + (n – 1) b = Rp 800.000,00 + (24 – 1) Rp 40.000,00 = Rp 1.720.000,00

Soal 6

Edwin menumpuk bata dalam bentuk barisan. Banyaknya bata pada baris pertama lebih banyak satu bata dari banyaknya bata pada baris diatasnya. Tumpukan bata dimulai dari 200 bata pada baris pertama dan baris terakhir satu bata. Hitunglah jumlah semua bata yang ditumpuk.

Penyelesaian / Pembahasan

Barisan bilangan pada bata diatas adalah 20 + 19 + 18 + … + 1. Jadi jumlah semua bata menggunakan barisan aritmetika sebagai berikut:

  • Sn = \frac {1} {2} n (2a + (n – 1) b)
  • S20 = \frac {1} {2} 20 (2 . 20 + (20 – 1) -1)
  • S20 = 10 (40 – 19) = 10 . 21 = 210

Jadi banyak bata = 210 bata.

Soal 7

Riska membeli barang kredit seharga Rp 880.000,00. Ia melakukan pembayaran dengan diangsur berturut-turut setiap bulan sebesar Rp 25.000,00, Rp 27.000,00, Rp 29.000,00 demikian seterusnya. Berapa lamakah kredit barang tersebut akan lunas.

Penyelesaian / Pembahasan

Diketahui:

  • Sn = Rp 880.000,00
  • a = Rp 25.000,00
  • b = Rp 2.000,00

Cara mencari n sebagai berikut:

  • Sn = \frac {1} {2} n (2a + (n – 1) b)
  • Rp 880.000,00 = \frac {1} {2} n (2 . Rp 25.000,00 + (n – 1) Rp 2.000,00)
  • Rp 880.000,00 = \frac {1} {2} n (Rp 50.000,00 + Rp 2.000,00n – Rp 2.000,00)
  • Rp 880.000,00 = \frac {1} {2} n (Rp 2.000n + Rp 48.000,00)
  • 2.000 n2 + 48.000 n – 1.760.000 = 0
  • n2 + 24 – 880 = 0
  • (n + 44) (n – 20) = 0
  • n = – 44 atau n = 20

n = -44 tidak mungkin. Jadi lama kredit akan lunas adalah 20 bulan.

Soal 8

Berdasarkan survey populasi hewan P bertambah menjadi empat kali lipat setiap 5 tahun. Jika pada tahun 2020 populasi hewan P adalah 640 ekor, berapakah populasi hewan tersebut pada tahun 2010 ?.

Penyelesaian / Pembahasan

Deret bilangan dari tahun 2010 ke 2020 dengan selisih 5 tahun adalah 2010, 2015, 2020. Diketahui:

  • n = 3
  • U3 = 640
  • r = 4 (empat kali lipat)

Cara menjawab soal ini menggunakan rumus barisan geometri sebagai berikut:

  • Un = arn – 1
  • U3 = ar3 – 1
  • 640 = a . 42
  • 640 = a . 16
  • a = 640/16 = 40

Jadi populasi hewan P pada tahun 2010 adalah 40 ekor.

Soal 9

Jumlah penduduk suatu wilayah setiap 8 tahun bertambah 100%. Jika pada awal tahun 2016 jumlah penduduk mencapai 4.800.000 jiwa, maka jumlah penduduk pada awal tahun 1984 adalah…

Penyelesaian / Pembahasan

Diketahui

Deret bilangan dari tahun 1984 ke 2016 dengan selisih 8 tahun adalah 1984, 1992, 2000, 2008, 2016. Jadi diketahui

  • n = 5
  • U5 = 4.800.000
  • r = 2 (bertambah 100%

Jumlah penduduk pada awal tahun 1984 dihitung menggunakan rumus barisan geometri:

  • Un = arn – 1
  • U5 = ar5 – 1
  • 4.800.000 = a . 24
  • 4.800.000 = a . 16
  • a = 4.800.000/16 = 300.000

Jadi jumlah penduduk pada tahun 1984 adalah 300.000 jiwa.

Soal 10

Suatu gedung pertunjukkan mempunyai beberapa kursi. Setelah baris pertama, setiap baris mempunyai 2 kursi lebih banyak daripada baris sebelumnya. Perbandingan banyak kursi baris ke-9 dan ke-6 adalah 4 : 3. Baris terakhir mempunyai 50 kursi. Banyak kursi yang dimiliki gedung tersebut adalah…

Penyelesaian / Pembahasan

Diketahui:

  • b = 2
  • U9 : U6 = 4 : 3
  • Un = 50

Hitung terlebih dahulu banyak kursi pada baris pertama (a)

  • \frac {U_9} {U_6} = \frac {a + (9 - 1) 2} {a + (6 - 1) 2} = \frac {4} {3}
  • 3a + 48 = 4a + 40
  • 4a – 3a = 48 – 40
  • a = 8

Selanjutnya hitung (n)

  • Un = a + (n – 1) b
  • 50 = 8 + (n – 1) 2
  • 2 (n – 1) = 42
  • n – 1 = \frac {42} {2} = 21
  • n = 21 + 1 = 22

Banyak kursi dalam gedung:

  • Sn = \frac {1} {2} n (2a + (n – 1) b)
  • Sn = \frac {1} {2} 22 (2 . 8 + 21 . 2)
  • Sn = 11 (58) = 638

Jadi banyak kursi dalam gedung = 638 kursi.

(Visited 58 times)

You cannot copy content of this page